Die Begrenzung der Lichtgeschwindigkeit

ralfkannenberg

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Eine Gruppe ist eine Untergruppe einer anderen Gruppe, wenn sich die Anzahl der Elemente der anderen Gruppe ohne Rest durch die Anzahl ihrer Elemente teilen lässt.


Das passt auch zu den Drehungen, wenn man als Elemente statt Grad, den Wert nimmt, durch den man den Vollkreis teilt.

1[sup]+[/sup]


Bemerkung: in bold hervorgehoben durch mich
 

Dgoe

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Oha,

der Tag ist gerettet, Danke Ralf! :)

Gruß,
Dgoe

P.S.: Insbesondere auch für die viele Mühe, die Du Dir gegeben hast.
 
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ralfkannenberg

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wenn eine Primzahl geteilt wird
Hallo Dgoe,

Du warst eben hier schon ganz nahe dran, aber das Stichwort war nicht die "Primzahl", sondern das "teilen".


Für Diedergruppen, also Drehungen und Drehspiegelungen:
Eine Diedergruppe D[sub]b[/sub] ist dann eine Untergruppe einer anderen Diedergruppe D[sub]a[/sub], wenn die Anzahl der Elemente von D[sub]b[/sub] ein Teiler von der Anzahl der Elemente von D[sub]a[/sub] ist. Oder umgekehrt eben ein ganzzahliges Vielfaches.

Für Drehgruppen:
Eine Drehgruppe C[sub]b[/sub] ist dann eine Untergruppe einer anderen Drehgruppe C[sub]a[/sub], wenn die Anzahl der Elemente von C[sub]b[/sub] ein Teiler von der Anzahl der Elemente von C[sub]a[/sub] ist. Oder umgekehrt eben ein ganzzahliges Vielfaches. Das "C" steht übrigens für zyklisch, im englischen "cyclic".

Oder aus Sicht der Drehwinkel:
Eine Drehgruppe C[sub]b[/sub] ist dann eine Untergruppe einer anderen Drehgruppe C[sub]a[/sub], wenn der kleinste echte Drehwinkel von C[sub]b[/sub] ein ganzzahliges Vielfaches vom kleinsten echten Drehwinkel von C[sub]a[/sub] ist. Oder umgekehrt eben ein Teiler.


Ich will noch der Vollständigkeit ergänzen: wenn eine Untergruppe vorliegt, dann ist die Anzahl ihrer Elemente stets ein Teiler der grösseren Gruppe. Die Umkehrung davon gilt im allgemeinen aber nicht, d.h. daraus, dass die Anzahl der Elemente ein Teiler ist, folgt nicht zwingend, dass die Gruppe auch eine Untergruppe ist:

die C[sub]2[/sub] x C[sub]2[/sub] x C[sub]2[/sub] hat 8 Elemente, aber die C[sub]4[/sub], die 4 Elemente hat, ist keine Untergruppe. Denn in erster Gruppe gilt für jedes der 8 Elemente: g*g=Identität, während in der zweiten das nur für die Drehung um 180° und die Identität selber gilt, nicht aber für die Drehungen um 90° und um 270°.


Aber für die Diedergruppen D[sub]n[/sub] und die Drehgruppen C[sub]n[/sub] gilt sogar diese Umkehrung !

Und noch eine weitere Bemerkung: dies alles gilt zunächst einmal nur für endliche Gruppen. Allerdings gilt im Falle der Diedergruppen und der Drehgruppen zusätzlich:


jede Diedergruppe D[sub]n[/sub] ist eine Untergruppe der O(2), die man auch als "D[sub]oo[/sub]" bezeichnen könnte
jede Drehgruppe C[sub]n[/sub] ist eine Untergruppe der SO(2), die man auch als "C[sub]oo[/sub]" bezeichnen könnte


So, das genügt nun aber als Ausflug in die Algebra, ich denke, nun sind "Ich"s Erläuterungen und der Vortrag von Minkowski besser verständlich.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

