Ja, eben. So habe ich das auch verstanden.
Nochmal: jeder "Raum" wird erzeugt durch einen geeigneten Schnitt durch die Raumzeit, ist also per definitionem in eine vierdimensionale Lorentzmannigfaltigkeit eingebettet.
Gravitation - Antigravitation - Flachheit des Universums
- Ersteller Martin H.
- Erstellt am
Dgoe
Gesperrt
Hallo Bernhard,
was mich betrifft, so kann man nach Kram oder Ideologie vergeblich suchen, da nicht vorhanden. Es dreht sich nur um Verständnisprobleme, und da hapert es noch... immer wieder (und täglich grüßt das Murmeltier).
Vielen Dank für alle Antworten, lese mit, nur leider nicht täglich Zeit dafür zur Zeit. Ach ja, die liebe Zeit... *seufz*
Gruß,
Dgoe
TomS
Registriertes Mitglied
Ja, du hast recht.
Ich hatte diese 1-dim. Beispiel und damit eine "raumartigen Untermannigfaltigkeit" eingeführt. Später wollte ich dann wieder über die volle Raumzeit diskutieren, aber das hatte ich nie dazugesagt. Ja, du hast recht, meine Argumentation suggeriert, es ginge immer nur um diese Untermannigfaltigkeit, und da ist alles korrekt, was du sagst.
Sorry für die Verwirrung.
Bernhard
Registriertes Mitglied
Die Schnittkrümmungen der U-mannigfaltikeit für t=const. kennen wir. Die sind alle gleich Null, weil das ja eine euklidische Geometrie ist.
EDIT: Die Schnittkrümmungen der gesamten FRWL-Metrik sind in den Ebenen (r,theta) (r, phi) und (theta,phi), auch für k ungleich Null, ungleich Null.
Zuletzt bearbeitet:
Für k=0 sollten diese Schnittkrümmungen genau H² sein.
Ja, hab's nachgerechnet (mit Maxima).
Die Formel für den Winkelexzess ist $$4\pi \frac{A}{Kugeloberfläche}=4\pi \frac{A}{4\pi R²}=A H^2,$$ wenn A die Fläche des Dreiecks ist und H der Hubbleparameter. Das gibt z.B. für ein Dreieck von 1 GLj² Fläche einen Winkelüberschuss von 5,3 mrad = 0,3°.
Zur Erläuterung: Die Schnittkrümmung ist die Krümmung einer Fläche, die entlang von Geodäten aus der Raumzeit geschnitten wir. Da Geodäten bei gegebener Anfangsrichtung eindeutig bestimmt sind, ist das so etwas wie ein "natürlicher Schnitt" durch die Raumzeit. Die Summe all solcher Schnittebenen senkrecht zur Zeitachse eines Beobachters bilden entsprechend einen "natürlichen Raum" für diesen Beobachter. Geeignet vermessen ist dieser Raum die nächste Entsprechung des statischen Raums der SRT in der ART (darum nennt man das dann Normalkoordinaten).
Wenn man ein (möglichst) starres Dreieck baut, dann ist auch die Krümmung dieses Raums (also die Schnittkrümmung) verantwortlich für etwaige Abweichungen der Winkelsumme von 180°.
Wenn man stattdessen einen expandierenden Raum herausschneidet wie in der Kosmologie, dann erfolgt dieser Schnitt nicht entlang von Geodäten. Und alleine diese Art, die Raumzeit zu schneiden, führt zu einer negativen Krümmung des so entstandenen Raums von -H². Im falle eines flachen Universums hebt diese Art des Schneidens die "natürliche Krümmung" des Raums gerade auf, so dass der Schnitt in Summe flach ist.
Auf das Dreieck übertragen heißt das: bewegen sich die Eckpunkte des Dreiecks mit dem Hubble-Fluss auseinander, dann entspricht die Winkelsumme gerade wieder 180°.
Den Unterschied zwischen natürlichen und expandierenden Koordinaten kann man sich mit wie gesagt mit Aberration erklären: In Normalkoordinaten bewegen sich die Eckpunkte des expandierenden Dreiecks, und deswegen sieht jeder Punkt die beiden anderen enger beieinanderstehen, was die Winkelsumme verringert. Wer will, kann das in flacher Raumzeit mal nachrechnen (nicht für Einsteiger geeignet).
Bernhard
Registriertes Mitglied
Hallo Ich,
ich kann das erst heute abend nachrechnen. Die Komponenten des Riemann-Tensors habe ich schon, so dass die Schnittkrümmung sehr leicht berechnet werden kann.
Dgoe
Gesperrt
Yep, agreeing.
Bernhard
Registriertes Mitglied
Rein rechnerisch komme ich auf H²/c². Das Vorzeichen stimmt also schon mal und vielleicht hast Du ja mit c=1 gerechnet. Dass die Krümmung positiv sein muss, kann man sich anhand der Abberration tatsächlich relativ leicht erklären.
Bernhard
Registriertes Mitglied
Das passt. Ich komme mit c=3e8 m/s und dem Wert für H aus der Wikipedia von 74,3 km/s/Mpc auf 5,77 mrad = 0,33°, also praktisch das gleiche Ergebnis.
