Ableitung des Luftwiderstands

[julian apostata]

Um mein Problem zu verdeutlichen, hab ich mal wieder was animiert.

https://www.geogebra.org/m/shrh2eb9

Das Blaue ist ein Strom von Masseteilchen, der sich auf das ruhende Sechseck zu bewegt. Die bewegte Punktliste gehört nicht dazu. Diese soll nur das Ruhesystem des Massestroms andeuten.

Also bitte den t-Schieber bewegen. Sobald ein Masseteilchen auf das Hindernis trifft, lasse ich es aus dem Blickfeld verschwinden (der Massestrom wird immer kürzer).

Voreingestellt hab ich die "Dichte" mit 4kg/m (Gibt es für einen solchen Ausdruck einen offiziellen Namen?) und die Geschwindigkeit v=2.5m/s.

Wenn man nun t=1.2 s einstellt kann man der Tabelle entnehmen: 3 Meter, beziehungsweise 12 Kilogramm des Massestrangs sind schon auf das Hindernis geprallt. Dieser hat nun 37.5 Joule an kinetischer Energie eingebüsst. Teilt man letzteren Wert durch die verlorenen 3 Meter, so macht das eine Kraft von 12.5 Newton (weil F*s=E ergo F=E/s). Eine ähnliche Ableitung findet man auch hier.

https://www.leifiphysik.de/mechanik/reibung-und-fortbewegung/grundwissen/luftreibung

Jetzt würde ich naiver weise erwarten, dass man über die Impulsübertragung (m*v/t) zum selben Ergebnis kommt. Kommt man aber nicht! Egal wie ich schiebe und ziehe. In Zeile 7 kommt immer der doppelte Wert von Zeile 6 raus.

Kann es sein, dass ich den Zusammenhang zwischen Impuls und Kraft nicht richtig verstanden habe?

Okay, ich muss erst mal wohin und melde mich dann morgen vor Mittag wieder (falls ich ein Echo erhalten sollte).

 

[julian apostata]

Hier noch mal die beiden Gleichungen für den Luftwiderstand, wobei die Zweite wohl falsch sein muss.

$$\frac{E_{kin}}{s}=\frac{v^2\cdot δ}{2}\qquad \frac{m\cdot v}{t}=v^2\cdot δ$$

Ich hab da noch eine zweite Animation in Arbeit, die zeigt, wie man mit gezielten Impulsen von unten eine Masse in der Schwebe hält. Die werd ich dann heut nach Mittag oder morgen vorstellen. Nur leider liefert die dasselbe Ergebnis.

 

[Bernhard]

Ich hab da noch eine zweite Animation in Arbeit, die zeigt, wie man mit gezielten Impulsen von unten eine Masse in der Schwebe hält.

Das klingt nach zwei unabhängigen Fragen:

a) Berechnung des Luftwiderstandes eines Körpers in Abhängigkeit von dessen Geschwindigkeit und dessen Cw-Wert
b) Rakete durch Schub in der Schwebe halten, d.h. ohne Luftwiderstand, denn der ist dann ja gleich Null

 

[julian apostata]

@Bernhard
An eine Rakete hab ich dabei nicht gedacht, sondern eher an einen bodyflyer.

https://www.youtube.com/watch?v=XYFdbGv50-k

Weil hier kann man im Prinzip dasselbe Phänomen wie bei einem Auto beobachten. Eine Kraft wirkt gegen den Luftstrom (entweder M*g beim bodyflyer oder der Motor beim Auto) und der Luftstrom wirkt entgegengesetzt.

$$u=u_0-g\cdot t\phantom{xxxx}-u=u_0-g\cdot T\rightarrow\\T=\frac{2\cdot u_0}{g}\phantom{xxxx}p=M \cdot 2 \cdot u_0 \rightarrow\frac{p}{T}=M\cdot g$$

Und da hab ich mir gedacht, ich setzt mal bei einem perfekt elastischen Gummiball an. Nach der Bodenberührung gehts wieder nach oben mit der Geschwindigkeit u_0. Bis zur nächsten Bodenberührung vergeht die Zeit T, wobei die Geschwindigkeit nahezu schlagartig von -u_0 hin zu +u_0 wechselt.

