Quotient

[Rainer]

Dies ist natürlich nicht "gegen" den Mainstream und betrifft auch nicht die Physik, sondern ich habe ein neues Formelzeichen (mathematische Funktion) kreiert.

Bekannt bzw allgemein gebräuchlich sind die Summe Σ und die Differenz Δ
Σx = x.[1]+x.[2]+...+x.[N]
Δx = x.[2]-x.[1]
sowie das Produkt Π, zwar ebenso bekannt aber in der Physik selten im Gebrauch
Πx = x.[1]·x.[2]·...·x.[N]

Eigentlich sticht ins Auge, dass der Quotient fehlt, für den ich das altgriechische Koppa Ϙ verwende, weil es dem Q ähnlich sieht
Ϙx = x.[2]/x.[1]

Es kommt in der Physik doch recht häufig vor und macht Formeln viel übersichtlicher, zB

a = 1/Ϙλ Skalenfaktor
a = Ϙλ chemische Aktivität
λ = ϘL Dehnung
T = ϘI Transmissivität
q = ϘN Zerfallsfaktor
R = ϘΦ Reflexivität

Ich habe eine weiter Funktion ϙ (koppa) daraus abgeleitet, die auch häufig vorkommt zB bei der Rotverschiebung

ϙx = Δx/x = Ϙx-1
z = ϙλ = Δλ/λ = 1/a-1

 

[ralfkannenberg]

Eigentlich sticht ins Auge, dass der Quotient fehlt, für den ich das altgriechische Koppa Ϙ verwende, weil es dem Q ähnlich sieht
Ϙx = x.[2]/x.[1]

Hallo Rainer,

ebenso wie bei der Differenz muss man sich zunächst einmal einig werden, wie man klammern möchte.

Und an sich ist es genügend, die Differenz und die Division als Addition und Multiplikation mit den entsprechenden Inversen zu betrachten, in der Regel liegt dem Ganzen ja eine Gruppenstruktur oder vielleicht sogar eine Körperstruktur zugrunde. Dann entfällt auch das Problem mit der Klammerung.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Rainer]

ebenso wie bei der Differenz muss man sich zunächst einmal einig werden, wie man klammern möchte.

Bei lediglich 2 Operanden sehe ich kein Problem der Klammerung. Die Reihenfolge wäre zwar variabel, ist aber standardmäßig wie angegeben. Differenz oder Quotient aus einer Reihe abzuleiten, wäre ein Novum, das mich durchaus sehr interessieren würde, ebenso wie eine vergleichbare Funktion des Integrals, was (mir) schon für das Produkt nicht bekannt ist.

 

[Rainer]

Differenz oder Quotient aus einer Reihe abzuleiten

Naja, das könnte man schon machen, so berechne ich meist die gesuchte Folgezahl einer Reihe, darauf beruhen ja auch Approximations Algorithmen für Reihen.

Ð.x = (x.3-x.2)-(x.2-x.1) = x.3-2x.2+x.1
Ð.x = ((x.4-x.3)-(x.3-x.2))-((x.3-x.2)-(x.2-x.1)) = x.4-3x.3+3x.2-x.1
usw
℺.x = ((x.3/x.2)/(x.2/x.1)) = x.3·x.1/x.2²
℺.x = ((x.4/x.3)/(x.3/x.2))/((x.3/x.2)/(x.2/x.1)) = x.4·x.2³/x.3³x.1
usw

 

[TomS]

Ist das nicht einfach Taylorentwicklung in Zähler und Nenner und/oder die Regel von L'Hospital?

 

[Rainer]

Es ist zunächst ein fortgesetzter Algorithmus

Ich dachte an Shanks oder Pade, aber es war etwas anderes.

Taylor geht mit Ableitungen, darauf läuft dies natürlich hinaus. Vorerst war es aber noch diskret und nicht analog.

Mit der Regel von de L’Hospital lassen sich Grenzwerte von Quotienten zweier gegen Null konvergierender oder bestimmt divergierender Funktionen mithilfe der ersten Ableitungen dieser Funktionen berechnen.

Wir haben hier nur EINE Reihe diskreter Zahlenwerte.

