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Thema: Die Begrenzung der Lichtgeschwindigkeit

  1. #21
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    Zitat Zitat von julian apostata Beitrag anzeigen
    Diese möglichen Aktionen kann man wiederum in 2 Gruppen unterteilen.
    Hallo Julian,

    ist Dir bewusst, dass eine mathematische Gruppe eine algebraische Struktur ist, die nichts mit dem umgangssprachlichen Wort "Gruppe" zu tun hat ?


    Freundliche Grüsse, Ralf

  2. #22
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    Zitat Zitat von Dgoe Beitrag anzeigen
    Er hat auch Lagenveränderung geschrieben, mit a und n.
    [scherz]Sollte mir dieser komische Minkowski mal über den Weg laufen, dann kann er was erleben.[/scherz]
    Freundliche Grüße, B.

    Überhaupt droht ja jedem universelle Geltung heischenden Ansatz die Sphinx der modernen Physik, die Quantentheorie - T. Kaluza, 1921

  3. #23
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    Zitat Zitat von julian apostata Beitrag anzeigen
    Man kann also zwei Dinge mit einem Koordinatensystem anstellen. Diese möglichen Aktionen kann man wiederum in 2 Gruppen unterteilen.

    1. Man versetzt es an einem anderen Ort
    2. Man erteilt ihm eine gleichmäßige Geschwindigkeit.

    In beiden Fällen ändert es seine Form nicht.
    Nochmal ausführlicher, das ist es wert. Zuerst: was bei solchen Transformationen die Form nicht ändert sind die Gleichungen der Newtonschen Mechanik, nicht die Koordinatensysteme. Wir reden hier von speziellen Koordinatensystemen, den Inerttialsystemen. Deswegen heit die daraus entwickelte Theorie heute spezielle Relativitätstheorie.
    Alle Gleichungen der Newtonschen Mechanik gelten also gleichermaßen weiter, wenn man das Koordinatensystem auf folgende Arten ändert:
    1. Man verschiebt den Nullpunkt oder dreht das Koordinatensystem
    2. Man veschiebt den Zeitnullpunkt oder versetzt das Koordinatensystem in gleichmäßige Bewegung.

    Diese erlaubten Transformationen bilden mathenmatische Gruppen (darauf will Ralf aufmerksam machen). Eine Gruppe ist dadurch ausgezeichnet, dass das Hintereinanderausführen beliebig vieler Transformationen immer einer einzigen Transformation desselben Typ gleichwertig ist. Sprechen wir z.B. von Verschiebungen im Raum, dann kann ich den Nullpunkt zwanzigtausendmal irgendwohin verschieben, aber ich kann ihn immer mit einer einzigen Verschiebung wieder in die Ausgangslage bringen. Diese Verschiebungen bilden also eine Gruppe, die in dem Sinne abgeschlossen ist, dass ihre Elemente nie etwas erzeugen können, was nicht wieder selbst zur Gruppe gehört.
    Genauso ist es mit den Drehungen, egal wieviel man das KS dreht, man hätte dasselbe auch mit einer einzigen Drehung erreichen können.
    Die beiden Gruppen sind aber nicht gleich. Ich kann noch so viel verschieben, es wird nie eine Drehung herauskommen. Man kann die Gruppen aber kombinieren: zusammengesetzte Drehungen und Verschiebungen bilden wieder eine Gruppe.