Bernhard

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Eine Gruppe ist eine Untergruppe einer anderen Gruppe, wenn sich die Anzahl der Elemente der anderen Gruppe ohne Rest durch die Anzahl ihrer Elemente teilen lässt.
Wenn dem so wäre, gäbe es zwischen endlichen Gruppen gleicher Mächtigkeit immer einen Gruppenisomorphismus und das ist natürlich falsch. Die Umkehrung des Satzes von Lagrange kann also richtig sein, muss aber nicht unbedingt richtig sein. Man sagt auch, die Umkehrung ist im Allgemeinen falsch.

Man sollte gerade als Anfänger nicht Definitionen mit Sätzen verwechseln und umgekehrt.
 
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ralfkannenberg

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Wenn dem so wäre, gäbe es zwischen endlichen Gruppen gleicher Mächtigkeit immer einen Gruppenisomorphismus und das ist natürlich falsch. Die Umkehrung des Satzes von Lagrange kann also richtig sein, muss aber nicht unbedingt richtig sein. Man sagt auch, die Umkehrung ist im Allgemeinen falsch.

Man sollte gerade als Anfänger nicht Definitionen mit Sätzen verwechseln und umgekehrt.
Hallo Bernhard,

da muss ich jetzt widersprechen: zwar hast Du mit Deiner Aussage, die ich ja auch schon in meinem letzten Beitrag angesprochen habe und wo ich ja auch ein Gegenbeispiel genannt hatte, recht, aber Dgoe bezog sich auf unsere Aufgabe, und da ging es um diese Gruppen, die regelmässige n-Ecke (bzw. das Rechteck als "regelmässiges 2-Eck") invariant belassen. Diese und nur diese haben wir untersucht und für diese ist Dgoe's Aussage selbstverständlich richtig.

Da hat Dgoe also keine Definition mit einem Satz verwechselt, sondern ist meiner Anleitung gefolgt und hat zwei korrekte Resultate erhalten.


Im allgemeinen Fall beliebiger Gruppen- / Untergruppen-Beziehungen gilt das natürlich nicht, wie Dein und mein Gegenbeispiel zeigen.


Freundliche Grüsse, Ralf
 
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Dgoe

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ralfkannenberg

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Nochmal ausführlicher, das ist es wert. Zuerst: was bei solchen Transformationen die Form nicht ändert sind die Gleichungen der Newtonschen Mechanik, nicht die Koordinatensysteme. Wir reden hier von speziellen Koordinatensystemen, den Inerttialsystemen. Deswegen heit die daraus entwickelte Theorie heute spezielle Relativitätstheorie.
Alle Gleichungen der Newtonschen Mechanik gelten also gleichermaßen weiter, wenn man das Koordinatensystem auf folgende Arten ändert:
1. Man verschiebt den Nullpunkt oder dreht das Koordinatensystem
2. Man veschiebt den Zeitnullpunkt oder versetzt das Koordinatensystem in gleichmäßige Bewegung.
Hallo zusammen,

wollen wir noch einmal zum Ausgangspunkt von "Ich"s kommen.