Wer es nachrechnen will: Die Schnittkrümmung ist eine gaußsche Krümmung. Sie hat also die Einheit 1/m². In SI-Einheiten muss deswegen H noch durch c dividiert werden. Über die Totalkrümmung kann der Winkelexzess eines Dreiecks, wie 'Ich' oben bereits erklärt hat, relativ leicht ausgerechnet werden.
ralfkannenberg
Registriertes Mitglied
Hallo Dgoe,
wenn Du ein Dreieck auf ein Blatt Papier aufmalst, so beträgt die Summe seiner drei Winkel stets 180°.
Stell Dir vor, Du befindest Dich auf der Erde am Äquator, am Punkt Erd_1. Jetzt gehst Du zum Nordpol - dabei machst Du eine Drehung um 90°. Am Nordpol bist Du nun am Punkt Erd_2. Erneut biegst Du um 90° ab und gehst weiter, bis Du wieder am Äquator bist, das sei der Punkt Erd_3. Nun biegst Du nochmals 90° ab und gehst dem Äquator entlang zum Ausgangspunkt.
Die Punkte Erd_1, Erd_2 und Erd_3 bilden ein Dreieck auf einer Kugeloberfläche, doch da Du jedesmal 90° abgebogen bist, beträgt die Summe der Winkel dieses Dreiecks 270°. "Nach aussen gekrümmte" Flächen haben also Dreieck-Winkelsummen > 180°.
In der Wikipedia steht "Dreieck-Winkelsumme > pi", weil man den Winkel in Bogenmass angibt, das ist die Länge des Kreisbogens vom Radius 1 unter diesem Winkel; der Vollkreis hat einen Umfang von 2*pi*r, also 2*pi, d.h. der Halbkreis, das sind ja 180°, ein Bogenmass von (2*pi)/2, also von pi.
Und nach innen gekrümmte Flächen (z.B. Sattelflächen) haben Dreieckwinkelsummen < 180° bzw. Dreieckwinkelsummen < pi.
Sowas kann man mit Methoden der Differentialgeometrie berechnen.
Freundliche Grüsse, Ralf
Dgoe
Gesperrt
Wieso eigentlich? Wenn ich den Globus öffne und von innen auf die Dreiecke blicke, dann haben die sich doch nicht verändert.
Gruß,
Dgoe
ralfkannenberg
Registriertes Mitglied
Hallo Dgoe,
das "Zauberwort" hier lautet Sattelfläche und im Wikipedia-Artikel kannst Du auch einige Bilder dazu sehen, in denen es auch um die Winkelsumme im Dreieck geht.
Freundliche Grüsse, Ralf
ralfkannenberg
Registriertes Mitglied
Hallo Dgoe,
aber gerade das ist doch sehr einfach:
Ein Unter-XXX ist in der Mathematik stets etwas, was die gleichen Eigenschaften wie das XXX selber aufweist. Im Gegensatz zur Teilmenge, bei der irgendwelche Punkte nach Belieben herausgepickt werden, die aber keinerlei strukturerhaltende Eigenschaften zu haben brauchen.
Wenn Du Dich an die Kirchturmuhr erinnerst, so bilden die Uhrzeiten mit der Drehung um 1 Stunde eine Gruppe. Hier kann man beliebige Teilmengen bilden, aber beispielsweise die Teilmenge der geraden Uhrzeiten mit Drehung um 2 Stunden bilden auf der Kirchturmuhr nicht nur eine Teilmenge, sondern sogar eine Untergruppe.
Freundliche Grüsse, Ralf
Zuletzt bearbeitet:
Dgoe
Gesperrt
Für mich wird es oft erst nach einer Erklärung einfacher zu verstehen.
Ich bräuchte als Student wahrscheinlich einen Privatlehrer, der mir 5 Std. lang erklärt, was in 5 Min. Vorlesung enthalten war...
Gruß,
Dgoe
ralfkannenberg
Registriertes Mitglied
Hallo Dgoe,Ich bräuchte als Student wahrscheinlich einen Privatlehrer, der mir 5 Std. lang erklärt, was in 5 Min. Vorlesung enthalten war...
nein: der "Privatlehrer" bist Du im Studium selber, für die allerwichtigsten Dinge, um das Semester zu "überleben", am Wochenende, und für die weniger wichtigen Dinge, um die Prüfungen zu bestehen, in den Semesterferien.
Freundliche Grüsse, Ralf
Bernhard
Registriertes Mitglied
Hallo Ralf,
die Definition einer U.-mannigfaltigkeit ist sicherlich nicht trivial, aber es ist eben der exakte Fachbegriff.
Ich persönlich habe übrigens nicht den Anspruch, dass meine Beiträge immer allgemein verständlich sind. Wen es interessiert soll sich ruhig auch mal ein ordentliches Lehrbuch kaufen und sich diese Dinge dann Schritt für Schritt selbst erarbeiten. Genau dafür gibt es dann sogar Unterstützung hier im Forum.
Ansonsten empfehle ich noch das hier: You don't like it? Go somewhere else!.
Dgoe
Gesperrt
"... to another universe, where the rules are simpler."
Und man kein Studium für ein Studium brauch...
Nein, ist schon ok und hochinteressant, aber eben auch als Laie - sicher nicht nur für mich - kaum oder gar nicht mehr nachvollziehbar.
Gleichzeitig wird deutlich, was es noch zu lernen gibt, insofern ein ganz wertvoller Thread, in jedem Fall.
Gruß,
Dgoe