Stabile Einstein-Rosen-Brücke
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Bernhard
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Diese hier:
$$v=\partial_t + \frac{\sqrt{1-kr^2}}{a(t)}\partial_r$$
$$w=\partial_t + \frac{1}{a(t)r}\partial_{\theta}$$
EDIT:
$$K=-\left(R_{0202}v^0w^2v^0w^2+R_{1010}v^1w^0v^1w^0+R_{1212}v^1w^2v^1w^2\right)$$
Zuletzt bearbeitet:
Hallo Bernhard,
wäre es möglich, um die Probleme mit den unterschiedlichen Energie-Impuls-Tensoren (unterschiedlichen Energie-Dichten) im hypothetischen, neu entstandenen Gesamt-System in den Griff zu bekommen, wie folgt vorzugehen?:
Man teilt das Gesamt-System (ERBs, Sattelfläche und Flanken entsprechend Grafiken 2+3 ) in drei separate Teil-Systeme auf.
Analog der Herangehensweise bei der Inneren und Äußeren Schwarzschild-Lösung. Auch hier werden zwei Systeme getrennt beschrieben (innere und äußere Lösung) und am Ende, durch „zusammenlegen“, erhält man das physikalische Gesamt-System.
Dies könnte dann für das Gesamt-System (ERBs, Sattelfläche und Flanken entsprechend Grafiken 2+3 ) bedeuten:
1. Lösung: ERBs (rote Bereiche): Energie-Impuls-Tensor und Energiedichte = 0 (Vakuum-Lösung)
2. Lösung: Sattelfläche (blauer Bereich): Energie-Impuls-Tensor und Energiedichte = negativ
3. Lösung: Flanken (grüne Bereiche): Energie-Impuls-Tensor und Energiedichte = positiv
Meines Erachtens müssen sich hierbei unbedingt blauer Bereich und grüner Bereich kompensieren, also der Energie-Impuls-Tensor und die Energiedichte gleich groß sein aber mit entgegengesetztem Vorzeichen:
[Denn dies würde erklären, warum Negative Energie-Dichte überhaupt physikalisch auftritt:
Das Gesamt-System mit einer Gesamt-Energie-Dichte von NULL versucht das „spontane“ Entstehen eines positiv gekrümmten Bereiches mit positiver Energiedichte (grüner Bereich) zu ermöglichen, benötigt dazu aber Energie. Diese gibt es aber nicht im Gesamt-System (Gesamt-Energie-Dichte=0, Vakuum-Lösung). Daher wird dem NULL-Energie-System nicht vorhandene Energie entzogen. Mit anderen Worten, das Gesamt-System „leiht“ sich die notwendige, fehlende Energie aus.]
Dies wäre „grob“ formuliert die „rechte Seite“ der Feld-Gleichungen (Energie-Impuls-Tensor).
-----------------------------------------
Auf der „linken Seite“ der Feld-Gleichungen wissen wir auch schon „grob“ einiges über die möglichen Krümmungseigenschaften der Raum-Zeit:
1. Lösung: negative Krümmung entsprechend Vakuum-Lösung der ERB
2. Lösung: negative Krümmung der Sattelfläche
3. Lösung: positive Krümmung bei asymptotischer Annäherung ans Vakuum
Was meint ihr dazu?
Ihr findet sicher Unstimmigkeiten und Fehler?
Ich bin gespannt.
Schon mal Danke!
wäre es möglich, um die Probleme mit den unterschiedlichen Energie-Impuls-Tensoren (unterschiedlichen Energie-Dichten) im hypothetischen, neu entstandenen Gesamt-System in den Griff zu bekommen, wie folgt vorzugehen?:
Man teilt das Gesamt-System (ERBs, Sattelfläche und Flanken entsprechend Grafiken 2+3 ) in drei separate Teil-Systeme auf.