Diese erlaubten Transformationen bilden mathenmatische Gruppen (darauf will Ralf aufmerksam machen). Eine Gruppe ist dadurch ausgezeichnet, dass das Hintereinanderausführen beliebig vieler Transformationen immer einer einzigen Transformation desselben Typ gleichwertig ist. Sprechen wir z.B. von Verschiebungen im Raum, dann kann ich den Nullpunkt zwanzigtausendmal irgendwohin verschieben, aber ich kann ihn immer mit einer einzigen Verschiebung wieder in die Ausgangslage bringen. Diese Verschiebungen bilden also eine Gruppe, die in dem Sinne abgeschlossen ist, dass ihre Elemente nie etwas erzeugen können, was nicht wieder selbst zur Gruppe gehört.
Genauso ist es mit den Drehungen, egal wieviel man das KS dreht, man hätte dasselbe auch mit einer einzigen Drehung erreichen können.
Die beiden Gruppen sind aber nicht gleich. Ich kann noch so viel verschieben, es wird nie eine Drehung herauskommen. Man kann die Gruppen aber kombinieren: zusammengesetzte Drehungen und Verschiebungen bilden wieder eine Gruppe.
In den Beispielen, die ich bislang erörtert hatte, waren die "erlaubten Transformationen" Kongruenzabbildungen, die gewisse geometrische Figuren auf sich selber abgebildet haben, ganz konkret das Rechteck, das gleichseitige Dreieck, das Quadrat, das regelmässige Achteck ("Stoppschild") und das regelmässige Zwölfeck ("Ziffernblatt").

Im Mittelpunkt stehen also nicht mehr die geometrischen Figuren, sondern die erlaubten Transformationen - in unserem Falle die Drehungen und Drehspiegelungen, die diese geometrischen Figuren auf sich selber abbilden.

Und diese erlaubten Transformationen, die in den Fokus der Betrachtung gerückt sind, beispielsweise bei unseren Beispielen die Drehungen und die Drehspiegelungen, erfüllen die Gruppeneigenschaften.


Als "Extra-Bonbon" Gedanken gemacht, wann Untergruppen-Beziehungen bestehen.

Also ganz konkret dass da eben nicht nur gilt, dass die Anzahl Elemente einer solchen Untergruppe die Anzahl Elemente der Gruppe selber teilt, sondern sogar zusätzlich, dass wenn die Anzahl der Elemente einer solchen Gruppe die Anzahl Elemente der Gruppe selber teilt, dass sie dann auch eine Untergruppe von ihr ist.


Ich denke, dass mit diesem Rüstzeug der obige Text von "Ich" nun verständlich geworden ist. Hier sind nun diese erlaubten Transformationen die folgenden:

1. Man verschiebt den Nullpunkt oder dreht das Koordinatensystem
2. Man veschiebt den Zeitnullpunkt oder versetzt das Koordinatensystem in gleichmäßige Bewegung


Freundliche Grüsse, Ralf
 

julian apostata

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Es ist einfach eine banale Umskalierung.

Ich glaub, jetzt ahne ich, was die Einheit 1/c zu bedeuten hat. Wenn nämlich der Abstand zwischen 2 Punkten auf der x'-Achse 1 ist und der Abstand auf der t'-Achse 1/c, dann gilt ja: c* (1/c)=1.

Und die Gleichung für beide Hyperbeln lautet ja dann: c²t²-x²=1 und x²-c²t²=1. (Eingabe in Geogebra: y²-x²=1 und x²-y²=1)

x hat dann keine Dimension und c*t auch nicht.

https://www.geogebra.org/worksheet/edit/id/eCAJKZxG

Ich schlage deswegen vor, dass Du meine beiden Beispiel beide ignorierst und das minus-Zeichen als Geschenk des Lieben Gottes annimmst, denn es spielt überhaupt keine Rolle, an welcher Stelle dieses minus-Zeichen eingefügt wird.

Leider bleibt die Rätselhaftigkeit dieser Aussage weiterhin bestehen.
Minkowskis Vortrag

Die zweite Gruppe aber bedeutet, daß wir, ebenfalls ohne den Ausdruck der mechanischen Gesetze zu verändern,

x,y,z,t durch x-αt, y-βt, z-γt, t

mit irgendwelchen Konstanten α,β,γ ersetzen dürfen.

x,y,z,t sind doch die Raumkoordinaten eines Raumpunktes zur Zeit t, oder nicht?

Machen dann die Konstanten α,β,γ eine Aussage über die Geschwindigkeit des Punktes?

