Anziehung - Abstoßung

[ralfkannenberg]

Da poppt dann gleich die "ganze Problematik" hoch.

Hallo zusammen,

einfach um hier Missverständnisse zu vermeiden: es gibt hier keine "Problematik". Aufgrund der Konvergenz 0.9-Periode gegen 1.0-Periode bzw. der Analoga in anderen Zahlensystemen ist die Dezimalbruchdarstellung beim periodischen 0-er Ende und beim periodischen Ende mit der grössten Ziffer nicht eindeutig. Das ist alles und da man diese Uneindeutigkeit ja klar benennen kann, kann man eben eine der beiden Darstellungen auswählen.

Ein normaler Bruch ist übrigens auch nicht eindeutig, d.h. den muss man beispielsweise kürzen und selbst dann ist er nur bis auf Einheiten genau eindeutig, wobei in der Ringtheorie eine Einheit ein Element ist, welches ein multiplikativ Inverses hat. Im Ring der ganzen Zahlen gibt es nur 2 Einheiten, nämlich 1 und -1, so dass man also einen gekürzten Bruch immer noch auf zweierlei Weise darstellen kann, nämlich beispielsweise als 1/2 oder als (-1)/(-2). Bei positiven Brüchen scheint das etwas gar konstruiert zu sein, aber nehmen wir den Bruch -(1/2); das kann dann (-1)/2 oder 1/(-2) sein.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Bernhard]

Hallo Ralf,

es gibt hier keine "Problematik".

bei Dir natürlich nicht. Bei den Unwissenden aber eventuell schon. Deswegen hier mein letzter Beschreibungsversuch (damit Dgoe nicht "sauer" wird): 0.999... steht für den Grenzwert der Zahlenfolge a_n = 0.9, 0.99, 0.999, ... und deswegen darf man 0.999... = 1 schreiben. Richtig?

 

[ralfkannenberg]

Hallo Ralf,


bei Dir natürlich nicht. Bei den Unwissenden aber eventuell schon. Deswegen hier mein letzter Beschreibungsversuch (damit Dgoe nicht "sauer" wird): 0.999... steht für den Grenzwert der Zahlenfolge a_n = 0.9, 0.99, 0.999, ... und deswegen darf man 0.999... = 1 schreiben. Richtig?

Hallo Bernhard,

na gut, wenn wir schon dran sind:

1. warum gilt 0.33333333.... = 1/3 ?
2. warum gilt 0.30303030.... = 10/33 ?


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[ralfkannenberg]

na gut, wenn wir schon dran sind:

1. warum gilt 0.33333333.... = 1/3 ?
2. warum gilt 0.30303030.... = 10/33 ?

Hallo Bernhard,

man kann das übrigens ziemlich banal mit einer geometrischen Reihe beweisen.


Etwas schlampig formuliert kann man das mit dem 0.99999..... auch so machen:

x = 0.99999...
10x = 9.9999...

Differenz der beiden:
9x = 9 => x=1

Allerdings muss man noch zeigen, dass die Differenzbildung wirklich so geht, d.h. dass wirklich "unendlich oft" noch eine 9 von rechts "nachrutscht". Der Weg über die geometrische Reuhe ist also sauberer.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Bernhard]

1. warum gilt 0.33333333.... = 1/3 ?

Das kann ausgerechnet werden:

1/3 = 0.1 * 10 / 3 = 3 Rest 10 / 3 = 3 Rest 10 / 3 = 3 Rest 10 / 3 = 3 Rest 10 / 3 = 3 usw.

2. warum gilt 0.30303030.... = 10/33 ?

Geht analog, wie oben. 100 / 33 = 3 Rest 1 / 33 = 0 Rest 100 / 33 = 3 Rest 1 usw.

 

[FrankSpecht]

[OT]
Hallo Ralf, hallo Bernhard,
eure aktuelle Diskussion zeigt sehr schön, mit welchen Schwierigkeiten wir Programmierer manchmal konfrontiert sind ;-)
[/OT]

 

[Dgoe]

damit Dgoe nicht "sauer" wird

Ach was, kein Problem! Im Gegenteil, finde ich sehr interessant. Es dreht sich ja darum, wann der Stellenwechsel stattfindet und hier hätten wir für jeweils Identisches die dezimale Schreibweise 10 und die ebenso dezimale Schreibweise 9.999... (bzw. 1 und 0.999...), eben mit einem Stellenwechsel. Also schließt sich so ein Kreis (besser Spirale - aus einer gewissen Perspektive aber auch Kreis), zwei verschieden anmutende Dinge fallen als identisch zusammen.

Womit wir wieder bei dem einen Thema wären, das ja nicht offtopic war. Nur um diesen Kreis auch mal zu schließen.