Analog der Herangehensweise bei der Inneren und Äußeren Schwarzschild-Lösung. Auch hier werden zwei Systeme getrennt beschrieben (innere und äußere Lösung) und am Ende, durch „zusammenlegen“, erhält man das physikalische Gesamt-System.
Dies könnte dann für das Gesamt-System (ERBs, Sattelfläche und Flanken entsprechend Grafiken 2+3 ) bedeuten:
1. Lösung: ERBs (rote Bereiche): Energie-Impuls-Tensor und Energiedichte = 0 (Vakuum-Lösung)
2. Lösung: Sattelfläche (blauer Bereich): Energie-Impuls-Tensor und Energiedichte = negativ
3. Lösung: Flanken (grüne Bereiche): Energie-Impuls-Tensor und Energiedichte = positiv
Meines Erachtens müssen sich hierbei unbedingt blauer Bereich und grüner Bereich kompensieren, also der Energie-Impuls-Tensor und die Energiedichte gleich groß sein aber mit entgegengesetztem Vorzeichen:
[Denn dies würde erklären, warum Negative Energie-Dichte überhaupt physikalisch auftritt:
Das Gesamt-System mit einer Gesamt-Energie-Dichte von NULL versucht das „spontane“ Entstehen eines positiv gekrümmten Bereiches mit positiver Energiedichte (grüner Bereich) zu ermöglichen, benötigt dazu aber Energie. Diese gibt es aber nicht im Gesamt-System (Gesamt-Energie-Dichte=0, Vakuum-Lösung). Daher wird dem NULL-Energie-System nicht vorhandene Energie entzogen. Mit anderen Worten, das Gesamt-System „leiht“ sich die notwendige, fehlende Energie aus.]
Dies wäre „grob“ formuliert die „rechte Seite“ der Feld-Gleichungen (Energie-Impuls-Tensor).
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Auf der „linken Seite“ der Feld-Gleichungen wissen wir auch schon „grob“ einiges über die möglichen Krümmungseigenschaften der Raum-Zeit:
1. Lösung: negative Krümmung entsprechend Vakuum-Lösung der ERB
2. Lösung: negative Krümmung der Sattelfläche
3. Lösung: positive Krümmung bei asymptotischer Annäherung ans Vakuum
Was meint ihr dazu?
Ihr findet sicher Unstimmigkeiten und Fehler?
Ich bin gespannt.
Schon mal Danke!
Bernhard
Registriertes Mitglied
Hallo Peter,
Bei Wurmlöchern mit ihrer exotischen Materie sieht das anders aus. Dort ist der EIT ungleich Null.
ich habe inzwischen im MTW (MTW steht für das Standardwerk der ART: https://en.wikipedia.org/wiki/Gravitation_(book)) meine vage Erinnerung bestätigt gefunden, dass dort der Energie-Impuls-Tensor (EIT) für einen Schwarm von Teilchen als Summe der Tensoren der einzelnen Teilchen dargestellt wird. Insofern erkenne ich (noch) keinen Grund von einem EIT ungleich Null für mehrere ERBs auszugehen.
Bei Wurmlöchern mit ihrer exotischen Materie sieht das anders aus. Dort ist der EIT ungleich Null.
Zuletzt bearbeitet:
Die Aussage von Kip Thorne ist auch relevant
"(I later learned that, according to Einstein’s relativistic laws, any wormhole, spherical or not, is traversable only if it is threaded by exotic matter. This follows from a theorem proved in 1975 by Dennis Gannon at the University of California at Davis."
"(I later learned that, according to Einstein’s relativistic laws, any wormhole, spherical or not, is traversable only if it is threaded by exotic matter. This follows from a theorem proved in 1975 by Dennis Gannon at the University of California at Davis."
Ok, eine Ebene ohne zeitartige Vektoren. Schwieriger zu interpretieren geht's wohl kaum. Die Krümmung ist, deinen Formeln zufolge, \(8\pi G/c^2 ; p\). Zwei lichtartig getrennte raumartige Geodäten sollten dann im statischen Einstein-Universum divergieren. Das ist mir jetzt zu kompliziert zu deuten.