Und weil sich u_0 raus kürzt, gilt M*g=p/T

Und vielleicht komm ich mit diesem Ansatz weiter. Am einfachsten wäre natürlich, wenn mir jemand einen Link lieferte, wie eine solche Ableitung funktioniert.

Wie's über die kinetische Energie geht, hat uns ja schon Leifi gezeigt.

 

[julian apostata]

Ich mach zunächst mal folgende Umformung (c_w=1).
$$F=\frac{1}{2}\cdot d\cdot A\cdot v^2=\frac{1}{2}\cdot\boxed{d\cdot A\cdot\frac{s}{t}}\cdot v=\frac{1}{2}\cdot\dot m\cdot v$$

Man beachte den Punkt über dem m. Diese Variable liefert uns den Wert, wie viel Kilogramm Masse an Luft pro Sekunde mit dem bodyflyer kollidiert.

https://www.geogebra.org/m/akwgwp5z

u_0: Mit dieser Geschwindigkeit prallt die "Hüpfmasse" zurück, wenn sie von der Masse m (nahezu unelastisch gestoßen) getroffen wird.
Wenn man m ändert, berechnet geogebra deren Geschwindigkeit v und deren Abstand s (zu den anderen Stoßmassen) neu.

Um die Hüpfmasse in der Schwebe zu halten muss gelten:
M*2*u_0=m*v
Und dummerweise liefert die letzte Gleichung in der Tabelle nur den halben Wert von M*g (die ersten beiden Zeilen). Die Hüpfmasse müsste eigentlich abstürzen.

Ich möchte vorerst keine weitere Mathematik bringen. Vielleicht findet ja jemand auch so den Fehler in meinen Berechnungen.

Ansonsten hol ich den Formelkram morgen nach.

 

[Bernhard]

u_0: Mit dieser Geschwindigkeit prallt die "Hüpfmasse" zurück, wenn sie von der Masse m (nahezu unelastisch gestoßen) getroffen wird.

Mir ist immer noch nicht klar, um was es eigentlich geht:

Der Bodyflyer soll also über einem großen Ventilator schweben?
Der Ventilator beschleunigt die Luft auf die konstante Geschwindigkeit v bzw einen konstanten Massestrom \(\dot m \) und lässt den Flyer damit schweben?
Der Flyer hat dann noch zusätzlich einen Ball (in der Hand) und wirft diesen dann irgendwo hin ??

 

[julian apostata]

Gegeben sind in der Animation folgende Werte: M und g sind fest vorgegeben und u_0 und m können über Schieberegler eingestellt werden.

T ist die Hüpfzeit beziehungsweise der Definitionsbereich des t-Schiebers (0<=t<=T) und die hab ich weiter oben schon abgeleitet (T=2*u_0/g)

$$\boxed{2\cdot M \cdot u_0}=m\cdot v\rightarrow v=\frac{2\cdot M \cdot u_0}{m}\phantom{xxxx} s=\boxed{v\cdot T}\\\frac{E_{kin}}{s}=\frac{m\cdot v^2}{2\cdot\boxed{v\cdot T}}=\frac{m\cdot v}{2\cdot T}=\frac{\boxed{2\cdot M \cdot u_0}}{2 \cdot T}=\frac{M\cdot u_0}{ T}\\=M\cdot u_0/\frac{2\cdot u_0}{g}=\frac{M\cdot g}{2}=\frac{F}{2}\phantom{xx}\text{ Und das kann nicht stimmen! }$$

@Bernhard
Es geht eigentlich nur erst mal nur um die Animation und warum ich etwas raus bekomme, was nicht stimmen kann.

 

[Bernhard]

@Bernhard
Es geht eigentlich nur erst mal nur um die Animation und warum ich etwas raus bekomme, was nicht stimmen kann.

Du suchst also in einer Animation nach einem Fehler, definierst dabei aber nicht genau, was die Animation eigentlich animieren soll ?

Kein Wunder, dass sich dabei (Flüchtigkeits)Fehler in den verschiedenen Rechenwegen einschleichen.