    Nimmt man die Zeit dazu, dann hat man vieder die Möglichkeit, den Zeitnullpunkt zu verschieben. Das ist eine recht triviale Gruppe. Und man hat die Möglichkeit, den Koordinatensystemen eine Geschwindigkeit mitzugeben. Diese Freiheit in der Koordinatenwahl nennt man "Relativitätsprinzip", und die entsprechenden Transformationen der Newtonschen Mechanik bilden auch eine Gruppe, die nach dem Entdecker des Relativitätsprinzips benannten Galileo-Transformationen.
    Was Minkowski nun herausstreicht ist, dass diese erste Gruppe, Verschiebungen und Drehungen des räumlichen Koordinatensystems mehr oder minder vollkommen intuitives Grundwissen darstellen, das noch nicht einmal mit Mechanik oder Physik was zu tun hat, sondern einfache Geometrie ist.
    Die zweite Gruppe hingegen, die Galilei-Transformationen, sind keineswegs intuitiv, und sie ist auch irgendwie vom Himmel gefallen. Das muss man mühsam lernen, von Natur aus würde man meinen, dass zwischen Ruhe und Bewegung ein Riesenunterschied besteht.
    Dementsprechend kommt man auch nicht drauf, dass zwischen diesen beiden Gruppen ein Zusammenhang bestehen könnte.
    Wenn man aber zu den Raumkoordinaten auch noch die Zeit dazunimmt, wie es Minkowski hier bewirbt, dann sieht das etwas anders aus.
    Direkt offensichtlich ist, dass die Verschiebungen dann einfach Raum und Zeit beinhalten und nun eine einzige Gruppe bilden. Das ist noch fast trivial, und dementsprechend lässt Minkowski diese Transformationen auch im weiteren Verlauf weg und kümmert sich nur um Drehungen und die Geschwindigkeit.
    Überhaupt nicht trivial, aber vom mathematischen Standpunkt aus stimmig, ist, dass man die Rotationen und die Erteilung einer Geschwindigkeit zu einer einzigen Gruppe Gc zusammenfassen kann. Lässt man c unendlich groß werden, fällt diese Gruppe wieder auseinander und man hat wie eben beschrieben die Raumdrehungen und die Galileotransformationen. Ist c aber endlich, soi hat man es vom Prinzip her mit Drehungen sowohl im Raum als auch in der Zeit zu tun. "Vom Prinzip her", weil Drehungen alle Längen unverändert lassen. Die Länge im Raum ist einfach nach Pythagoras sqrt(x²+y²+z²), das bleibt bei beliebiger Drehung gleich. Die Länge in der Raumzeit, die gleich bleibt, ist aber sqrt(x²+y²+z²-t²). Diese Minuszeichen ist der ganze Unterschied. "Drehungen", die diese Länge unverändert lassen, nennt man Lorentztransormationen. Die normalen Drehungen sind eine Untergruppe davon. Nimmt man noch Verschiebungen dazu, heißt die Gruppe Poincaré-Transformaitonen.
    Also: Betrachtet man Raum und Zeit gemeinsam, wäre der "einfachste" Fall (in dem Sinne, dass alle erlaubten Transformationen zu einer einzigen zusammengefasst werden können und müssen) der, in dem eine Geschwindigkeit c ausgezeichnet ist, die gleichzeitig (wie Minkowski später darlegt) eine Grenzgeschwindigkeit darstellt. Natürlich kann man auch den Fall als besonders toll ansehen, wo c unendlich ist und die beiden Gruppen unabhängig voneinander sind, das ist letztlich wohl Geschmackssache. Wichtig ist aber, dass es eins von beiden sein muss und nichts anderes sein kann. Hätte man das gewusst, als erste Hinweise auf eine ausgezeichnete Geschwindigkeit auftauchten, dann hätte man vielleicht gleich die SRT hervorgezaubert, alstatt das Relativitätsprinzip zugunsten eines "Äther" zu verwerfen. So hat's halt noch gut 40 Jahre gedauert.
    Geändert von Ich (06.08.2016 um 00:07 Uhr)

  4. #24
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    Zitat Zitat von ralfkannenberg Beitrag anzeigen
    Hallo Julian,

    ist Dir bewusst, dass eine mathematische Gruppe eine algebraische Struktur ist, die nichts mit dem umgangssprachlichen Wort "Gruppe" zu tun hat ?
    Ich fürchte, in der Hinsicht ist mir rein gar nichts bewusst. Zwar kann ich mich ganz dunkel erinnern, das Wort im Zusammenhang mit Mathematik im Schulunterricht schon mal gehört zu haben. Der praktische Sinn blieb mir allerdings verborgen und so hielt ich es nicht für nötig, das was uns der Lehrer darüber erzählte, in meinem Gedächtnis fest zu halten.

