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Thema: sprachliche Probleme

  1. #1
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    Standard sprachliche Probleme

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    http://astronews.com/forum/showthrea...digkeit/page18

    Ralf hat vorgeschlagen, die Diskussion drüben erst mal zu beenden und in einem neuen Thread weiter zu führen.

    Es geht also um diesen Text, den ich bis Fig 2 durch gearbeitet habe.

    https://de.wikisource.org/wiki/Raum_...it_(Minkowski)

    Und das Einzige was ich daran wirklich verstehe, sind die beiden Figuren.

    Jetzt hat mir Ralf erst mal vorgeschlagen, #28 bis #31 durch zu gehen. Und bei #29 komm ich schon nicht mehr weiter.

    Zitat Zitat von ralfkannenberg Beitrag anzeigen
    Das sind also vier Abbildungen, von denen zwei - die erste und die letzte, die Orientierung erhalten und die beiden mittleren, also die beiden Spiegelungen, die Orientierung umdrehen.
    Was ist denn nun eine Orientierung bei einem Rechteck? Beispiel: Wir verbinden die 4 Punkte (0,0) (5,0) (0,1) (5,1) zu einem Rechteck. Welche Orientierung hat dieses?

    Zitat Zitat von ralfkannenberg Beitrag anzeigen
    Da bei Kongruenzabbidungen die Flächen erhalten bleiben, hat die "Determinante" der zugehörigen linearen Abbildung den Absolutwert 1
    Gestern stand ich noch völlig auf dem Schlauch. Aber jetzt hab ich zumindest einen vagen Verdacht. Ist beispielsweise eine Drehmatrix eine Determinante für eine Drehung? Und kann man für Spiegelungen und Verschiebungen auch eine solche angeben?

    Zitat Zitat von ralfkannenberg Beitrag anzeigen
    was Du von der Algebra konkret benötigst können wir gezielt gemeinsam erarbeiten.
    Und warum zum Geier fangen wir nicht endlich damit an? Du hättest mir beispielsweise die Frage gleich beantworten können, als ich sie drüben zum ersten mal gestellt habe. Statt dessen hast du nur gesagt, dass sie in der Algebra nicht vorkommen. Ich fürchte, solche "Auskünfte" helfen mir da kaum weiter.

  2. #2
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    Sorry, ich hab grad in der Formelsammlung nachgeschaut. (Hätte ich auch früher machen können) Da steht:

    Eine Determinante ist eine Funktion, die einer quadratischen Matrix eindeutig einen Wert zuordnet
    Jetzt müsste ich nur noch raus kriegen, wie die Matrix für eine Spiegelung ausschaut.

  3. #3
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    Zitat Zitat von julian apostata Beitrag anzeigen
    Was ist denn nun eine Orientierung bei einem Rechteck? Beispiel: Wir verbinden die 4 Punkte (0,0) (5,0) (0,1) (5,1) zu einem Rechteck. Welche Orientierung hat dieses?
    Hallo Julian,

    ein Rechteck hat keine Orientierung, ebensowenig wie Du eine Orientierung hast.

    Aber wenn Du in einen Spiegel schaust, so siehst Du Dich seitenverkehrt, d.h. Dein Spiegelbild hat eine andere Orientierung als Du selber. Und wenn Du in 2 Spiegel schaust, so siehst Du Dich wieder so wie ursprünglich orientiert.

    Wenn Du Dich aber drehst, so bist Du als Folge der Drehung nicht "seitenverkehrt", sondern genauso orientiert wie vor der Drehung.

    Eine Kongruenzabbildung kann also orientierungserhaltend sein oder orientierungsumkehrend.

    Und noch ein Zuckerbonbon zum Abschluss: zwei Spiegelungen ergeben eine Drehung und das passt auch dazu, dass wenn man zweimal die Orientierung umkehrt - das braucht übrigens keineswegs nacheinander zu passieren, d.h. "irgendeine Spiegelung" + "irgendeine Drehung" + "irgendeine Spiegelung" ergibt "irgendeine Drehung".

    Aber "irgendeine Spiegelung" + "irgendeine Drehung" ergibt "irgendeine Spiegelung".


    Freundliche Grüsse, Ralf

  4. #4
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    Zitat Zitat von julian apostata Beitrag anzeigen
    Eine Kongruenzabbildung kann also orientierungserhaltend sein oder orientierungsumkehrend.
    Beziehungsweise die Determinante der Abbildungsmatrix ist +1 oder -1. Hoffentlich hab ich jetzt ein wenig mehr Orientierung.