Ein "ja" oder "nein" wäre hier schon mal extrem hilfreich. Und ich fürchte "Himmelsgeschenke" werden wohl kaum meine Denkblockade beseitigen können.
 

ralfkannenberg

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Ich glaub, jetzt ahne ich, was die Einheit 1/c zu bedeuten hat. Wenn nämlich der Abstand zwischen 2 Punkten auf der x'-Achse 1 ist und der Abstand auf der t'-Achse 1/c, dann gilt ja: c* (1/c)=1.

Und die Gleichung für beide Hyperbeln lautet ja dann: c²t²-x²=1 und x²-c²t²=1. (Eingabe in Geogebra: y²-x²=1 und x²-y²=1)
Hallo Julian,

versuche es doch einfach mal ohne diese Geogebra.


x hat dann keine Dimension und c*t auch nicht.
Soweit habe ich das noch nicht im Detail gelesen, aber wenn ich es richtig sehe, dann sind x, y, z und auch t Komponenten eines Vektors. Natürlich haben die keine Einheit, und für c wird dann wohl die "natürliche Einheit" verwendet.

Aber eben - diese Aussage von mir bitte unter Vorbehalt, mir fehlt die Zeit, mich um alles zu kümmern.


Leider bleibt die Rätselhaftigkeit dieser Aussage weiterhin bestehen.
Was stört Dich denn so furchtbar an diesem minus-Zeichen ? Leg die Geogebra mal beiseite und rechne es von Hand aus, dann siehst Du direkt, woher dieses Minuszeichen kommt, und dann verstehst Du vermutlich auch meine beiden Beispiele.

x,y,z,t sind doch die Raumkoordinaten eines Raumpunktes zur Zeit t, oder nicht?
Genau. Oder die gleichwertig die Komponenten eines Vektors in der vierdimensionalen Raumzeit.

Machen dann die Konstanten α,β,γ eine Aussage über die Geschwindigkeit des Punktes?

Ein "ja" oder "nein" wäre hier schon mal extrem hilfreich.
Zunächst einmal sind es nur Konstanten; möglich, dass man diese dann zu einem späteren Zeitpunkt für konstante Geschwindigkeiten in x-, y- und z-Richtung verwendet. Das macht auch Sinn, weil die Komponente dann einheitenrichtig wird, d.h. wenn α,β,γ Geschwindigkeiten sind, dann ist ihr Produkt mit der Zeit eine Wegstrecke, die man von einer anderen Wegstrecke, nämlich x, y und z, subtrahieren kann.

Auch ohne dass ich mir das im Detail angeschaut habe vermute ich, dass dieser Satz für Dich besser verständlich wäre, wenn da folgendes stehen würde:

x,y,z,t durch x-v[sub]x[/sub]*t, y-v[sub]y[/sub]*t, z-v[sub]z[/sub]*t, t


Freundliche Grüsse, Ralf
 
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Ich

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x,y,z,t sind doch die Raumkoordinaten eines Raumpunktes zur Zeit t, oder nicht?
In anderen Worten: Das sind die Koordinaten eines Weltpunkts, wie es Minkowski nennt. Heutzutage sagt man Ereignis dazu.
Machen dann die Konstanten α,β,γ eine Aussage über die Geschwindigkeit des Punktes?
Ereignisse sind eben keine Raumpunkte, denen man eine Geschwindigkeit zuordnen könnte, sondern - na, eben Ereignisse. α,β,γ sind aber in der Tat eine Geschwindigkeit: die Geschwindigkeit, mit der sich der Ursprung des neuen Koordinatensystems relativ zum Ursprung des alten KS bewegt. Nehmen wir als Beispiel α=1 m/s, β,γ=0. Dann ist der Ursprung des neuen KS nach einer Sekunde bei Koordinate 1m,0,0 im alten System. Und umgekehrt der Ursprung des alten Systems bei -1m,0,0 im neuen System. Die Umrechnung von alt nach neu erfolgt eben über die genannte Formel x-αt, y-βt, z-γt, t. Das ein Spezialfall einer Galilei-Transformation. Wobei ich mal wieder eher den englischen Artikel empfehlen würde.

