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Thema: Nochmal: Geodäten in der Kerr-Raumzeit

  1. #1
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    Standard Nochmal: Geodäten in der Kerr-Raumzeit

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    Hallo zusammen,

    nach kurzer Klärung mit S.D. möchte ich das vor ca. 2 Jahren geschlossene Thema Geodäten-in-der-Kerr-Raumzeit nochmal zur Diskussion stellen.

    Aufhänger ist nachwievor das Paper von J. Levin und G. Perez-Giz A Periodic Table for Black Hole Orbits. Dort wird ab Seite 31 der Hamilton-Formalismus zur allgemeinen Berechnung der Geodätengleichungen vorgestellt, und das ist eben durchaus erwähnenswert, weil man auf diesem Wege tatsächlich extrem schnell und sicher zu sehr brauchbaren Ergebnissen kommt. In den Lehrbüchern wird dagegen manchmal die deutlich fehleranfälligere Möglichkeit der Berechnung über die Christoffel-Symbole vorgestellt. Jeder, der diese Symbole schon mal für die Schwarzschild-Metrik berechnet hat, weiß, wie leicht man sich da verrechnet.

    Bei dem Hamilton-Formalismus muss man dagegen nur die partiellen Ableitungen der kontravarianten Komponenten der Metrik selbst ausrechnen und bekommt damit ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung, welches leicht numerisch integriert werden kann. Zusätzlich hat man es nur mit Variablen zu tun, die fast schon maßgeschneidert für die Berechnung von Geodäten erscheinen.

    Um nun die anfänglichen Fragen des alten Themas zu beantworten: Ja, in A17 hat sich ein Tippfehler eingeschlichen. Korrekt muss es dort heißen
    $$\dot{q}^i = \frac{\partial H}{\partial p_i}$$
    Die Unterscheidung von ko- und kontravarianten Indizes bei den Koordinaten kennt man eventuell aus Lehrbüchern zur Elementarteilchenphysik, wo das schon mal eine Rolle spielen kann. Die gute Nachricht: Wendet man die Formeln dieses Abschnittes beispielsweise auf die Schwarzschild-Metrik an, bekommt man nach relativ kurzer Rechnung genau die Gleichungen die auch in der Literatur, wie z.B. bei T. Fließbach "Allgemeine Relativitätstheorie" angegeben werden.

    Wer sich also in das Ray-Tracing von allgemein relativistischen Problemstellungen einarbeiten will, findet hier einen vergleichsweise einfachen Einstieg. Darüberhinaus ist auch die Idee einer Klassifikation der geschlossenen Geodäten um Schwarze Löcher interessant und meiner Meinung nach auch ästhetisch sehr ansprechend.
    Geändert von Bernhard (10.09.2018 um 19:11 Uhr) Grund: Tippfehler
    Freundliche Grüße, B.

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