  5. #5
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    Zitat Zitat von julian apostata Beitrag anzeigen
    Gestern stand ich noch völlig auf dem Schlauch. Aber jetzt hab ich zumindest einen vagen Verdacht. Ist beispielsweise eine Drehmatrix eine Determinante für eine Drehung?
    Hallo Julian,

    nein: eine Determinate ist ein Mass, wie sich das Volumen (bzw. im zweidimensionalen die Fläche) einer Figur ändert, wenn man eine Abbildung auf die Figur anwendet.

    Wenn Du also ein Rechteck, dessen Kanten in x-Richtung und in y-Richtung weisen, in y-Richtung gleich lässt und in x-Richtung um einen Faktor 2 vergrösserst, so erhälst Du ein Rechteck mit doppelter Fläche. Die Determinante hat also den Wert 2.

    Wenn Du das Rechteck indes an der x-Achse spiegelst, so hat es eine gleich grosse Fläche, aber ist seitenverkehrt, d.h. seine Determinante hat den Wert -1.

    Und wenn Du das Rechteck (wir legen o.E.d.A. den Mittelpunkt in den Nullpunkt) schliesslich um 180° drehst, dann werden alle x-Koordinaten mit -1 multipliziert und alle y-Koordinaten ebenfalls mit -1 multipliziert. Bei dieser Abbildung bleiben Fläche und Orientierung erhalten, d.h. die Determinante hat den Wert +1.


    Wenn es gelingt, die lineare Abbildung so als Matrix zu schreiben, dass die "Verzerrung" in x-Achse und die "Verzerrung" in y-Achse als Faktoren angegeben werden können, so ist die Determinante gerade das Produkt dieser beiden Verzerrungsfaktoren. Man kann zeigen, dass die Determinante einer Matrix unabhängig von der Basis ist, d.h. die Determinante bleibt bei einem Wechsel des Koordinatensystems erhalten. Das führt dazu, dass im Allgemeinen die Determinante im Zweidimensionalen gerade die Differenz aus dem Produkt der Hauptdiagonale minus dem Produkt der Nebendiagonale ist. Und wenn man die Abbildung so schreiben kann, dass man nur die beiden Verzerrungsfaktoren hat, so stehen diese in der Hauptdiagonalen - sieht man einfach, indem man die beiden Vektoren (1,0) und (0,1) einsetzt - und in der nebendiagonale stehen nur 0, deren Produkt dann ebenfalls 0 ist.


    Diese beiden "Verzerrungsfaktoren" heissen übrigens "Eigenwerte" der Matrix und auch sie sind wie die Determinante unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems.


    Zurück zu den Beispielen:

    - beim um 2 in x-Richtung verzerrten Rechteck sind die beiden Verzerrungsfaktoren (also Eigenwerte) 2 und 1, und ihr Produkt ist 2.
    - beim an der x-Achse gespiegelten Rechteck sind die beiden Verzerrungsfaktoren (also Eigenwerte) 1 und -1, und ihr Produkt ist -1.
    - beim um 180° gedrehten Rechteck sind die beiden Verzerrungsfaktoren (also Eigenwerte) -1 und -1, und ihr Produkt ist +1.


    Wir wollen das Rechteck noch an der y-Achse spiegeln:

    - beim an der y-Achse gespiegelten Rechteck sind die beiden Verzerrungsfaktoren (also Eigenwerte) -1 und 1, und ihr Produkt ist -1.


    Und wir wissen ja, was passiert, wenn wir erst an der x-Achse und dann an der y-Achse spiegeln: dann erhalten wir eine 180°-Drehung.

    Und wenn man die beiden Matrizen mit den Verzerrungsfaktoren 1 und -1 sowie -1 und 1 nacheinander ausführt, also "multipliziert", so erhält man tatsächlich eine Matrix mit den Verzerrungsfaktoren -1 und -1. Die Determinanten multiplizieren sich also bei Nacheinanderausführung zweier Matrizen, ebenso wie sich ja auch die Fläachenänderungen bei Nacheinanderausführung zweier Kongruenzabbildungen multiplizieren.

    Aus Sicht der Drehmatrix ist sind die Verzerrungsfaktoren der 180°-Drehung allerdings nicht -1 und -1, sondern cos(180°) und cos(180°). Das ergibt aber beide Male -1.