 

[TomS]

Dann habe ich die Idee noch nicht verstanden.

Die ursprüngliche Frage nach dem Quotienten verstehe ich schon deswegen nicht, weil es nur um zwei Zahlen, also Zähler und Nenner geht, im Unterschied zu Summe oder Produkt mit beliebig vielen Zahlen.

Nach L'Hospital lassen sich Grenzwerte übrigens nicht nur bis zur ersten Ableitung berechnen, sondern bei Bedarf auch mittels höheren Ableitungen; tatsächlich ist die Regel von L'Hospital identisch zur Taylorentwicklung von Zähler und Nenner.

Bei der Idee, einen Quotienten aus einer Reihe abzuleiten, dachte ich an soetwas wie

1 / B = 1 / (1 - x)

sowie jetzt Entwicklung in die geometrische Reihe.

Evtl. erklärst du nochmal, worauf du hinaus willst.

 

[Rainer]

Evtl. erklärst du nochmal, worauf du hinaus willst.

Naja, die Differenz Δ hat nur zwei Operanden, während die Summe Σ belibig lange Reihen verarbeitet (addiert).

Die Idee ist nun, auch eine sinnvolle aber möglichst rudimentäre Differenz aus einer langen Reihe zu bilden.

Meine oben vorgestellte Idee ist schon deutlich komplizierter als die Summenbildung. Eine einfachere sinnvolle Formel für die Differenz einer Reihe fällt mir aber vorerst nicht ein.

Bei Produkt Π und meinem Quotienten Ϙ ist es ähnlich.

 

[ralfkannenberg]

Die Idee ist nun, auch eine sinnvolle aber möglichst rudimentäre Differenz aus einer langen Reihe zu bilden.

Hallo Rainer,

da kann es dann aber ganz unerwartete Nebeneffekte geben, dahingehend, dass Du konvergente alternierende Reihen erhälst, welche nicht absolut konvergent sind. Diese haben die nicht-intuitive Eigenschaft, dass sie gegen jeden beliebig vorgegebenen Grenzwert konvergieren können, wenn man ihre Reihenfolge geeignet ändert. Wohl prominentestes Beispiel ist die alternierende harmonische Reihe, also 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 usw.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Rainer]

wenn man ihre Reihenfolge geeignet ändert

Das ist das Problem des Anwenders, die Formel verarbeitet nur der Reihe nach.
Wenn Du bei Δx die Reihenfolge änderst, ändert sich sogar das Vorzeichen

Die Reihenfolge einer unendlichen Reihe darf man für die Summenbildung schon immer beliebig ändern, sofern sich die Dichte nicht ändert. (meine flapsige Formulierung).
(in einer repräsentativen Stichprobe darf nichts fehlen) oder anders gesagt (man darf nicht die Ordnung ändern, sondern nur die Gruppierung)

Ich denke, dass mein Vorschlag für die erweiterte Differenz nur für überschaubare Reihenlängen sinnvoll ist.

 

[ralfkannenberg]

Die Reihenfolge einer unendlichen Reihe darf man für die Summenbildung

Hallo Rainer,

nur eine Frage: was verstehst Du unter "Summenbildung", also konkret: dürfen die Summanden auch negative Zahlen sein ?


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Rainer]

Hallo Rainer,

nur eine Frage: was verstehst Du unter "Summenbildung", also konkret: dürfen die Summanden auch negative Zahlen sein ?

Ja klar. Das Problem entsteht ja, wenn man umgruppiert, so dass ein Ungleichgewicht entsteht, mit negativen Zahlen zumindest ergibt sich dann jedes beliebige Ergebnis.

Das Ungleichgewicht ist die Ursache. Wenn man zB jede zweite Zahl (a2, a4 ...) mit ihrem Nachfolger Vorgänger (a1, a3 ...) tauscht, dann ist das egal, außer man betrachtet dann ungerade Teilreihen.

 

[ralfkannenberg]

Ja klar. Das Problem entsteht ja, wenn man umgruppiert, so dass ein Ungleichgewicht entsteht, mit negativen Zahlen zumindest ergibt sich dann jedes beliebige Ergebnis.

