Bernhard
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Minkowski wählt hier alle möglichen Transformationen aus, die den mathematischen Ausdruck, der für einen Hyberboloid steht, unverändert lassen.
sprachliche Probleme
- Ersteller julian apostata
- Erstellt am
ralfkannenberg
Registriertes Mitglied
Hallo Dgoe,
ich würde sagen, dass das richtig ist. Du hast es schöner formuliert als ich es hätte formulieren können
Freundliche Güsse, Ralf
Dgoe
Gesperrt
Danke Ralf,
Du hattest Bernhards Variante noch nicht gelesen gehabt, top.
Zufälligerweise ist mir dabei etwas komisches aufgefallen: Bernhards Post ist auf 22:02 Uhr datiert und Deiner auf 22:01. Dennoch ist Dein Post nach seinem sortiert, trotz identischem System, Software.
Das ist der Beweis, dass die Zeit auch partiell rückwärts laufen kann!
Gruß,
Dgoe
Edit
P.S.: Ausserdem ist Deine Formulierung auch gut, präzise und so, dass man merkt, dass da nicht noch tausend zusätzliche Räderwerke beteiligt sind. Im Grunde war ich mir auch erst nach Deinem Beitrag sicher, halbwegs richtig zu liegen. Viel wert, Deine Erklärungen, unterschätz das nicht...
Du hattest Bernhards Variante noch nicht gelesen gehabt, top.
Zufälligerweise ist mir dabei etwas komisches aufgefallen: Bernhards Post ist auf 22:02 Uhr datiert und Deiner auf 22:01. Dennoch ist Dein Post nach seinem sortiert, trotz identischem System, Software.
Das ist der Beweis, dass die Zeit auch partiell rückwärts laufen kann!
Gruß,
Dgoe
Edit
P.S.: Ausserdem ist Deine Formulierung auch gut, präzise und so, dass man merkt, dass da nicht noch tausend zusätzliche Räderwerke beteiligt sind. Im Grunde war ich mir auch erst nach Deinem Beitrag sicher, halbwegs richtig zu liegen. Viel wert, Deine Erklärungen, unterschätz das nicht...
Zuletzt bearbeitet:
julian apostata
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Sind damit die Transformationen gemeint, die ich hier simuliere?
https://www.geogebra.org/m/DejnN9cG
Ist die Gruppe G_c dann das was ich simuliert habe? Und kommen dann noch die Drehungen um den Raumzeitnullpunkt und dessen Verschiebungen hinzu? Kann man quasi die Gruppe G_c in drei Untergruppen einteilen?
ralfkannenberg
Registriertes Mitglied
Hallo Dgoe,
etwas vergleichbares ist mir vor 1 Woche auf unserem Testsystem passiert, als eine Order 6 Minuten vor ihrer Eingabe gecancelled wurde und ich mir schon den Physik-Nobelpreis abholen wollte. Zumal die üblichen Responsezeiten im Mikrosekunden-Bereich liegen, was schon sehr gut ist, aber natürlich nicht im negativen Bereich !
Hier aber ist das zum Glück nicht der Fall, Bernhards Post erfolgte schon 2 Stunden früher als von Dir angegeben, allerdings habe ich das auch nicht sofort erkannt - das menschliche Auge kann einen auch täuschen
Zum Glück nicht.Das ist der Beweis, dass die Zeit auch partiell rückwärts laufen kann!
Freundliche Grüsse, Ralf
Hi,
Ich wills mal so erklären:
"homogen" kannst du zumindest für Funktionen bei Wikipedia nachlesen. Das bedeutet im Wesentlichen, dass man nicht einfach irgendwelche Konstanten zu x,y,z,t dazuaddieren darf, sondern dass der Nullpunkt gleich bleibt. Also aus x=0,y=0 etc. folgt x'=0,y'=0 etc.
"linear" ist nach heutigem Sprachgebrauch für Abbildungen nur eine strengere Form davon, das "homogen" wäre also eigentlich überfüssig. (Minkowski versteht unter "linear" offensichtlich etwas, was man heute "affin" nennen würde.) Es bedeutet, dass die Trafo nicht irgendwo was quadriert oder so, sondern z.B. die neue Koordinate x' aus einer Linearkombination der alten Koordinaten zusammengesetzt wird, also x' = a1*x + a2*y +a3*z+a4*t mit irgendwelchen Konstanten a1...a4.
Alle möglichen linearen Transformationen, die einen Vektor s=(t,x,y,z) auf einen anderen Vektor s'=(t',x',y',z') abbilden, sind also Matrixmultiplikationen s'=M*s.