Nein. Die Krümmungen kompensieren sich lokal überall im Vakuumbereich. Wenn eine negative Schnittkrümmung auftritt, muss am selben Ort in einer anderen Ebene positive Krümmung herrschen. Das bedeutet für das Volumen einer Kugel, dass es immer 4/3pi r³ ist, auch wenn die Kugel beliebig verzerrt sein kann.
Anders verhält es sich mit der "gesamten" Krümmung: Die ist bei einem SL positiv. Die gesamte Krümmung steckt in der Singulariät. Alle Kugeln, die die Singularität beinhalten, haben ein zu kleines Volumen.
Bernhard
Registriertes Mitglied
Ich komme auf ein anderes Ergebnis. Ist aber egal, weil ich Peter ja nur darauf aufmerksam machen wollte, dass die Schnittkrümmung je nach Orientierung der Ebene mal positiv und mal negativ sein kann.
Zuletzt bearbeitet:
Hallo RPE,
Sicher ist das relevant. Deshalb habe ich das Thema eröffnet.
Ich gehe von der Annahme aus, dass ERBs sich gegenseitig stabilisieren. Und dazu ist, wie sich gezeigt hat, Negative Energiedichte notwendig. Und diese Negative Energiedichte sollte nach meinem Modell im "blauen Bereich", der Sattelbrücke entstehen.
Und Negative Energiedichte ist die besondere Eigenschaft der "exotischen Materie".
Sicher ist das relevant. Deshalb habe ich das Thema eröffnet.
Ich gehe von der Annahme aus, dass ERBs sich gegenseitig stabilisieren. Und dazu ist, wie sich gezeigt hat, Negative Energiedichte notwendig. Und diese Negative Energiedichte sollte nach meinem Modell im "blauen Bereich", der Sattelbrücke entstehen.
Und Negative Energiedichte ist die besondere Eigenschaft der "exotischen Materie".
Hallo Ich (oder Du ...),
Das ist korrekt, dass sich in allen Punkten die einzelnen Krümmungen überall bei einer Vakuum-Lösung kompensieren, beispielsweise auch bei der ERB.
Dazu habe ich mich aber gar nicht geäußert.
Ich habe von Kompensation gesprochen im Zusammenhang mit den positiven und negativen Energiedichten.
Ich habe also erst einmal nur den energetischen Aspekt betrachtet.
Erst in der zweiten Hälfte meines Beitrags (unter dem Trennstrich) habe ich mich zur "linken Seite" der Feld-Gleichungen geäußert, also der Raum-Zeit-Krümmung.
Das ist korrekt, dass sich in allen Punkten die einzelnen Krümmungen überall bei einer Vakuum-Lösung kompensieren, beispielsweise auch bei der ERB.
Dazu habe ich mich aber gar nicht geäußert.
Ich habe von Kompensation gesprochen im Zusammenhang mit den positiven und negativen Energiedichten.
Ich habe also erst einmal nur den energetischen Aspekt betrachtet.
Erst in der zweiten Hälfte meines Beitrags (unter dem Trennstrich) habe ich mich zur "linken Seite" der Feld-Gleichungen geäußert, also der Raum-Zeit-Krümmung.
Du hast von positiven und negativen Energiedichten in verschiedenen Raumbereichen gesprochen, die sich insgesamt zu Null kompensieren müssen.
Ich habe geschrieben, dass es genau anders herum ist: Die Energiedichte im Vakuumbereich ist überall Null, die des gesamten Systems aber nicht. Ob links oder rechts des Gleichheitszeichens ist egal, dafür gibt es Gleichheitszeichen ja.
Hallo Bernhard,
Je länger ich über dieses Thema nachdenke, um so mehr neige ich zur Annahme von TomS, dass aufgrund der Nichtlinearität der Feldgleichungen ein "einfaches" Aufsummieren für eine resultierende Raum-Zeit nicht möglich ist. (ich hoffe, dass ich TomS da korrekt verstanden habe?).
