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Thema: Die Begrenzung der Lichtgeschwindigkeit

  1. #31
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    Hallo zusammen,

    üblicherweise vegleicht man ja gerne Rechtecke mit Quadraten und beschreibt dann, worin sich diese beiden Figuren unterscheiden.

    Nun aber wollen wir einmal die beiden Gruppen der Kongruenzabbildungen, die ein Rechteck (und das gilt für alle Rechtecke) und die ein Quadrat (und das gilt für alle Quadrate) auf sich selber abbilden:

    Rechteck:
    {Identität, 180°-Drehung, Spiegelung an Achse 1 ("Längsachse"), Spiegelung an Achse 2 ("kurze Achse")}

    Quadrat:
    {Identität, 90°-Drehung, 180°-Drehung, 270°-Drehung, Spiegelung an Achse 1, Spiegelung an Achse 2, Spiegelung an Diagonale 1, Spiegelung an Diagonale 2}


    Was bemerkt man ?

    Nun: die Menge der Kongruenzabbildungen, die ein Rechteck auf sich selber abbilden, ist eine Teilmenge von der Menge der Kongruenzabbildungen die ein Quadrat auf sich selber abbilden.

    Ja, mehr noch: die Menge der Kongruenzabbildungen, die ein Rechteck auf sich selber abbilden, ist eine Untergruppe von der Menge der Kongruenzabbildungen die ein Quadrat auf sich selber abbilden.


    Obwohl das eigentlich alles sehr einfach ist, sollte man das erst einmal in Ruhe verdauen und darüber schlafen.


    Ausblick:
    Als nächstes schauen wir uns dann noch die Menge der Kongruenzabbildungen, die einen Kreis auf sich selber abbilden, näher an. Das wird enttäuschend sein, weil wir alles eigentlich schon beisammen haben, aber es ist das, was wir in der Physik immer wieder vorfinden: das sind dann die speziellen orthogonalen Gruppen SO(n), die auch als Drehgruppen bezeichnet werden, und die orthogonalen Gruppen O(n).


    Freundliche Grüsse, Ralf
    Geändert von ralfkannenberg (06.08.2016 um 21:47 Uhr) Grund: schon wieder eines der Rechtecke klein geschrieben

  2. #32
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    Zitat Zitat von Ich Beitrag anzeigen
    1. Man verschiebt den Nullpunkt oder dreht das Koordinatensystem
    2. Man veschiebt den Zeitnullpunkt oder versetzt das Koordinatensystem in gleichmäßige Bewegung.
    Kann es vielleicht sein, dass ich diese 2 Punkte schon längst verstanden habe, weil ich sie in meinen "timeline-animationen" praktiziere?

    1. Der linke blaue Punkt ist x=0. und der wird ständig verschoben
    2. Dort wo sich tl(0) befindet haben wir die Uhrzeit t'=0

    Sowohl Raum und Zeit kann man in der Animation wie bei einem Maßband ablesen. Oder meint Minkowski was Anderes?

    http://www.mahag.com/neufor/viewtopi...art=10#p109671

    https://www.geogebra.org/m/SCdj63DX?...l=%2Fmaterials

    http://www.fotos-hochladen.net/uploa...wy4h59slmr.gif

  3. #33
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    Zitat Zitat von ralfkannenberg Beitrag anzeigen
    die Menge der Kongruenzabbildungen, die ein Rechteck auf sich selber abbilden, ist eine Untergruppe von der Menge der Kongruenzabbildungen die ein Quadrat auf sich selber abbilden.
    Zitat Zitat von ralfkannenberg Beitrag anzeigen
    Ausblick:
    Als nächstes schauen wir uns dann noch die Menge der Kongruenzabbildungen, die einen Kreis auf sich selber abbilden, näher an.
    Hallo zusammen,

    bevor wir das tun möchte ich aber noch ein bisschen hier verweilen, zumal uns die Wikipedia da einige hübsche Bilder zur besseren Veranschaulichung anbietet.

    Betrachten wir die Menge der Kongruenzabbildungen, die ein Stoppschild, also ein regelmässiges Achteck, auf sich selber abbilden. Wir finden die D8 bei den Beispielen der Diedergruppen und sie besteht aus folgenden Elementen:

    regelmässiges Achteck:
    {Identität, 45°-Drehung, 90°-Drehung, 135°-Drehung, 180°-Drehung, 225°-Drehung, 270°-Drehung, 315°-Drehung, Spiegelung an Achse 1, Spiegelung an Achse 2, Spiegelung an Achse 3, Spiegelung an Achse 4, Spiegelung an Achse 5, Spiegelung an Achse 6, Spiegelung an Achse 7, Spiegelung an Achse 8}, wobei diese "Achsen" jeweils durch den Mittelpunkt gehen.