(Inhomogen bzw. affin wäre z.B. s'=M*s + s0 mit einem konstanten Vektor s0, der einer Verschiebung des Nullpunkts entspricht.)
Unter allen Matrixmultiplikationen sind also die zu finden, die die Gleichung c²t²-x²-y²-z²=1 unverändert lassen, wenn man s durch s' ersetzt. Das sind dann die gesuchten Transformationen. Die Matzizen M, für die das gilt, bilden die gesuchte Gruppe.
Eine Untergruppe dieser Trafos sind, wie Minkowski schreibt, die räumlichen Drehungen. Warum? t bleibt gleich, also t=t'. Und Drehungen zeichnen sich dadurch aus, dass sie alle Längen gleich lassen. Das heißt, der Pythagoras x²+y²+z² bleibt gleich, also x²+y²+z² = x'²+y'²+z'². Damit wird aus c²t²-x²-y²-z²=1 tatsächlich c²t'²-x'²-y'²-z'²=1, passt also.
Diese Aufzählung ist ganz sicher nicht die Gruppe der Transformationen, die Minkowki meint. Die Trafos sollen ganze Vektoren ineinander überführen, nicht Komponenten.
Ich wills mal so erklären:
Er will alle homogenen linearen Transformationen t,x,y,z -> t',x',y',z' finden, für die nicht nur c²t²-x²-y²-z²=1 gilt, sondern auch c²t'²-x'²-y'²-z'²=1. Das ist die Bedeutung von "der Ausdruck dieser Schale in den neuen Variabeln entsprechend wird". "Ausdruck" meint die mathematische Gleichung, "entsprechend" heißt, dass man nur x' statt x usw. schreibt und die Gleichung trotzdem noch stimmt.Minkowski schrieb:
"homogen" kannst du zumindest für Funktionen bei Wikipedia nachlesen. Das bedeutet im Wesentlichen, dass man nicht einfach irgendwelche Konstanten zu x,y,z,t dazuaddieren darf, sondern dass der Nullpunkt gleich bleibt. Also aus x=0,y=0 etc. folgt x'=0,y'=0 etc.
"linear" ist nach heutigem Sprachgebrauch für Abbildungen nur eine strengere Form davon, das "homogen" wäre also eigentlich überfüssig. (Minkowski versteht unter "linear" offensichtlich etwas, was man heute "affin" nennen würde.) Es bedeutet, dass die Trafo nicht irgendwo was quadriert oder so, sondern z.B. die neue Koordinate x' aus einer Linearkombination der alten Koordinaten zusammengesetzt wird, also x' = a1*x + a2*y +a3*z+a4*t mit irgendwelchen Konstanten a1...a4.
Alle möglichen linearen Transformationen, die einen Vektor s=(t,x,y,z) auf einen anderen Vektor s'=(t',x',y',z') abbilden, sind also Matrixmultiplikationen s'=M*s.
(Inhomogen bzw. affin wäre z.B. s'=M*s + s0 mit einem konstanten Vektor s0, der einer Verschiebung des Nullpunkts entspricht.)
Unter allen Matrixmultiplikationen sind also die zu finden, die die Gleichung c²t²-x²-y²-z²=1 unverändert lassen, wenn man s durch s' ersetzt. Das sind dann die gesuchten Transformationen. Die Matzizen M, für die das gilt, bilden die gesuchte Gruppe.
Eine Untergruppe dieser Trafos sind, wie Minkowski schreibt, die räumlichen Drehungen. Warum? t bleibt gleich, also t=t'. Und Drehungen zeichnen sich dadurch aus, dass sie alle Längen gleich lassen. Das heißt, der Pythagoras x²+y²+z² bleibt gleich, also x²+y²+z² = x'²+y'²+z'². Damit wird aus c²t²-x²-y²-z²=1 tatsächlich c²t'²-x'²-y'²-z'²=1, passt also.
Zuletzt bearbeitet:
ralfkannenberg
Registriertes Mitglied
Hallo Ich,
tatsächlich war ich ziemlich überrascht, dass Minkowski nicht vektorenweise, sondern komponentenweise argumentieren würde.
Bei solchen Betrachtungen eine ganz wichtige Eigenschaft.
Ja, ich war bei der Interpretation des von Julian angefragten Abschnittes voreilig davon ausgegangen, dass hier eine "rein-lineare" Abbildung vorliege und hatte mich deswegen auch schon über den zusätzlichen Begriff der Homogenität gewundert. Das war nun aber mein Fehler, denn auch in der Mathematik werden "lineare Funktionen" so definiert, dass sie einen von 0 verschiedenen konstanten Term haben können und somit genau genommen gar nicht linear sind, weil sie den Nullpunkt nicht-trivial verschieben.