Diese Nichtlinearität führt zu Rückkopplungen zwischen der Energie/Materie auf der "rechten Seite" der Feldgleichungen und der Raum-Zeit-Krümmung auf der "linken Seite".
Und genau eine solche Rückkopplung beobachte ich bei meinem hypothetischen Modell.
Ursprünglich sind es zwei separate ERBs (Vakuum-Lösungen, Energiedichte = 0), aber bei der Annäherung der beiden aneinander kommt es zu "subtilen Abweichungen" bezüglich der Ausgangs-Situation, sowohl quantitativ als auch qualitativ.
Bei Annäherung entsteht zwischen den ERBs eine Sattelfläche (blauer Bereich). Dies war möglicherweise durch "einfaches" Aufsummieren zu erwarten.
Aber was mich überrascht hat, ist die neu entstandene Qualität in den beiden Flanken (grüne Bereiche). Hier entsteht etwas völlig Neues, etwas was in den beiden ursprünglichen ERBs nicht existierte:
Positive Raum-Krümmung (Wenn gewünscht, kann ich diese positive Krümmung näher beschreiben, vielleicht ist diese nicht so einfach auf Anhieb zu erkennen?)
Diese leicht positiv gekrümmten Bereiche scheinen, wie auch bei konventioneller Materie, positive Energiedichte zu erzeugen. Positive Raum-Zeit-Krümmung scheint immer zwingend positive Energiedichte zu erzeugen (vielleicht gibt es da aber Gegenargumente? ) (Wenn ich aber Recht haben sollte, dann hätten wir an dieser Stelle wieder eine Rückkopplung auf die energetische "rechte Seite".
Und jetzt beginnt das Dilemma:
Wie kann in einem NULL-Energie-System [aus zwei Vakuum-Lösungen entstanden; in der End-Bilanz über das Gesamt-System (ERBs, Sattelfläche, Flanken) muss es wieder NULL Energiedichte haben] erzwungener Weise positive Energiedichte entstehen? Physikalisch ist mir das "noch" nicht klar, aber mathematisch ist dies eine "Kleinigkeit":
Der positive Energiedichte-Bereich (grüner Bereiche) ist "gezwungen", aus einem Nachbar-Bereich (der Sattel-Fläche) Energie zu "entnehmen". Da ursprünglich Energie-Dichte NULL überall existierte, geht dies mathematisch nur durch Kompensation.:
Energiedichte im Sattel = Energiedichte in beiden Flanken ; aber mit anderem Vorzeichen.
Daraus würde negative Energiedichte im Sattel resultieren, aber das Gesamt-System hat immer noch in der Bilanz über alle drei Bereiche (ERBs, Sattel, Flanken) Energiedichte NULL ...
Je länger ich über dieses Thema nachdenke, um so mehr neige ich zur Annahme von TomS, dass aufgrund der Nichtlinearität der Feldgleichungen ein "einfaches" Aufsummieren für eine resultierende Raum-Zeit nicht möglich ist. (ich hoffe, dass ich TomS da korrekt verstanden habe?).
Diese Nichtlinearität führt zu Rückkopplungen zwischen der Energie/Materie auf der "rechten Seite" der Feldgleichungen und der Raum-Zeit-Krümmung auf der "linken Seite".
Und genau eine solche Rückkopplung beobachte ich bei meinem hypothetischen Modell.
Ursprünglich sind es zwei separate ERBs (Vakuum-Lösungen, Energiedichte = 0), aber bei der Annäherung der beiden aneinander kommt es zu "subtilen Abweichungen" bezüglich der Ausgangs-Situation, sowohl quantitativ als auch qualitativ.
Bei Annäherung entsteht zwischen den ERBs eine Sattelfläche (blauer Bereich). Dies war möglicherweise durch "einfaches" Aufsummieren zu erwarten.