    Kann es sein, dass ich diesen jugendlichen Leichtsinn nun bereue und meine Mathekenntnisse nochmal auffrischen muss, um Minkowskis Vortrag zu verstehen?

    Oder mit anderen Worten: Kapier erst mal, was eine mathematische Gruppe ist. Vorher brauchst du dich mit dem Text gar nicht weiter zu befassen. Lieg ich soweit in etwa richtig?

  5. #25
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    Zitat Zitat von Ich Beitrag anzeigen
    Natürlich kann man auch den Fall als besonders toll ansehen, wo c unendlich ist und die beiden Gruppen unabhängig voneinander sind, das ist letztlich wohl Geschmackssache. Wichtig ist aber, dass es eins von beiden sein muss und nichts anderes sein kann.
    Erst mal Danke als Mitlesender.
    Bei dieser Stelle, nur beispielsweise verliert sich meine Konzentration in die Beliebigkeit, Geschmackssache... Angenommen mein Geschmack wäre pro unabhängige Gruppen und c entsprechend unendlich. Was dann? Nix? Geschmack?
    Wohlgemerkt ich verstehe das Ganze kaum und überhaupt nichts genaues im Grunde genommen, aber vielleicht macht es ja Klick, wenn ich das anspreche, was mir am aller seltsamsten vorkommt.

    Nämlich diese Wahlfreiheit. Eins von beiden. Also warum nicht antagonistisch betrachtend?!

    Davon ab, ich habe den Text gestern gelesen und ... weitergelesen und mich hat etwas beeindruckt, wo es um eine Kurve ging nahe der X-Achse. Mir vorgestellt wie ein Bogen einer Schale, dessen Radius immer größer wird, entsprechend Schale immer flacher, x-Achse der Boden.

    Mir vorgestellt wie Realität=Schale und wenn die Schale die Definition einer Schale verliert, dann ist sie keine Schale mehr und ergo nicht die Realität mehr. Dann. Wenn der Bogen eine Gerade wird. Wenn sich endlich zu unendlich abwechselt.

    Die Realität braucht aber eine Schale und damit einen fixen Radius, nicht einen, der dynamisch anwächst sozusagen.

    Das hatte für mich laiemäßig ziemlich gut ausgereich, um c als begrenzt zu begreifen - wenn auch noch so naiv.

    Gruß,
    Dgoe

  6. #26
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    Hallo Julian,

    keine Sorge, Körper, Gruppen, Ringe sind völlig zeitlos, sehr spannend und fundamental, freu Dich drauf. Zum Rechnen, Arithmetik nicht so direkt aber dahinter schon doch... von wegen Grundlagen.

    Ralf hat mir dazu viel vermittelt.

    (Der Link führt zu einem zusammenfassenden PDF, den ich spontan gefunden habe.)

    Bei Minkowski jetzt nicht wirklich wichtig, würde ich mal sagen, aber man täuscht sich schnell - vor allem, wenn man alles hinterfragt womöglich.

    Gruß,
    Dgoe

  7. #27
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    Zitat Zitat von julian apostata Beitrag anzeigen
    Ich fürchte, in der Hinsicht ist mir rein gar nichts bewusst. Zwar kann ich mich ganz dunkel erinnern, das Wort im Zusammenhang mit Mathematik im Schulunterricht schon mal gehört zu haben. Der praktische Sinn blieb mir allerdings verborgen und so hielt ich es nicht für nötig, das was uns der Lehrer darüber erzählte, in meinem Gedächtnis fest zu halten.

    Kann es sein, dass ich diesen jugendlichen Leichtsinn nun bereue und meine Mathekenntnisse nochmal auffrischen muss, um Minkowskis Vortrag zu verstehen?