Minkowski ist da also durchaus konform zur heutigen Notation; es ist an sich so, dass man in der Linearen Algebra und in der reinen Algebra dazu tendiert, stillschweigend nur rein-lineare Abbildungen zu betrachten und den ohnehin einfach zu behandelnden konstanten Teil dann über Vektoren seperat betrachtet.
Nochmals danke für die Klarstellung
Freundliche Grüsse, Ralf
ralfkannenberg
Registriertes Mitglied
Hallo zusammen,
eine kleine Ergänzung hierzu: natürlich kann man sich die Frage stellen, warum bei der "Linearität" in gewissen Zusammenhängen konstante Terme zugelassen sind und in anderen nicht.
An sich ist das historisch bedingt, denn man war (und ist) da von der Vorstellung geprägt, dass eine Gerade etwas lineares ist. Und diese werden - solange sie nicht senkrecht sind - durch eine Gleichung dargestellt, die einen rein-linearen und einen konstanten Term enthalten.
Den Zusammenhang zur rein-linearen Funktion kann man nun ganz einfach herstellen, indem man eine solche gerade durch die Kongruenzabbildung einer Translation so verschiebt, dass ihr "Ordinatenachsenabschnitt" gleich 0 wird, sie also durch den Nullpunkt geht.
Freundliche Grüsse, Ralf
Nun, bei Wikipedia macht es einen Unterschied, ob man linear zu einer Funktion sagt oder zu einer Abbildung. Was für sich schon seltsam ist, vielleicht prallen da unterschiedliche Historien aufeinander, Analysis gegen lineare Algebra oder was weiß ich. Minkowski hat auf jeden Fall mit seiner Formulierung alle Missverständisse ausgeschlossen.
julian apostata
Registriertes Mitglied
Bist du dir da wirklich sicher? Mach mal Systemwechsel. Die Uhr wird zur Ellipse. Nimm den Punkt
https://www.geogebra.org/m/NPvfsHQ8
ct=0 x=1 y=0 ct'= -4/3 x'=5/3 y'=0
und dreh ihn 90° um den räumlichen Koordinatenursprung
ct=0 x=0 y=1 ct'=0 x'=0 y'=1
um 180° gedreht
ct=0 x=-1 y=0 ct'=4/3 x'=-5/3 y'=0
Jedesmal ändert sich der Wert ct'. Im Minkowskidiagramm könnt ihr allerdings nur das letzte und erste Ereignis darstellen
https://www.geogebra.org/m/DejnN9cG
Aber wie führt man jetzt eine raumzeitliche Drehung um den Koordinatenursprung im Minkowskidiagramm aus?
Nun, man sucht sich irgendeine Hyperbel c²t²-x²=s² (oder-s²) aus und führt einen Punkt daran entlang. Oder?
Absolut.
Hör mal mit diesem Geogebra auf. Ich schaue mir das nicht an und halte es für den falschen Weg, da etwas verstehen zu wollen. Mag ja sein, dass man damit alles Mögliche toll visualisieren kann, aber konzentriere dich bitte aufs Thema.
Du hast s=(0,1,0,0) und drehst 90° um die z-Achse. Wie lautet s'? Richtig, s'=(0,0,1,0). Also t=t'.
Du scheinst noch nicht verstanden zu haben, dass t die Zeitkomponente vor der fraglichen Transformation ist und t' die nach der Transformation. Die fragliche Transformation ist eine räumliche Rotation, nicht ein Lorentz Boost.
Wenn wir also den Boost weglassen (was willst du überhaupt damit, wenn wir doch von räumlichen Rotationen reden??), und du das verstanden hättest, dann läse sich dein Beitrag so:
Klarer?
ralfkannenberg
Registriertes Mitglied
Hallo Julian,
bei einer räumlichen Drehung um die z-Achse verbleiben die t-Achse und die z-Achse invariant. Sie bekommen also keine anderen Koordinaten als zuvor, d.h. es gilt:
t-Richtung: (1,0,0,0) wird auf (1,0,0,0) abgebildet, und zwar per definitionem !!!
z-Richtung: (0,0,0,1) wird auf (0,0,0,1) abgebildet, weil z-Koordinaten bei einer Drehung um die z-Achse unverändert verbleiben.