Minkowskis Aussage ist, dass man die Koordinaten nach dieser Vorschrift ändern darf, ohne dass sich etwas an den Gesetzen der Newtonschen Mechanik ändert.
 
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julian apostata

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Nehmen wir als Beispiel α=1 m/s, β,γ=0. Dann ist der Ursprung des neuen KS nach einer Sekunde bei Koordinate 1m,0,0 im alten System. Und umgekehrt der Ursprung des alten Systems bei -1m,0,0 im neuen System. Die Umrechnung von alt nach neu erfolgt eben über die genannte Formel x-αt, y-βt, z-γt, t.

Dann sollte es doch
x-αt=0, y-βt=0, z-γt=0, t oder x=αt, y=βt, z=γt, t lauten. So wie es Minkowski geschrieben hat ist es dann nicht korrekt. Wie soll das ein normaler Leser erahnen können?

Hallo Julian,

versuche es doch einfach mal ohne diese Geogebra.

Macht es dir wirklich so viel Spaß, ausgewählte Punkte einer Hyperbel auszurechnen und dann mit der Hand zu verbinden?

Ich mach es mir im Leben halt grundsätzlich so einfach wie nur möglich. Und das Verständnis des geometrischen Teils (z.B. Fig 1) des Textes wird mit Geogebra dann zum Kinderspiel.

Eines versteh ich immer noch nicht so recht. Wie kommt Minkowski da drauf.

c²t²-x²-y²-z²=1

Wenn ich noch nie was von Minkowski oder Einstein gehört hätte, würde mir doch zuerst c²t²+x²+y²+z²=1 in den Sinn kommen.

Ich mal mir also einen Kreis, beziehungsweise Geogebra tut das für mich. Leider verrät mir das Programm nicht, was ich jetzt damit anstellen soll.

Ich meld mich dann später, wenn ich mein alternatives Minkowskidiagramm fertig habe.
 

ralfkannenberg

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Dann sollte es doch
x-αt=0, y-βt=0, z-γt=0, t oder x=αt, y=βt, z=γt, t lauten. So wie es Minkowski geschrieben hat ist es dann nicht korrekt. Wie soll das ein normaler Leser erahnen können?
Hallo Julian,

das eine ist ein "Beispiel" und das andere eine allgemeingültige "Formel": wenn ich einen Ball werfe und der fliegt 3 Meter weit, dann kann man doch nicht daraus schliessen, dass jeder Ball, den ich werfe, 3 Meter weit fliegen wird !

"Ich" hat einfach α=1 m/s gesetzt und die anderen, also β und γ, zu 0, damit es überschaubar bleibt. Aber er hätte völlig gleichwertig auch beliebige andere Zahlen für α, β und γ setzen können. Minkowski hat das also völlig korrekt geschrieben.

Ich weiss ja nicht, warum "Ich" gerade diesen Wert gewählt hat, aber es ist halt der, der üblicherweise für die Herleitung der SRT verwendet wird. Weil man dort nämlich ohne Einschränkung der Allgemeinheit - und das "ohne" ist hier ganz wichtig - das Koordinatensystem so legen kann, dass die x-Achse in Bewegungsrichtung weist.

EDIT 12:42 Uhr: hier ist ein Fehler, da α bei der allgemeinen Herleitung natürlich nicht auf 1 normiert wird.


Macht es dir wirklich so viel Spaß, ausgewählte Punkte einer Hyperbel auszurechnen und dann mit der Hand zu verbinden?
Wenn ich sehe, welchen Unsinn viele User herausbekommen, weil sie die Tools falsch einsetzen, dann ziehe ich die Handmethode vor, Und zwar bei weitem. Das zwingt einen übrigens auch, sich einfache, aber dafür aussagekräftige Beispiele zu überlegen statt das brute force der Maschine zu überlassen und auch zu "glauben", dass es da niemals zu numerischen Effekten (z.B. Auslöschung) kommt.