    Soweit mal ein ganz rascher Crash-Kurs; es geht überhaupt nicht darum, dass Du das nun alles bis ins letzte Detail verstehst, sondern dass Du einen Eindruck bekommst, wie man sowas macht - die meisten der genannten Konzeote wirst Du bereits irgendwo gehört haben und ich habe sie nun einfach nur in den richtigen Zusammenhang gesetzt.


    Freundliche Grüsse, Ralf
    Geändert von ralfkannenberg (14.09.2016 um 14:57 Uhr)

  6. #6
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    Ohh das Ding mit dem Spiegel:

    er "verkehrt" die Seiten, aber nicht oben und unten (?)

    "Seitenverkehren" kann es dann nicht sein - der Spiegel "tauscht" hinten und vorne, oder?
    Wenn er zweimal tauscht, ist es wieder richtig. Wie sieht das ein "mathematischer" Spiegel per Definition?

    Unschlüssig - Senf

    PS: Ralf war mit dem Crash-Kurs schneller, aber beantwortet das schon die Frage?
    Geändert von Herr Senf (14.09.2016 um 14:58 Uhr)

  7. #7
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    Zitat Zitat von Herr Senf Beitrag anzeigen
    Wie sieht das ein "mathematischer" Spiegel per Definition?
    Hallo Herr Senf,

    sei S die Spiegelung.

    Dann betrachtet man die Bilder S( (1,0) ) und S( (0,1) ).


    Oder im Dreidimensionalen eben die Bilder S( (1,0,0) ), S( (0,1,0) ) und S( (0,0,1) )


    Freundliche Grüsse, Ralf

  8. #8
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    @Ralf
    Gut mir ist jetzt wieder klar, was eine Determinante ist. Von der Schulzeit her hatte ich nur vage in Erinnerung, dass es was mit Spalten und Zeilen zu tun hat. Hat es ja auch. Das es sich dabei um einen Zahlenwert handelt, ist mir jetzt wieder bewusst.

    Ich möchte aber zunächst mal deine 4 Postings durcharbeiten, in der Hoffnung, dadurch Minkowski ein Stück näher zu kommen.

    Und deine zwei Beispiele mit Rechteck und Quadrat hab ich verstanden.

    Der Haken ist nur der: Ich kann den Zusammenhang zwischen deinen Beispielen und dem Begriff der Gruppe irgendwie nicht erkennen.

    https://de.wikipedia.org/wiki/Gruppe_(Mathematik)
    In der Mathematik ist eine Gruppe eine Menge von Elementen zusammen mit einer Verknüpfung, die je zwei Elementen der Menge ein drittes Element derselben Menge zuordnet und dabei drei Bedingungen, die Gruppenaxiome, erfüllt: das Assoziativgesetz, die Existenz eines neutralen Elements und die Existenz von inversen Elementen.
    Die Verknüpfung wäre doch eine MatrixVektorMultiplikation. Dabei erhalten immer 4 Punkte neue Koordinaten, wobei die Form der Figur erhalten bleibt.

    Ober wo in deinen Beispielen sind da zwei Elementen der Menge denen ein drittes Element derselben Menge zuordnet wird?

    Okay jetzt habe ich noch eine Grammatikfrage.

    Die Gleichungen der Newtonschen Mechanik zeigen eine zweifache Invarianz. Einmal bleibt ihre Form erhalten
    sollte da nicht stehen "bleiben ihre Formen erhalten", weil sich die Formen auf die Gleichungen beziehen.

    Hat Minkowski hier den Plural vergessen oder hab ich was falsch verstanden?
    Geändert von julian apostata (15.09.2016 um 14:30 Uhr)

  9. #9
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    Zitat Zitat von julian apostata Beitrag anzeigen
    Und deine zwei Beispiele mit Rechteck und Quadrat hab ich verstanden.

    Der Haken ist nur der: Ich kann den Zusammenhang zwischen deinen Beispielen und dem Begriff der Gruppe irgendwie nicht erkennen.
    Hallo Julian,

    das ist vermutlich viel einfacher als Du denkst: es ist so, dass die Menge aller Kongruenzabbildungen, die ein Rechteck auf sich selber abbilden, eine solche Gruppe bilden. Und auch die Menge aller Kongruenzabbildungen, die ein Quadrat auf sich selber abbilden - diese ist grösser als diejenige beim Rechteck, weil Quadrate mehr Symmetrien aufweisen als Rechtecke, bilden eine Gruppe.