Hallo Rainer,

ich denke, ich habe wenigstens ungefähr verstanden, was Du unter Ungleichgewicht verstehst. Nehmen wir diese hübsche Umgruppierung der alternierenden harmonischen Reihe, bei der am Ende statt ln(2) nur (1/2)*ln(2) herauskommt. Ich vermute, dass diese Idee, von Bernhard Riemann stammt, ich weiss es aber nicht.

Bei dieser Idee werden die positiven Glieder der Reihe (das sind ja die mit ungeradem Nenner) nach hinten geschoben, d.h. die negativen werden quasi "bevorzugt" behandelt. Die "Dichte" verkleinert sich also gewissermassen und das Resultat ist, dass am Ende nur die Hälfte herauskommt. Wenn man diese Idee fortsetzt, dann kommt (1/4)*ln(2), dann (1/8)*ln(2) u.s.w. heraus.

Trotzdem weiss ich nicht, ob es wirklich Sinn macht, an dieser Stelle solche Zusatzbegriffe wie "Dichte" und "Ungleichgewicht" einzuführen.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Rainer]

Trotzdem weiss ich nicht, ob es wirklich Sinn macht, an dieser Stelle solche Zusatzbegriffe wie "Dichte" und "Ungleichgewicht" einzuführen.

Mathematisch sauber ist das jedenfalls nicht, sondern nur laienhaft plastisch.
Aber das hat ja auch gar nichts mit dem Opertor bzw Funktion Σ oder Δ etc zu tun.

DASS Differenz und Quotient die Reihen quasi von hinten aufrollen, liegt in der Natur der Sache, hat aber nichts mit einer Änderung der Reihenfolge zu tun, sondern mit der Formel der Funktion.

Meine Beispiele

Ð.x = (x.3-x.2)-(x.2-x.1) = x.3-2x.2+x.1
Ð.x = ((x.4-x.3)-(x.3-x.2))-((x.3-x.2)-(x.2-x.1)) = x.4-3x.3+3x.2-x.1
usw
℺.x = ((x.3/x.2)/(x.2/x.1)) = x.3·x.1/x.2²
℺.x = ((x.4/x.3)/(x.3/x.2))/((x.3/x.2)/(x.2/x.1)) = x.4·x.2³/x.3³x.1
usw

betreffen ja verschiedene Differenzen bzw Quotienten, deutlicher geschrieben mit dem Endwert a der Laufvariablen i als Superskript (Σª; Ъ; Πª; ℺ª) wie folgt:
в.(x.i) = Δ.x = x.2-x.1
г.(x.i) = (x.3-x.2)-(x.2-x.1) = x.3-2x.2+x.1
Ð⁴.(x.i) = ((x.4-x.3)-(x.3-x.2))-((x.3-x.2)-(x.2-x.1)) = x.4-3x.3+3x.2-x.1
℺³.(x.i) = ((x.3/x.2)/(x.2/x.1)) = x.3·x.1/x.2²
℺⁴.(x.i)= ((x.4/x.3)/(x.3/x.2))/((x.3/x.2)/(x.2/x.1)) = x.4·x.2³/x.3³x.1

Wie gesagt ist das wohl sowieso nur sinnvoll, wenn der Endwert überschaubar ist. Aber da will ich niemandem etwas vorschreiben.

 

[TomS]

Die Idee ist nun, auch eine sinnvolle … Differenz aus einer Reihe zu bilden.

Und genau das verstehe ich nicht. Eine Differenz bildet man immer aus zwei Objekten.


Eine beliebige Umordnung der unendlichen Reihe Σnan über einer unendlichen Folge A = (an) ist übrigens dann und nur dann erlaubt, wenn die entsprechende Reihe absolut konvergent ist, d.h. wenn

Σn |an| < ∞

Derartige Folgen A bilden den Banach-Raum ℓ¹.

Die spezielle Reihe

Σn |an| = ||A||ℓ¹

liefert dabei die sogenannte ℓ¹-Norm, d.h. die "verallgemeinerte Länge" der Folge A, aufgefasst als Vektor in ℓ¹.