Gruß,
Dgoe

 

[FrankSpecht]

Moin Dgoe,
ich muss dir leider widersprechen. Die Diskussion um die Neunerperiode ist keineswegs vergleichbar mit deiner Frage nach der Anziehung/Abstoßung der Gravitationskraft.

Grund: In der Mathematik gibt es den (bisher nicht erwähnten) Gegenbeweis!
Also: Wenn 0.999... identisch sei mit 1, dann muss 1 * 0.999... ebenfalls 1 ergeben.
Ebenso muss dann eine Addition 0.999... + 0.999... = 1 + 1 = 2 ergeben.

Falsch!
Es kommt, wie immer, auf die Genauigkeit an. So lässt sich bspw. 0.998 + 0.998 zu genau 1,996 berechnen. Das ist schon verhältnismäßig weit von 2 entfernt.
Genau das ist ja der Grund für so manchen Absturz eines Computers - Rundungsfehler genannt!

Das ist mit deiner Frage, ob Gravitation evtl. vergleichbare Eigenschaften besitzt wie der Magnetismus (gleichzeitig abstoßend UND anziehend), nicht vergleichbar.

 

[Dgoe]

Moin Frank,

das war jetzt etwas missverständlich, denn

deiner Frage nach der Anziehung/Abstoßung der Gravitationskraft.

Ich meinte schon noch die Anziehung der Gravitation und die Abstoßung der Expansion.

Das ist mit deiner Frage, ob Gravitation evtl. vergleichbare Eigenschaften besitzt wie der Magnetismus (gleichzeitig abstoßend UND anziehend), nicht vergleichbar.

Ja eben nicht direkt beides gleichzeitig, wie ja auch der Magnetismus eigentlich nicht (an einem Pol) - ist tatsächlich ein schlechter Vergleich, war nur ein Beispiel dafür, wo diese beiden Begriffe ein kausales Zusammenspiel führen.

Mit dem geschlossenen Kreis zwischen Minimal und Maximal, Anfang und Ende, das zusammenfällt - wie hier die dezimale Schreibweise beim Stellenwechsel - meinte ich den der minimal Möglichen und den der maximal möglichen Entropie. Könnte doch identisch sein, dann... Kreislauf...usw.

In der Mathematik gibt es den (bisher nicht erwähnten) Gegenbeweis!
Also: Wenn 0.999... identisch sei mit 1, dann muss 1 * 0.999... ebenfalls 1 ergeben.
Ebenso muss dann eine Addition 0.999... + 0.999... = 1 + 1 = 2 ergeben.

Ja, tut es doch, sehe den Beweis ehrlich gesagt nicht so. RALF! Wo bist Du?

Gruß,
Dgoe

P.S.:
Man darf natürlich überhaupt nicht runden.

 

[FrankSpecht]

das war jetzt etwas missverständlich

Ok, dann habe ich dein

Bei Magnetismus ist es auch der Fall, es existiert ein klarer kausaler Zusammenhang zwischen den gleichen Begriffen.

tatsächlich missverstanden!

 

[Dgoe]

Ok, dann habe ich dein
...
tatsächlich missverstanden!

Ja verstehe, das war auch nicht ganz glücklich formuliert.
Ich habe aber - dieses Gespräch zum Anlass - nochmals darüber nachgedacht.
Die Analogie wäre wenn dann so: Minuspol entspricht Gravitation und Pluspol entspricht Expansion...

weiter bin ich noch nicht gekommen, hehe.

 

[FrankSpecht]

Moin Dgoe,

Die Analogie wäre wenn dann so: Minuspol entspricht Gravitation und Pluspol entspricht Expansion...

es geht aber weiter: Wenn du einen Magneten halbierst, gibt es immernoch einen "Pluspol" und einen "Minuspol". Wie stellst du das mit der Gravitation an?

 

[Dgoe]

Wenn du einen Magneten halbierst, gibt es immernoch einen "Pluspol" und einen "Minuspol".

Nun ja, wenn Du das Universum halbierst, gibt es immernoch Gravitation und Expansion.
Viel interessanter wäre aber das Analogon zu dem magnetischen Feld, was die beiden Pole verbindet!?

Gruß,
Dgoe

 

[Bernhard]

[OT]
eure aktuelle Diskussion zeigt sehr schön, mit welchen Schwierigkeiten wir Programmierer manchmal konfrontiert sind ;-)
[/OT]

Ich musste heute auch schon an Visual Studio 2010 denken. Beim Debuggen ist mir die letzten Wochen nämlich auch schon aufgefallen, dass dort gilt 1.0 = 0.999999999999999. Toll! Das hat dann zur Folge, dass manche Vergleiche nicht mehr funkionieren. Man darf dann 1.0e-14 zu verwendeten Startbedingungen addieren, damit alles wieder funzt. -> Pfui Spinne.