Aber was mich überrascht hat, ist die neu entstandene Qualität in den beiden Flanken (grüne Bereiche). Hier entsteht etwas völlig Neues, etwas was in den beiden ursprünglichen ERBs nicht existierte:
Positive Raum-Krümmung (Wenn gewünscht, kann ich diese positive Krümmung näher beschreiben, vielleicht ist diese nicht so einfach auf Anhieb zu erkennen?)
Diese leicht positiv gekrümmten Bereiche scheinen, wie auch bei konventioneller Materie, positive Energiedichte zu erzeugen. Positive Raum-Zeit-Krümmung scheint immer zwingend positive Energiedichte zu erzeugen (vielleicht gibt es da aber Gegenargumente? ) (Wenn ich aber Recht haben sollte, dann hätten wir an dieser Stelle wieder eine Rückkopplung auf die energetische "rechte Seite".
Und jetzt beginnt das Dilemma:
Wie kann in einem NULL-Energie-System [aus zwei Vakuum-Lösungen entstanden; in der End-Bilanz über das Gesamt-System (ERBs, Sattelfläche, Flanken) muss es wieder NULL Energiedichte haben] erzwungener Weise positive Energiedichte entstehen? Physikalisch ist mir das "noch" nicht klar, aber mathematisch ist dies eine "Kleinigkeit":
Der positive Energiedichte-Bereich (grüner Bereiche) ist "gezwungen", aus einem Nachbar-Bereich (der Sattel-Fläche) Energie zu "entnehmen". Da ursprünglich Energie-Dichte NULL überall existierte, geht dies mathematisch nur durch Kompensation.:
Energiedichte im Sattel = Energiedichte in beiden Flanken ; aber mit anderem Vorzeichen.
Daraus würde negative Energiedichte im Sattel resultieren, aber das Gesamt-System hat immer noch in der Bilanz über alle drei Bereiche (ERBs, Sattel, Flanken) Energiedichte NULL ...
Bernhard
Registriertes Mitglied
Da diese Sichtweise in der zugehörigen Fachliteratur nicht zu finden ist, überlege ich, ob das Thema nicht in den Bereich Gegen den Mainstream verschoben werden sollte. Ich bitte um Eure Meinungen dazu.
ralfkannenberg
Registriertes Mitglied
Halo Bernhard,
das Thema ist meiner Meinung nach ganz klar GdM.
Dass sich da wirklich kompetente Leute einbringen und es dem stillen Mitleser wie mir Spass macht, das mitzulesen, ändert nichts daran, dass die Vorschläge des Thread Openers GdM sind.
Freundliche Grüsse, Ralf
Die ist in der Singularität.
TomS
Registriertes Mitglied
Ich versuche nochmal, meine Aussagen zu präzisieren.
In der ART wird die Raumzeit mittels einer pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeit beschrieben. Auf dieser existieren Metriken g, wobei nur [g] als Äquivalenzklasse aller Metriken bzgl. der Diffeomorphismen auf M
$$ [g] = g / \text{Diff}(M) $$
relevant ist. D.h. letztlich sprechen wir von einer 4-dimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeit M mit einer Äquivalenzklasse von Abbildungen [g]
$$ (M, [g] ) = (M, g / \text{Diff}(M) ) $$
als physikalisch relevantem Objekt.
Dieses (M, [g]) ist primär. Zusätzlich können weitere Tensorfelder definiert werden; dies sind insbs. der aus g abgeleitete Riemannsche Krümmungstensor R(g) sowie daraus abgeleitete Objekten wie insbs. dem Einstein-Tensor G(g).