In einem Banach-Raum sind die üblichen Rechenregeln für endlich-dimensionale, lineare Vektorräume gegeben, d.h. für A,B zwei derartige Folgen in ℓ¹ über den reellen oder komplexen Zahlen sowie p,q zwei reelle oder komplexe Zahlen existiert die Folge

p • A + q • B = (pan + qbn)

und für ihre Norm gilt

||p • A + q • B||ℓ¹ < ∞

Man zeigt dies durch elementweise Abschätzung

|pan + qbn| ≤ |p| • |an| + |q| • |bn|

womit dann für die entsprechenden Reihen

||p • A + q • B|| ≤ |p| • ||A|| + |q| • ||B|| < ∞

folgt.

Das umfasst für den Spezialfall p=1, q=-1 insbs. die Differenz zweier unendlicher Folgen

cn = an - bn

und damit Reihen bzw. Summen der Form

Σn cn = Σn (an - bn)


1. Aus der absoluten Konvergenz der Reihe über der Folge A folgt die gewöhnliche Konvergenz.

2. Aus der absoluten Konvergenz der Reihe über der Folge A folgt auch die absolute Konvergenz über jeder beliebigen Umordnung von A, d.h. wenn π eine beliebige Permutation der natürlichen Zahlen ist, dann ist π(A) absolut konvergent, und A = (an) sowie π(A) = (aπ(n )) haben die selbe Norm

||A|| = ||π(A)||

3. Der so definierte Raum ist ein vollständiger metrischer Raum, d.h. jede Cauchy-Folge ist konvergent innerhalb dieses Raumes, und die Norm ||A - B|| liefert einen Abstandsbegriff

d(A, B) = ||A - B||

– wobei dies nicht dem bekannten euklidischen Abstand entspricht.


Wenn man also mit derartigen unendlichen Folgen und Reihen "wie üblich" rechnen möchte, dann beschränkt man sich sinnvollerweise auf ℓ¹-Folgen, deren entsprechende Reihen absolut konvergent sind, damit auch konvergent, mit identischem Wert für jede Umordnung, mit Differenzbildung etc.

 

[Rainer]

Ich habe die Lösung für die erweiterte Δ-Funktion, Ϙ geht natürlich analog genauso.

Mein erster Wurf war fast richtig, stellte aber eine Abwandlung dar, weil Glieder der Reihe mehrfach verarbeitet werden, was zwar eine sinnvolle Anwendung sein mag, jedoch dem Formalismus widerspricht. Es war daher ganz gut, dass ich dafür andere Bezeichnungen gewählt hatte.

Ich habe nun auch die Reihenfolge beibehalten, man muss ja nur das Vorzeichen korrekt setzen:
Δ¹.x = Δ.(x.n) = -x.[n]+x.[n+1]
Δ².x = Δ.(Δ.(x.n)) = -Δ.(x.n)+Δ.(x.[n+1]) = -(-x.[n]+x.[n+1]) + (-x.[n+2]+x.[n+3])
Δ³.x = Δ.(Δ.(Δ.(x.n))) = -(-(-x.[n]+x.[n+1])+(-x.[n+2]+x.[n+3])) + (-(-x.[n+4]+x.[n+5])+(-x.[n+6]+x.[n+7]))
usw

Somit ergibt sich also
Δ.x = Δ(Σ.(x.[2n-1]) = -Σ.(x.[2n-1])+Σ.(x.[2n])

Wenn man also mit derartigen unendlichen Folgen und Reihen "wie üblich" rechnen möchte, dann beschränkt man sich sinnvollerweise auf ℓ¹-Folgen, deren entsprechende Reihen absolut konvergent sind, damit auch konvergent, mit identischem Wert für jede Umordnung, mit Differenzbildung etc.

Man beschränkt sich auf gar nichts, sondern wendet Formeln an, die das Problem lösen sollen. Dies wird also durch einen Sachzwang vorgegeben und nicht durch Lust und Laune.
Die einzige Frage war, was die logische Definition dieser erweiterten Funktion ist. Ob diese sinnvoll anwendbar ist, weiß ich heute noch nicht.