 

[Bernhard]

wenn Du das Universum halbierst

Na hoffentlich verläuft dann die Trennlinie nicht durch die Erde.

 

[Dgoe]

Doch, genau entlang den politischen Verwerfungslinien.

 

[FrankSpecht]

Herrjeh, Dgoe,
warum musst du die Diskussion auf dieses Niveau herunterbrechen?

 

[Dgoe]

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[ralfkannenberg]

Grund: In der Mathematik gibt es den (bisher nicht erwähnten) Gegenbeweis!
Also: Wenn 0.999... identisch sei mit 1, dann muss 1 * 0.999... ebenfalls 1 ergeben.
Ebenso muss dann eine Addition 0.999... + 0.999... = 1 + 1 = 2 ergeben.

Falsch!
Es kommt, wie immer, auf die Genauigkeit an. So lässt sich bspw. 0.998 + 0.998 zu genau 1,996 berechnen. Das ist schon verhältnismäßig weit von 2 entfernt.
Genau das ist ja der Grund für so manchen Absturz eines Computers - Rundungsfehler genannt!

Hallo Frank,

es ist ein Unterschied, ob man Elemente vom Datentyp REAL betrachtet oder vom "Datentyp" reelle Zahlen. Wobei man rationale Zahlen - und 1/9 ist eine rationale Zahl - auch mit dem Computer exakt darstellen kann, indem man sie als Zwei-Tupel ihres Zählers und Nenners darstellt und dann die Bruchrechenregeln anwendet. Man kann diese Exaktheit übrigens (auf Kosten der Rechenzeit) auf algebraische Zahlen erweitern.

Zwar ist diese Darstellung nicht eindeutig, aber da der Speicherraum - heutzutage weniger wichtig als früher - begrenzt ist, kürzt man den darzustellenden Bruch, z.B. mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus, so dass nur die Mehrdeutigkeit aufgrund der Einheiten - bei ganzen Zahlen sind das nur 1 und -1 verbleibt.

Ich will bezüglich der Erweiterung auf algebraische Zahlen nur ein kleines Beispiel nennen, und zwar die Erweiterung auf IQ(sqrt(2)), also die Menge aller Zahlen, die sich als p+q*sqrt(2) darstellen lassen, mit p,q rational und sqrt(2) der Quadratwurzel von 2.

Da p,q rational finden sich also vier INTEGER-Zahlen m1, m2, n1, n2 mit p=m1/m2 und q=n1/n2, so dass sich obige Menge als m1/m2 + n1/n2*sqrt(2) schreiben lässt.

Addition und Subtraktion erfolgen komponentenweise, Multiplikation durch ausmultiplizieren mit der Zusatzregel sqrt(2)*sqrt(2) = 2 und die Division mit Hilfe der binomischen Formel, indem man 1/(p+q*sqrt(2) ) mit 1/(p-q*sqrt(2) ) erweitert, so dass im Nenner p^2 - 2*q^2 verbleibt und die Wurzel wieder im Zähler ist.

Im Allgemeinen geht das natürlich nicht so einfach, da muss man dann mit den Minimalpolynomen, welche die algebraische Zahl erzeugen, geeignet operieren.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Dgoe]

Hallo zusammen,

eine kleine Idee weiter und um einen neuen Link reicher.
In dem Zusammenhang:

Die Analogie wäre wenn dann so: Minuspol entspricht Gravitation und Pluspol entspricht Expansion...

und

Viel interessanter wäre aber das Analogon zu dem magnetischen Feld, was die beiden Pole verbindet!?

habe ich mir überlegt das Analogon einfach 'kosmologisches Feld' zu nennen. Jetzt nicht bierernst gemeint. Tatsächlich scheint es den Begriff in dieser Kombination noch nicht zu geben, die entsprechende Google-Suche hat dafür aber folgendes zu Tage gefördert:

... Entropiefeld ... Entropiekraft ....

Mal abgesehen vom reißerischen Titel und Domainnamen, eine umfangreiche Präsentation mit reichlich Formeln, die auch Toms Forscherherz höher schlagen lassen könnten.
Leider kann ich die Inhalte nicht beurteilen, ausser dass sie wohl nicht unbedingt dem Mainstream entsprechen. Ganz ehrlich, genau so gut könnte ich Skys Buch auf Chinesisch versuchen zu lesen.

Für den Kundigen aber vielleicht interessant und/oder inspirativ.

Gruß,
Dgoe