    Was kann man hier sagen: sind die Kongruenzabbildungen, die ein Rechteck auf sich selber abbilden, und die Kongruenzabbildungen, die ein Quadrat auf sich selber abbilden, irgendwie Untergruppen von den Kongruenzabbildungen, die ein regelmässiges Achteck auf sich selber abbilden ?


    Freundliche Grüsse, Ralf

  4. #34
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    Zitat Zitat von ralfkannenberg Beitrag anzeigen
    Was kann man hier sagen: sind die Kongruenzabbildungen, die ein Rechteck auf sich selber abbilden, und die Kongruenzabbildungen, die ein Quadrat auf sich selber abbilden, irgendwie Untergruppen von den Kongruenzabbildungen, die ein regelmässiges Achteck auf sich selber abbilden ?
    Hallo zusammen,

    nun könnte man geneigt sein, zu glauben, dass wenn "mehr Ecken" und "regelmässig", dass dann stets eine Untergruppen-Beziehung besteht. Zu diesem Zweck betrachte der geneigte Leser einmal die Menge der Kongruenzabbildungen, die ein regelmässiges Dreieck auf sich selber abbilden. Sie umfasst nur 6 Elemente. Haben wir ein Gegenbeispiel gefunden ?


    Freundliche Grüsse, Ralf
    Geändert von ralfkannenberg (07.08.2016 um 14:26 Uhr) Grund: statt "zitieren" versehentlich "bearbeiten" gedrückt und ursprünglichen Beitrag überschrieben; dieser ist wieder neu erstellt

  5. #35
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    Zitat Zitat von ralfkannenberg Beitrag anzeigen
    zu glauben, dass wenn "mehr Ecken" und "regelmässig", dass dann stets eine Untergruppen-Beziehung besteht. Zu diesem Zweck betrachte der geneigte Leser einmal die Menge der Kongruenzabbildungen, die ein regelmässiges Dreieck auf sich selber abbilden. Sie umfasst nur 6 Elemente. Haben wir ein Gegenbeispiel gefunden ?
    Hallo zusammen,

    und wenn wir diese Frage beantwortet haben, dann wollen wir einmal ein Ziffernblatt einer Kirchturm-Uhr (ohne Zeiger) nehmen und die Menge aller Kongruenzabbildungen betrachten, die dieses Ziffernblatt, also ein regelmässiges Zwölfeck, auf sich selber abbildet. Wie sehen hier die Untergruppen-Beziehungen aus ?

    Kann man daraus die korrekte Gesetzmässigkeit auch ohne hieb- und stichfest Beweis erahnen ?


    Jetzt habe ich Euch den Sonntag hoffentlich nicht verdorben, sondern statt dessen neugierig gemacht. Lasst Euch für die Lösung dieser drei Aufgaben Zeit und nehmt Euch die Musse, die es hierfür braucht. Es lohnt sich, zumal es nicht komplizierte Zusammenhänge sind, die dann später in der Physik verwendet werden.


    Freundliche Grüsse, Ralf
    Geändert von ralfkannenberg (07.08.2016 um 14:26 Uhr)

  6. #36
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    Verstehe ich eigentlich diesen Satz richtig?

    Die zweite Gruppe aber bedeutet, daß wir, ebenfalls ohne den Ausdruck der mechanischen Gesetze zu verändern,

    x,y,z,t durch x-αt, y-βt, z-γt, t

    mit irgendwelchen Konstanten α,β,γ ersetzen dürfen.
    sqrt(α²+β²+γ²) ist dann die Geschwindigkeit eines Raumpunktes. Aber warum ein "Minus" in obigen Gleichungen? Könnte da nicht auch ein "Plus" stehen, wenn man die 3 Konstanten mit -1 multipliziert?

  7. #37
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    Zitat Zitat von julian apostata Beitrag anzeigen
    Aber warum ein "Minus" in obigen Gleichungen? Könnte da nicht auch ein "Plus" stehen, wenn man die 3 Konstanten mit -1 multipliziert?
    Hallo Julian,

    wenn Du beispielsweise die Gleichung x=2 als Nullstelle eines Polynoms schreiben möchtest, so kommt das Polynom f(x) = x-2 heraus und es ist eine Gleichung f(x) = 0, also x-2 = 0 zu lösen.

    Irgendwie würde hier auch niemand auf die Idee kommen, das Polynom als f(x) = x+(-2) zu bezeichnen und dann nachfolgend den Ausdruck x+(-2) = 0 auszuwerten, auch wenn das mathematisch zum selben Ergebnis führen würde.


    Das gleiche passiert, wenn man eine Koordinate um K in Koordinatenrichtung verschiebt, das führt dann auch zu x-K, auch wenn x+(-K) natürlich mathematisch gleichwertig wäre.