Eines versteh ich immer noch nicht so recht. Wie kommt Minkowski da drauf.

c²t²-x²-y²-z²=1

Wenn ich noch nie was von Minkowski oder Einstein gehört hätte, würde mir doch zuerst c²t²+x²+y²+z²=1 in den Sinn kommen.
Nein: die Raumzeit ist eben nicht positiv definit !!! Eben das ist es doch, was sie von reinen Raumkoordinaten unterscheidet !!


Ich schreibe mir seit Jahren in dieser Angelegenheit die Finger wund und nun kommt sowas von Dir ... - man darf uns Theoretikern ruhig mal zuhören und das nicht als sinnfreie Spielerei oder weltfremde Pedanterie abtun, wenn wir was schreiben :(


Freundliche Grüsse, Ralf


P.S. Ergänzung in blau zugefügt; siehe auch Korrigenda im nächsten Beitrag
 
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ralfkannenberg

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Korrigenda:

Ich weiss ja nicht, warum "Ich" gerade diesen Wert gewählt hat, aber es ist halt der, der üblicherweise für die Herleitung der SRT verwendet wird. Weil man dort nämlich ohne Einschränkung der Allgemeinheit - und das "ohne" ist hier ganz wichtig - das Koordinatensystem so legen kann, dass die x-Achse in Bewegungsrichtung weist.
Hallo zusammen,

das ist ungenau bzw. falsch: in der Herleitung der SRT wird für α, β und γ das Set (α, 0, 0) gewählt. Natürlich wird α nicht auf 1 normiert.



Freundliche Grüsse, Ralf
 

Dgoe

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Hallo,

ich hatte es als Faustregel so in Erinnerung behalten, dass die 3 räumlichen Dimensionen das gleiche Vorzeichen haben und die Zeit das Umgekehrte. Also für "xyzt" +++- oder ---+ und für die andere Reihenfolge "txyz" eben -+++ oder +---.
Soweit die gängigsten Reihenfolgen, die ja auch keinen Unterschied bedeuten.

Gruß,
Dgoe
 

Dgoe

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Und niemand schaut sich den mathematisch auch noch bestehenden dritten Fall an, nämlich ++-- oder --++ Situationen, also mit 2 Raum- und mit 2 Zeitdimensionen ...

Hallo Ralf,

dann gäbe es aber auch noch 3 Zeitdimensionen und 1 Raumdimension bei 4 insgesamt, auch wenn in Sachen Vorzeichen schon vorhanden... Mathematisch, oder?
Edit: oder die Mathematik kennt keine Raum- und Zeitunterschiede!?

Gruß,
Dgoe
 
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ralfkannenberg

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dann gäbe es aber auch noch 3 Zeitdimensionen und 1 Raumdimension bei 4 insgesamt, auch wenn in Sachen Vorzeichen schon vorhanden... Mathematisch, oder?
Edit: oder die Mathematik kennt keine Raum- und Zeitunterschiede!?
Hallo Dgoe,

was hast Du zu diesem Thema bei den Bilinearformen und Skalarprodukten gelernt ?


Freundliche Grüsse, Ralf
 

Ich

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Dann sollte es doch
x-αt=0, y-βt=0, z-γt=0, t oder x=αt, y=βt, z=γt, t lauten. So wie es Minkowski geschrieben hat ist es dann nicht korrekt. Wie soll das ein normaler Leser erahnen können?
Ich habe die Koordinaten des Ursprungs umgerechnet, und die sind nun mal x=y=z=0. Jetzt könntest du deine Zeit darauf verwenden, wie die Trafo für einen beliebigen Punkt mit Koordinaten x,y,z lautet, statt an Minkowski rumzumosern. Das sollte dich nicht überfordern.
 
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