"Passieren" tut bei einer solchen Drehung nur etwas in x-Richtung und in y-Richtung:
x-Richtung: (0,1,0,0) wird auf (0,0,1,0) abgebildet: (0,1,0,0) ist 1 in x-Richtung und das wird auf 1 in y-Richtung abgebildet, also auf (0,0,1,0).
y-Richtung: (0,0,1,0) wird auf (0,-1,0,0) abgebildet: (0,0,1,0) ist 1 in y-Richtung und das wird auf -1 in x-Richtung abgebildet, also auf (0,-1,0,0).
Freundliche Grüsse, Ralf
Dgoe
Gesperrt
Hallo Ralf,das menschliche Auge kann einen auch täuschen
tatsächlich! Unglaublich.
Hatte ich nicht erkannt, übersehen.Gruß,
Dgoe
julian apostata
Registriertes Mitglied
@Ich
Kann es sein dass du nur die Drehung des des Raumzeitpunktes (0,1,0,0) um 90° gemeint hast, wobei du den Punkt (0,0,1,0) erhältst? Ohne Systemwechsel?
Und du folgende Rechnung (mit Systemwechsel), die ich gemacht habe, nicht gemeint hast?
$$\\\begin {pmatrix}\gamma&-\gamma\frac{v}{c}&0&0\\-\gamma\frac{v}{c}&\gamma&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end {pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end {pmatrix}=\begin {pmatrix}-\gamma \frac{v}{c}\\\gamma \\0\\0\end {pmatrix}\qquad\qquad\begin {pmatrix}\gamma&-\gamma\frac{v}{c}&0&0\\-\gamma\frac{v}{c}&\gamma&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end {pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end {pmatrix}=\begin {pmatrix}0\\0\\1\\0\end {pmatrix}$$
Und auch wenn du das nicht gemeint hast. Ist die Rechnung denn falsch?
Kann es sein dass du nur die Drehung des des Raumzeitpunktes (0,1,0,0) um 90° gemeint hast, wobei du den Punkt (0,0,1,0) erhältst? Ohne Systemwechsel?
Und du folgende Rechnung (mit Systemwechsel), die ich gemacht habe, nicht gemeint hast?
$$\\\begin {pmatrix}\gamma&-\gamma\frac{v}{c}&0&0\\-\gamma\frac{v}{c}&\gamma&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end {pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end {pmatrix}=\begin {pmatrix}-\gamma \frac{v}{c}\\\gamma \\0\\0\end {pmatrix}\qquad\qquad\begin {pmatrix}\gamma&-\gamma\frac{v}{c}&0&0\\-\gamma\frac{v}{c}&\gamma&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end {pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end {pmatrix}=\begin {pmatrix}0\\0\\1\\0\end {pmatrix}$$
Und auch wenn du das nicht gemeint hast. Ist die Rechnung denn falsch?
Was werde ich denn gemeint haben?
Du weißt doch, was eine räumliche Drehung ist? Ja, diese Drehung um 90° ist ein Beispiel für eine räumliche Drehung.
Dieser "Systemwechsel" ist ein "Lorentz-Boost", gelegentlich auch eigentliche Lorentztrafo genannt. Nein, das ist keine räumliche Drehung und das habe ich also auch nicht gemeint.
Deine Rechnung ist nicht falsch. Sie ist aber bedenklich, weil du damit zeigen wolltest, dass eine räumliche Drehung die Zeitkomponente verändert. Das heißt, dass du noch nicht den Anschluss zu dem gefunden hast, was ich geschrieben habe, sondern in ganz anderen Gefilden unterwegs bist. Ich bin noch bei Minkowskis Aussage, die dir unverständlich war, und die ich erklären wollte. Vielleicht solltest du dich auch damit beschäftigen. Da hat's noch lange keine Systemwechsel und Lorentztrafos, die will er ja erst finden.
ralfkannenberg
Registriertes Mitglied
Hallo Julian,
ich habe es Dir hier für jede Koordinate - genauer: Einheits-Basisvektor - vorgerechnet.
Freundliche Grüsse, Ralf
Bernhard
Registriertes Mitglied
Wenn man sich mit der Hyperbel unsicher ist, würde ich den Ausdruck x²+y²+z²=const. betrachten. Man kann da relativ leicht die Drehungen um die x, y oder z-Achse anwenden und per Rechnung zeigen, dass sich der Ausdruck unter diesen Transformationen nicht ändert. Man kennt dann bereits einen wichtigen Spezialfall des allgemeineren Sachverhaltes. Anschaulich ist klar, dass dem so sein muss, denn wenn man einen Vektor mit der Länge const. dreht, verändert er ja seine Länge nicht.
Die Transformationen kann man hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix entnehmen. Es sind die drei Matrizen R_x(alpha), R_y(alpha) und R_z(alpha). Die volle Drehmatrix ist für den Anfang nicht zu empfehlen, weil die Rechnung da etwas komplizierter ist.