    Freundliche Grüsse, Ralf

  8. #38
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    Zitat Zitat von julian apostata Beitrag anzeigen
    Kann es vielleicht sein, dass ich diese 2 Punkte schon längst verstanden habe, weil ich sie in meinen "timeline-animationen" praktiziere?
    Ich gehe mal davon aus, dass du sie verstanden hast, weil es sich dabei um ziemlich geläufige Grundlagen der Physik handel. Die Sache mit der Verschiebung des Zeitnullpunkts hast du m.E. aber missverstanden. Hier geht es nicht um irgendetwas relativistisches, sondern mehr oder minder um einfache Wahlfreiheit des Nullpunkts, etwa ob man den jüdischen, christlichen oder islamischen Kalender verwenden möchte. Die entscheidende Aussage dabei ist, dass die Physik immer dieselbe bleibt.

    Um Minkowski folgen zu können musst du aber weg von solchen Animationen und hin zu Raumzeitdiagrammen. Es geht ja eben darum, die Zeit ähnlich wie eine Raumdimension zu behandeln, und das tust du in deinen Animationen eben gerade nicht.

  9. #39
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    Zitat Zitat von ralfkannenberg Beitrag anzeigen
    Was kann man hier sagen: sind die Kongruenzabbildungen, die ein Rechteck auf sich selber abbilden, und die Kongruenzabbildungen, die ein Quadrat auf sich selber abbilden, irgendwie Untergruppen von den Kongruenzabbildungen, die ein regelmässiges Achteck auf sich selber abbilden ?
    Ja.

    Zitat Zitat von ralfkannenberg Beitrag anzeigen
    Haben wir ein Gegenbeispiel gefunden ?
    Ja. Obwohl eine Achse schon wie bei den anderen zuvor wäre, wenn gleichmäßig ausgerichtet.

    Zitat Zitat von ralfkannenberg Beitrag anzeigen
    Wie sehen hier die Untergruppen-Beziehungen aus ?
    Die von Rechteck, Quadrat und gleichseitigem Dreieck sind Untergruppen des Zwölfecks.

    Zitat Zitat von ralfkannenberg Beitrag anzeigen
    Kann man daraus die korrekte Gesetzmässigkeit auch ohne hieb- und stichfest Beweis erahnen ?
    Nö, ich zumindest nicht. Mir fällt nur auf, dass man das in Primzahlen aufschlüsseln kann.

    Beim Kreis fällt sogleich auch auf, dass es unendlich viele Drehwinkel und Spiegelachsen (durch den Mittelpunkt) gibt, was die Aufzählung zu einem ausgesprochen umfangreichen Unterfangen werden lassen würde...

    Gruß,
    Dgoe

  10. #40
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    Hallo Dgoe,

    Zitat Zitat von Dgoe Beitrag anzeigen
    Ja.
    genau: beide sind Untergruppen.

    Zitat Zitat von Dgoe Beitrag anzeigen
    Ja. Obwohl eine Achse schon wie bei den anderen zuvor wäre, wenn gleichmäßig ausgerichtet.
    Das ist korrekt, aber ich verstehe Deine Begründung nicht.

    Ich will hier keinen Tipp geben, weil ich Lust habe zu sehen, welchen Ansatz Du machen wirst. Es ist völlig egal, ob dieser am Ende richtig ist oder nicht, mich interessiert eigentlich primär Deine Vorgehensweise.

    Zitat Zitat von Dgoe Beitrag anzeigen
    Die von Rechteck, Quadrat und gleichseitigem Dreieck sind Untergruppen des Zwölfecks.
    Sehr schön

    Zitat Zitat von Dgoe Beitrag anzeigen
    Nö, ich zumindest nicht. Mir fällt nur auf, dass man das in Primzahlen aufschlüsseln kann.
    Du bist jetzt schon ganz nahe dran und brauchst nur noch einen Schritt weiterzugehen. Tipp: womit haben Primzahlen zu tun ? Also die Antwort ist ganz einfach, ich will hier auf nichts schwieriges hinaus.

    Löse aber erst die Sache mit dem gleichseitigen Dreieck, dann wird vermutlich auch diese Aufgabe hier einfacher.


    Zitat Zitat von Dgoe Beitrag anzeigen
    Beim Kreis fällt sogleich auch auf, dass es unendlich viele Drehwinkel und Spiegelachsen (durch den Mittelpunkt) gibt, was die Aufzählung zu einem ausgesprochen umfangreichen Unterfangen werden lassen würde...
    Das macht man natürlich formal.


    Freundliche Grüsse, Ralf


    P.S. müsste ich eine Note geben, so stehst Du bereits bei 1-; es fehlt also fast nichts mehr zur 1+
    Geändert von ralfkannenberg (08.08.2016 um 18:32 Uhr)

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