Ein spezielles Tensorfeld, das nicht aus R bzw. g folgt ist der Energie-Impuls-Tensor T mit der kovarianten Erhaltungs- bzw. Kontinuitätsgleichung
$$ C: \nabla_g T = 0 $$
sowie der Einsteinschen Feldgleichung
$$ E: G - 8 \pi T = 0 $$
(ich denke, C folgt aus E aufgrund der Eigenschaften von G)
Wir erhalten also die Definition einer eingeschränkte Menge aller zulässigen Äquivalenzklasse von pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeiten mit Energie-Impuls-Tensor, die die kovariante Kontinuitätsgleichung sowie die Einsteinschen Feldgleichung lösen:
$$ \mathcal{M} = \{(M, [g], [T]) : C \wedge E) \} $$
Nun zur Addition zweier Energie-Impuls-Tensoren T und T'. Man kannt nicht irgendein T für sich alleine betrachten oder zwei T, T' addieren; T ist immer im Kontext "seines" (M, [g], [T]) zu sehen.
Man kann grundsätzlich natürlich zwei Felder auf einer Mannigfaltigkeit M addieren, d.h.
$$ X|_M + X^\prime|_M = (X + X^\prime)|_M $$
Man kann jedoch nicht zwei Energie-Impuls-Tensoren auf einer Mannigfaltigkeit addieren, da jeder für sich nur im einem Kontext (M, [g]) existiert und diesen Kontext zugleich auch definiert. Ein anderer Energie-Impuls-Tensor führt zu einer anderen Lösung.
Man kann aber nie zwei Felder auf zwei verschiedenen Mannigfaltigkeit addieren. D.h.
$$ X|_{(M_1,[g]_1)} + X^\prime|_{(M_2, [g]_2)} = \text{???} $$
ist sinnlos.
Was man eigentlich braucht wäre so etwas wie
$$ (M_1, [g]_1, [T]_1) \oplus (M_2, [g]_2, [T]_2) = \text{???} $$
Aufgrund der Nichtlinearität funktioniert das aber nicht.
Es funktioniert auch nicht für Vakuum-Raumzeiten
$$ (M_1, [g]_1, 0) \oplus (M_2, [g]_2, 0) = \text{???} $$
(mit dem ⊕ meine ich natürlich kein einfaches "plus", sondern eine allgemeine Verknüpfung dieser beiden Strukturen)
Kannst du mir bitte Kapitel und Seite nennen?
Welche? Ich denke, das habe ich versucht.
Zuletzt bearbeitet:
Hallo TomS,
erst einmal vielen Dank für deine ausführliche Darlegung.
Wenn ich es richtig verstehe dann gilt (bitte korrigiere mich falls ich etwas nicht korrekt interpretiere):
analog zu deiner Aussage:
Es kann nicht von vorne herein ausgeschlossen werden, dass eine neu entstandene, resultierende Mannigfaltigkeit sich qualitativ von den zwei ursprünglichen Mannigfaltigkeiten unterscheidet?
Die resultierende Mannigfaltigkeit könnte über neue Eigenschaften verfügen?
erst einmal vielen Dank für deine ausführliche Darlegung.
Wenn ich es richtig verstehe dann gilt (bitte korrigiere mich falls ich etwas nicht korrekt interpretiere):
analog zu deiner Aussage:
Es kann nicht von vorne herein ausgeschlossen werden, dass eine neu entstandene, resultierende Mannigfaltigkeit sich qualitativ von den zwei ursprünglichen Mannigfaltigkeiten unterscheidet?
Die resultierende Mannigfaltigkeit könnte über neue Eigenschaften verfügen?
Bernhard
Registriertes Mitglied
Momenten habe ich den MTW nicht in Griffweite. Vorab kannst Du nach Einstein-Infeld-Hoffmann im www suchen. Diese Herren haben sich mit dem allgemein relativistischen N-Körper-Problem befasst und in diesem Kontext wird auch der zitierte EIT verwendet.
Zuletzt bearbeitet:
Bernhard
Registriertes Mitglied
In der Version von 1973 ist das die Formel (5.18) auf Seite 139, §5.4 Stress-Energy Tensor for a Swarm of Particles
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