    Oder mit anderen Worten: Kapier erst mal, was eine mathematische Gruppe ist. Vorher brauchst du dich mit dem Text gar nicht weiter zu befassen. Lieg ich soweit in etwa richtig?
    Hallo Julian,

    ja, aber es ist halb so wild. Ich bin noch in den Ferien, muss in Kürze zurückreisen und habe deswegen keine Zeit. Ich werde es hoffentlich heute abend mal laiengerecht darstellen; alles was Du an Voraussetzungen benötigst sind die 4 Grundrechenarten sowie der Umstand, dass man beispielsweise Quadrate und Rechtecke auf sich selber kongruent abbilden kann. Ziel meiner kleinen Einführung wird dann sein, dass diese Abbildungen, die ein Quadrat auf sich selber kongruent abbilden ebenso wie die Abbildungen, die ein Quadrat auf sich selber kongruent abbilden, eine solche Gruppe bilden.

    Und der Clou an der ganzen Sache ist eben der Umstand, dass Minkowski solche Gruppen, die Mengen auf sich selber kongruent abbilden, näher betrachtet. Um das hinzukriegen werde ich dann noch zusätzlich zum Rechteck und zum Quadrat auch noch die Abbildungen, die einen Kreis auf sich selber kongruent abbilden, anschauen.

    Konnte ich Dein Interesse wecken ?


    Freundliche Grüsse, Ralf

  8. #28
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    Hallo zusammen,

    meine nachführenden Ausführungen sind als Grundlage für "Ich"s sehr guten Beitrag auf einem laiengerechten Niveau gedacht.

    Jeder von uns lernt schon früh in der Schule die 4 Grundrechenarten, also die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division durch Zahlen ungleich 0. Eine mathematische Struktur, in der diese 4 Grundrechenarten auf einer vorgegebenen Menge sinnvoll möglich sind, heisst "Körper". Im englischen wird das Wort "field" verwendet, welches bei manchen algebraischen Ausdrücken (z.B. Galoisfeld) auch im deutschen verwendet wird. Bekannte Beispiele für einen Körper sind die rationalen Zahlen sowie die reellen Zahlen. Der kleinst-mögliche Körper umfasst nur die Elemente "0" und "1", dass ist die F2, wobei F für "field" steht und 2 für die Anzahl ihrer Elemente. Der Körper der komplexen Zahlen ist übrigens bis auf Isomorphie der grösstmögliche Körper. - In Körpern gilt übrigens der Hauptsatz der Algebra, welcher besagt, dass jedes Polynom vom Grade n mit Koeffizienten aus dem Körper höchstens n Nullstellen haben kann.

    Wenn nur die ersten drei Grundrechenarten, also die Addition, die Subtraktion und die Multiplikation sinnvoll möglich ist, so nennt man diese Struktur einen "Ring". Ein sehr bekannter Ring ist der Ring der ganzen Zahlen, weniger bekannt ist der Ring der ganzen geraden Zahlen, also {..., -4, -2, 0, 2, 4, 6, ...}; er ist mehr von theoretischem Interesse, weil er ein Ring ohne 1 ist. auch die Ziffern auf dem Ziffernblatt einer Kirchturmuhr bilden mit der üblichen Uhrzeit-Addition und einer theoretisch eingeführten Uhrzeit-Multiplikation einen Ring, wobei man hier als Konvention 12 Uhr = 0 Uhr setzen sollte, 13 Uhr = 1 Uhr, 14 Uhr = 2 Uhr usw.

    Und wenn nur die beiden ersten Grundrechenarten, also die Addition und die Subtraktion sinnvoll möglich ist, so nennt man diese Struktur eine "Gruppe". So bildet beispielsweise die Menge der 90°-Drehungen in einem Quadrat eine Gruppe. Auch die Elemente eines Vektorraums bilden bezüglich der Addition eine solche Gruppe. Trivialerweise bilden die ganzen Zahlen, wenn man nur ihre Addition und Subtraktion betrachtet, ebenfalls eine Gruppe.


    Freundliche Grüsse, Ralf

  9. #29
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    Hallo zusammen,

    und weiter geht es. Wir betrachten nun einmal ein Rechteck. Welche Kongruenzabbildungen bilden das Rechteck wieder auf sich selber ab ? Die einzelnen Punkte können woanders hinkommen, aber das Rechteck soll als Form erhalten bleiben.