Mein Tipp: Definiere erstmal eindeutig, was du animieren möchtest. Erst dann gibt es Erfolge oder Misserfolge.

 

[julian apostata]

Mein Tipp: Definiere erstmal eindeutig, was du animieren möchtest.

Was soll ich denn da noch großartig definieren? Die Animation erklärt sich doch quasi von selbst.

https://www.geogebra.org/m/akwgwp5z

Die große Masse wird nahe der y-Achse in der Schwebe gehalten durch von unten kommende kleinere Massen. Bei jedem Zusammenstoß erhält die große Masse den den Impuls |M*2*u_0|. |u_0| ist dabei die Aufprall und Rückprallgeschwindigkeit. u_0 und damit indirekt die Hüpfhöhe kann vom Anwender eingestellt werden Um die Masse M in der Schwebe zu halten, muss die Kraft M*g aufgewendet werden. Die Werte sind in der Tabelle enthalten.

Ferner kann der Anwender die Massen m der kleineren Teilchen einstellen. Und damit stellt er automatisch auch deren Geschwindigkeit v ein. Denn es muss ja gelten:
|M*2*u|=|m*v|. Ebenso stellt der Anwender (indirekt) den Abstand s zwischen den kleineren Teilchen m ein. Es gilt ja: s=v*T. T ist die Hüpfzeit (Zeit zwischen den Aufprallen), wobei gilt T=2*|u_0|/g.

Kein Wunder, dass sich dabei (Flüchtigkeits)Fehler in den verschiedenen Rechenwegen einschleichen.

Wie ich auf E_kin/s=F/2 komme, habe ich oben schon erläutert. Das Ergebnis hat mich extrem stutzig gemacht. Und da ich selber schon stundenlang über dieses Ergebnis nachgedacht habe, so ist mir wahrscheinlich ein Fehler unterlaufen, aber ganz bestimmt kein Flüchtiger.

Und ich denke, ich hab jetzt genug Hinweise gegeben, so dass jeder Anwender meine Tabellenergebnisse überprüfen kann. Wenn noch was fehlt, dann bitte rühren.

 

[Bernhard]

Wenn noch was fehlt, dann bitte rühren.

Jetzt wird es schon klarer.

Auf die Schnelle fällt mir zB der folgende Unterschied zwischen den Modellen auf:

Bei dem Modell mit den elastischen Stößen fehlt die Viskosität, weil die ja durch die Wechselwirkung zwischen den Luftmolekülen entsteht, usw.

Nur als Beispiel: Der Cw-Wert ist bei inkompressibler Strömung (Wasser) von der Viskosität des Fluids abhängig: https://de.wikipedia.org/wiki/Strömungswiderstandskoeffizient#Abhängigkeiten

Liegt kein Rechenfehler vor, müss(t)en es ja Unterschiede in der Physik sein.

 

[julian apostata]

Bei dem Modell mit den elastischen Stößen fehlt die Viskosität, weil die ja durch die Wechselwirkung zwischen den Luftmolekülen entsteht, usw.

Hier werden allerdings unelastische Stöße verwendet. Und von Viskosität ist dort nirgendwo die Rede.

https://www.leifiphysik.de/mechanik/reibung-und-fortbewegung/grundwissen/luftreibung

Wenn du auf den Button "Herleitung zeigen" klickst, findest du das da (hab ich verkürzt wider gegeben).

$$E_{kin}=\frac{1}{2}\cdot\boxed{d\cdot A\cdot s }\cdot v^2\qquad\text{im Kasten steht die unelastisch verdrängte Masse}\\F\cdot s=E_{kin}\rightarrow\frac{E_{kin}}{s}=F=\frac{1}{2}\cdot d\cdot A\cdot v^2$$

Und jetzt steht immer noch die Frage im Raum: Wenn ich die unelastisch abgebremsten Teilchen m nehme und deren verlorene kinetische Energie durch s teile, wieso kommt dann nur die halbe Kraft (Kraft M*g, welche die Hüpfmasse in der Schwebe hält) dabei raus?

m,v und s stehen in der Tabelle untereinander.
g und M stehen an der Tabellenspitze untereinander.