    Wenn Du nur weisst, dass eine Menge vorliegt, so hast Du eigentlich wenig Informationen, an sich kannst Du dann nur Teilmengen bilden und allenfalls noch komplizierte logische Überlegungen wie allfällige Anwendungen des Auswahlaxioms oder des Wohlordnungssatzes und des Zorn'schen Lemmas, nur um einige von ihnen zu nennen, anstellen - Überlegungen, die kein normaler Mensch und auch kein normaler Mathematiker, der sich nicht auf diesem Gebiet spezialisiert hat, verstehen.

    Ganz anders ist das, wenn man weiss, dass eine Gruppenstruktur vorliegt - dann kann man nämlich rechnen, weil jetzt Rechenregeln vorliegen, und man kann auch überlegen, ob Teilmengen-Bildungen strukturerhaltend sind, also beispielsweise ebenfalls wieder eine Gruppe bilden, d.h. eine Untergruppe der ersten Gruppe sind. Beispielsweise kann man nachweisen, dass die Gruppe der Kongruenzabbildungen, die ein Rechteck auf sich selber abbildet, eine Untergruppe der Gruppe der Kongruenzabbildungen, die ein Quadrat auf sich selber abbildet, ist.

    Und solche strukturerhaltenden Aussagen gehen natürlich weit über das hinaus, was man bei einfacher Teilmengen-Betrachtung herleiten kann. Deswegen habe ich auch soviel Wert darauf gelegt, dass nicht nur eine Menge, sondern sogar eine Gruppe vorliegt.


    Zitat Zitat von julian apostata Beitrag anzeigen
    Die Verknüpfung wäre doch eine MatrixVektorMultiplikation. Dabei erhalten immer 4 Punkte neue Koordinaten, wobei die Form der Figur erhalten bleibt.
    Mit den Kongruenzabbildungen habe ich den geometrischen Ansatz gewählt, den man schon in der 8.Klasse in der Schule lernt; selbstverständlich kann man auch die Lineare Algebra nutzen und mit Matrizen arbeiten. Das "Verketten" zweier Kongruenzabbildungen entspricht dann der Multiplikation zweier Matrizen.

    Vorsicht noch: Translationen sind auch Kongruenzabbildungen, aber sie sind keine linearen Abbildungen. Man muss sich also in der Matrizenrechnung auf solche Kongruenzabbildungen beschränken, die den Nullpunkt auf sich selber abbilden, und falls auch Translationen benötigt werden, diese seperat durchführen. Das macht man ganz einfach, indem man einen Vektor zum Bildvektor der Matriz hinzuaddiert, denn eine Translation ist ja letztlich nichts anderes als ein Vektor.

    Zitat Zitat von julian apostata Beitrag anzeigen
    Ober wo in deinen Beispielen sind da zwei Elementen der Menge denen ein drittes Element derselben Menge zuordnet wird?
    Betrachte die Menge der Kongruenzabbildungen, die ein Quadrat auf sich selber abbilden.

    Seien beispielsweise k1 eine Drehung um 90°, k2 eine Spiegelung an der x-Achse und k3 eine Spiegelung an der 45°-Diagonalen, also an s*(1,1).

    Jede dieser Abbildungen belassen das Quadrat invariant, also belassen auch k1*k1, k1*k2, k1*k3, k2*k1, k2*k2, k2*k3, k3*k1, k3*k2, k3*k3 das Quadrat invariant.


    Freundliche Grüsse, Ralf

  10. #10
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    Zitat Zitat von julian apostata Beitrag anzeigen
    sollte da nicht stehen "bleiben ihre Formen erhalten", weil sich die Formen auf die Gleichungen beziehen.

    Hat Minkowski hier den Plural vergessen oder hab ich was falsch verstanden?
    Hallo Julian,

    zwar würde ich persönlich hier auch nur den Singular behalten, die "Gleichungen" also als eine "Menge" von Gleichungen betrachten und mich dann eben auf diese Menge beziehen, aber Du hast schon recht - heutzutage sollte man vermutlich tatsächlich den Plural verwenden.


    Gemeint ist, dass jede dieser Gleichungen ihre Form behält.


    Freundliche Grüsse, Ralf

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