Die Transformationen kann man hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix entnehmen. Es sind die drei Matrizen R_x(alpha), R_y(alpha) und R_z(alpha). Die volle Drehmatrix ist für den Anfang nicht zu empfehlen, weil die Rechnung da etwas komplizierter ist.
julian apostata
Registriertes Mitglied
Okay und ich hab es auch verstanden. Folgendes hab ich halt überlesen.
Das Problem ist halt, ich hab den Text schon mindestens 10 mal bis hier her gelesen. Und außer Fig 1 kann ich darin nichts Wesentliches oder Weltbewegendes finden. Und wenn ich nicht weiß, was jetzt wichtig ist, dann kann es natürlich passieren, dass ich mich an unwichtigen Sachen fest beiße und das Wesentliche übersehe.
Nehmen wir mal an, im 18.Jahrhundert schon hätte ein Mathematiker die selben Gedanken wie Minkowski gehabt. Was hätte ihn denn zu der Annahme bewegt, dass wir eher in einer G_c-Welt leben, als in einer G∞ -Welt.
Für mich ist das eher ein klares Unentschieden. Mit Invarianz ist doch gemeint: Egal wie wir ein Koordinatensystem verschieben, verdrehen oder in gleichförmige Bewegung versetzen, die Gleichungen der newtonischen Mechanik behalten ihre Form. Das gilt doch für beide Gruppen gleichermaßen.
Und im Text kann ich keine Hinweise dafür finden, warum wir einer Gruppe vor der anderen den Vorzug geben sollten.
ralfkannenberg
Registriertes Mitglied
Hallo Julian,
es ist meiner Einschätzung nach genau umgekehrt: es sind die wesentlichen Dinge, die Du übersiehst und dafür beisst Du Dich un unwesentlichen Dingen fest und greifst schon weit voraus, obgleich man noch gar nicht so weit ist.
Die Konzepte sehen auf den ersten Blick banal aus und der Laie überliest sie, weil er nichts damit anfangen kann. Aber es sind eben die Grundsätze, auf die es später bei der detaillierten herleitung ankommt und entsprechend ist es wichtig, diese Anfangskonzepte gut zu verstehen.
Die sind ja auch nicht schwer, aber der Laie weiss meistens nicht, in welchen Zusammenhang sie einzuordnen sind. Da ist dieser "Gruppenbegriff", der für den Autor ebenso wie für die zu erwartende Leserschaft bekannt und vertraut ist, aber der Laie kennt ihn eben nicht, nimmt das umgangssprachliche Wort und missversteht dann alles nachfolgende.
Da ist dieses Konzept der Transaktionen, bei denen "irgendetwas" auf "sich selber" abgebildet wird; das können geometreishce Figuren wie Rechtecke und Quadrate sein, oder Gleichungen, das kann an sich auch dioe Permutation eines Einkaufszettels sein - ob Du erst die Bananen und dann die Milch kaufst oder umgekehrt ist aus Sicht des Gesamteinkaufes irrelevant, auch wenn man nun natürlich einwänden kann, dass man zweckmässigerweise nicht im laden hin- und herläuft, sondern seine Einkäufe so tätigt, dass man kurze Wege geht. Aber die Optimierung der Lange des Einkaufsweges ist schon eine Zusatzbedingung, um die es beim Einkauf selber gar nicht geht. Da geht es dann eher um die Fragestellung, ob es in der Einkaufstasche genügend Platz für alle die Einkäufe gibt.
Und in der Natur gibt es eben gewisse Symmetrien, die niemand anzweifelt: wenn jemand ein Loch einen Meter tief in den Boden bohrt, so ist es egal, ob Du das von rechts oder von links oder von oben beobachtest; wichtig ist nur, dass am Ende ein Loch der Tiefe 1 Meter gebohrt wurde. Anders kann es schon sein, wenn Du das ganze im Spiegel betrachtest: der Bohrer, der sich vorher rechtsherum gedreht hat, wird sich dann nämlich linksherum drehen. Trotzdem wird sich an der Tiefe des Loches nichts ändern, wenn man das Bohren durch einen Spiegel betrachtet.
Usw. usw.
Und ja: es ist eben sehr wichtig, sich die nötige Zeit zu nehmen und all' diese möglichen Symmetrien zu studieren und gut zu verstehen, ehe man mit dem Herumrechnen anfängt. Denn sonst passieren solche Malheurs, dass sich eine Zeit vermeintlicherweise geändert habe, obgleich man sich nur im Raum bewegt hat.
Freundliche Grüsse, Ralf