    Man kann das Rechteck um 180° drehen, dann hat das Rechteck dieselbe Form wie zuvor. Oder man kann es an seiner Längsachse spiegeln, oder an seiner kurzen Achse. Oder man lässt das Rechteck einfach so liegen, wie es gerade daliegt. Das sind also vier Abbildungen, von denen zwei - die erste und die letzte, die Orientierung erhalten und die beiden mittleren, also die beiden Spiegelungen, die Orientierung umdrehen. Da bei Kongruenzabbidungen die Flächen erhalten bleiben, hat die "Determinante" der zugehörigen linearen Abbildung den Absolutwert 1, d.h. die Determinaten entstammen der Menge {-1, 1}. In der Physik interessiert man sich oft nur für solche Kongruenzabbildungen, die eine Determinante = 1 haben, die also orientierungserhaltend sind. Im Falle des Rechteckes sind das nur die 180°-Drehung und die Identität. Wenn man das Rechteck an seiner Längsachse spiegelt und wieder an seiner Längsachse spiegelt, so erhält man ebenfalls das Rechteck in seiner ursprünglichen Lage, also die Identität; gleiches gilt, wenn man das Rechteck an seiner kurzen Achse spiegelt und wieder an seiner kurzen Achse spiegelt, so erhält man ebenfalls das Rechteck in seiner ursprünglichen Lage, also die Identität.

    Wenn man das Rechteck erst an seiner einen Achse und dann an seiner anderen spiegelt, so erhält man die 180°-Drehung, egal, mit welcher Achse man anfängt.

    Was wir also sehen: egal, wie wir die vier Kongruenzabbildungen, die das Rechteck auf sich selber abbilden, miteinander verketten, jedesmal erhalten wir wieder eine solche Kongruenzabbildung. Die Menge der 4 Kongruenzabbildung des Rechteckes auf sich selber ist also abgeschlossen, und wer Lust hat kann es nachrechnen, dass sie assoziativ ist. Oder sich das Leben einfacher machen, denn Kongruenzabbildungen sind lineare Abbildungen und lineare Abbildungen sind assoziativ. Es gibt auch ein neutrales Element, das ist trivialerweise die Identität. Schliesslich gibt es zu jeder dieser Kongruenzabbildung eine Umkehrabbildung; die das Bild-Rechteck wieder auf das ursprüngliche Rechteck abbildet; trivialerweise erhält diese Umkehrabbildung ebenfalls die Form des Rechteckes.

    Ich hoffe, dass ich jetzt nichts falsches schreibe, aber meines Erachtens ist die Menge der Kongruenzabbildungen, die ein Rechteck auf sich selber abbilden, bis auf Isomorphie gleich der Klein'schen Vierergruppe.

    Und für den Laien ist das meist ungewohnt: wir betrachten keineswegs primär das Rechteck selber, sondern wir betrachten die Menge der Abbildungen, die dieses Rechteck auf sich selber abbildet. Das schreibt sich so einfach auf, aber man muss sich erst daran gewöhnen, dass nicht das Rechteck, sondern die Menge {180°-Drehung, Spiegelung an Längsachse, Spiegelung an kurzer Achse, Rechteck einfach liegen lassen} untersucht wird. Deswegen spielt es auch keine Rolle, wie gross das Rechteck ist, ob es schief oder gerade auf der Ebene liegt und wie das Verhältnis seiner beiden Achsen ist. Das ist alles irrelevant: für alle Rechtecke gilt, dass sie von den Kongruenzabbildungen {180°-Drehung, Spiegelung an Längsachse, Spiegelung an kurzer Achse, Rechteck einfach liegen lassen} wieder auf sich selber abgebildet werden.


    Freundliche Grüsse, Ralf
    Geändert von ralfkannenberg (06.08.2016 um 22:46 Uhr) Grund: eines der Rechtecke klein geschrieben

  10. #30
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    Hallo zusammen,

    und nun machen wir dasselbe für ein Quadrat. Welche Kongruenzabbildungen bilden das Quadrat wieder auf sich selber ab ? Die einzelnen Punkte können woanders hinkommen, aber das Quadrat soll als Form erhalten bleiben.

