Das heißt doch, \tau = \tau_0. Daraus schließe ich, dass die Zeit im Mittelpunkt genau so vergeht, wie an der Oberfläche. Wie kann dann im Mittelpunkt die Zeitdilatation am größten sein? Die Dehnung bezieht sich doch auf den Zeitverlauf?
Wieso schließt du das? Das Potential im Mittelpunkt ist doch nicht Null.
Kann es sein, dass hier nach 35 Beiträgen immer noch keiner zwischen Gravitationsspotential und Gravitationsbeschleunigung (was man oft -feld nennt) unterscheiden kann? Das
Feld ist Null. Weil das die Ableitung des Potentials ist, heißt das, dass das Potential da ein Extremum hat. Ein Minimum nämlich.
Würde die Materie in der Umgebung des Mittelpunkts durch eine Art Absorption den Energie-Impuls-Tensor so verändern, dass durch den Einfluss all dieser Wirkungen von der gesamten Umgebung bis zur Oberfläche gedanklich aufsummiert werden muss (integriert), könnte ich mir das ungefähr vorstellen.
Nochmal: Es gibt keine einzige lokal definierte Größe, die idie Zeitdilatation vorhersagen könnte. Der Energe-Impuls-Tensor ist eine lokale Größe und hat nichts mit der Zeitdilatation zu tun. Man müsste ihn quasi zweimal integrieren, um darauf zu kommen.
Beim Vergleich mit einem Oberflächenpunkt wäre der Einfluss aller Materie in der Mitte symmetrisch, an der Oberfläche dagegen sehr unsymmetrisch. Daraus würde dann doch ein Potential folgen?
Was ein Potentialfeld ist kann man nachlesen, das muss man nicht neu erfinden. Du brauchst ein wirbelfreies Vektorfeld, das ist die Gravitationsbeschleunigung. Und das integrierst du, sprich: du errechnest, wieviel Energie pro kg du reinstecken musst, um gegen diese "Kraft" von Punt A nach Punkt B zu kommen.
Das ist dann das Potential in Punkt B. Das machst du für alle möglichen Punkte B und kriegst das Potentialfeld.
Wobei sich das andersum einfacher rechnen lässt, die Gravitationsbeschleunigung ist der (negative) Gradient des Potentials. Differenzieren ist einfacher als integrieren.