Und genau das verstehe ich nicht. Eine Differenz bildet man immer aus zwei Objekten.

richtig, das war ja das Problem der Erweiterung von zwei Operanden auf eine ganze Reihe. An der Differenzbildung zwischen immer wieder zwei Operanden kann sich dabei nichts ändern, es war nur die Frage, wie dies logisch auf die weiteren Operanden fortzusetzen ist.

Bei der jetzigen Lösung ist nun noch unschön, dass die Anzahl der verarbeitbaren Operanden immer eine Binärzahl sein muss 2ª. Da war die vorherige Lösung flexibler. Daher ist der obige Ansatz auf das Ergebnis zu reduzieren:

Δ.x = Δ(Σ.(x.[2n-1]) = -Σ.(x.[2n-1])+Σ.(x.[2n])
Δ³.x = -x.1+x.2-x.3+x.4-x.5+x.6
ODER noch einfacher
Δ.x = Σ.(iªx.a)
Δ³.x = -x.1+x.2-x.3

 

[TomS]

Die Folge der Differenzen

ΔX = (xn - xn+1)

folgt aus der o.g. Notation mittels einer spezielle Permutation, letztlich einer Verschiebung

ΔX = X - π(X)

Iteriert wird mittels

Δ²X = [X - π(X)] - π[X - π(X)] = X - 2•π(X) +π²(X)

usw.

Man beschränkt sich auf gar nichts, sondern wendet Formeln an, die das Problem lösen sollen. Dies wird also durch einen Sachzwang vorgegeben und nicht durch Lust und Laune.

Der Sachzwang ist, dass die mathematischen Objekte und Abbildungen darauf widerspruchsfrei definiert sein müssen; genau das liefern die o.g. Konvergenzbegriffe (Riemann, Cauchy, Dirichlet … haben die Mathematik damit auf eine solide Grundlage gestellt). Andernfalls lösen die Formeln keine Probleme, sondern erzeugen welche.

Ob diese sinnvoll anwendbar ist, weiß ich heute noch nicht.

Unter Beachtung der o.g. Voraussetzungen ist das sicher anwendbar.

Bei der jetzigen Lösung ist nun noch unschön, dass die Anzahl der verarbeitbaren Operanden immer eine Binärzahl sein muss 2ª.

Ich bin mir nicht sicher, ob ich dich da richtig verstehe.

Betrachtet man unendliche Folgen – und deine endlichen Folgen kann man trivialerweise durch Anhängen von Nullen auf solche erweitern – funktioniert das immer ohne Einschränkungen. Das gilt auch, wenn man

• Differenzen nicht-benachbarter Elemente betrachtet; man wählt ein anderes π
• das Bildungsgesetz verallgemeinert, z.B. zu ΔX(z) = X - z • π(X) für eine komplexe Zahl z
• noch weiter verallgemeinert, indem man die Folge X gliedweise mit den Elementen einer Folge Z multipliziert, die komplexe Zahlen enthält (und bestimmten Bedingungen genügt, damit Z • X wieder die gewünschten Eigenschaften hat

 

[Rainer]

Der Sachzwang ist, dass die mathematischen Objekte und Abbildungen darauf widerspruchsfrei definiert sein müssen

Da hast Du mich missverstanden. Dass die Definition der Formel widerspruchsfrei sein muss, ist ja selbstverständlich. Doch ob ich welche Funktion für welches Problem anwende, ist ein Sachzwang: Es hat keinen Sinn, die Produktformel anzuwenden, wenn das Problem eine Addition erfordert.

 

[TomS]

Ach so, das ist natürlich klar.

 

[Rainer]

Ich bin mir nicht sicher, ob ich dich da richtig verstehe.

Betrachtet man unendliche Folgen

Das ist natürlich nicht das Problem, sondern die konkrete Anwendung. Die Summenformel Σ kann ich auf beliebig lange Zahlenreihen anwenden, das sollte eben auch für das erweiterte Δ gelten. Die Obergrenze wird üblich darüber geschrieben, ich habe es hier nur aus Bequemlichkeit als Superfix geschrieben.