    Nun sind es schon mehr: man kann das Quadrat um 90° drehen, dann hat das Quadrat dieselbe Form wie zuvor. Oder zweial um 90°, aso um 180°, oder dreimal um 90°, also 270° (oder -90°). Oder man kann es an seinen beiden Achsen spiegeln, oder an seinen beiden Diagonalen. Oder man lässt das Quadrat einfach so liegen, wie es gerade daliegt. Das sind also acht Abbildungen, von denen vier - die ersten drei und die letzte, die Orientierung erhalten und die vier anderen, also je die beiden Spiegelungen an den Achsen und den Diagonalen, die Orientierung umdrehen. Da bei Kongruenzabbidungen die Flächen erhalten bleiben, hat die "Determinante" der zugehörigen linearen Abbildung den Absolutwert 1, d.h. die Determinaten entstammen der Menge {-1, 1}. In der Physik interessiert man sich oft nur für solche Kongruenzabbildungen, die eine Determinante = 1 haben, die also orientierungserhaltend sind. Im Falle des Quadrates sind das nur die 90°-Drehung, die 180°-Drehung, die 270°-Drehung und die Identität. Wenn man das Quadrat an einer seiner Achsen spiegelt und wieder an derselben Achse spiegelt, so erhält man ebenfalls das Quadrat in seiner ursprünglichen Lage, also die Identität; gleiches gilt, wenn man das Quadrat an einer seiner beiden Diagonalen spiegelt und wieder dann wieder an derselben Diagonale spiegelt, so erhält man ebenfalls das Quadrat in seiner ursprünglichen Lage, also die Identität.

    Wenn man das Quadrat erst an seiner einen Achse und dann an seiner anderen spiegelt, so erhält man die 180°-Drehung, egal, mit welcher Achse man anfängt. Gleiches gilt auch, wenn man das Quadrat erst an seiner einen Diagonale und dann an seiner anderen spiegelt, auch dann erhält man die 180°-Drehung, egal, mit welcher Diagonale man anfängt. Mein Vorstellungsvermögen ist zu schlecht, um zu schreiben, was passiert, wenn man eine der Spiegelungen mit der 90°-Drehung oder der 270°-Drehung verkettet, aber mein Vorstellungsvermögen spielt keine Rolle: da sich Determinanten multiplizieren erhält man dann jedesmal eine der 4 Spiegelungen.

    Wir haben nun also 8 Kongruenzabbildungen, die das Quadrat auf sich selber abbilden.

    Was wir also sehen: egal, wie wir die acht Kongruenzabbildungen, die das Quadrat auf sich selber abbilden, miteinander verketten, jedesmal erhalten wir wieder eine solche Kongruenzabbildung. Die Menge der 8 Kongruenzabbildung des Quadrates auf sich selber ist also abgeschlossen, und wer Lust hat kann es nachrechnen, dass sie assoziativ ist. Oder sich das Leben einfacher machen, denn Kongruenzabbildungen sind lineare Abbildungen und lineare Abbildungen sind assoziativ. Es gibt auch ein neutrales Element, das ist trivialerweise die Identität. Schliesslich gibt es zu jeder dieser Kongruenzabbildung eine Umkehrabbildung; die das Bild-Quadrat wieder auf das ursprüngliche Quadrat abbildet; trivialerweise erhält diese Umkehrabbildung ebenfalls die Form des Quadrates.

    Ich hoffe, dass ich jetzt nichts falsches schreibe, aber meines Erachtens ist die Menge der Kongruenzabbildungen, die ein Quadrat auf sich selber abbilden, bis auf Isomorphie gleich der C4 x S, wobei Cn die zyklische Gruppe der Ordnung 4 ist und "S" eine Spiegelung und die Identität; sie ist isomorph zur C2. Man nennt sie auch Diedergruppe der Ordnung 2n. Eigentlich schreibe ich die beiden Links nur deswegen auf, weil die Wikipedia da sehr schöne Bilder zur besseren Veranschaulichung angibt.

    Und für den Laien ist das meist ungewohnt: wir betrachten keineswegs primär das Quadrat selber, sondern wir betrachten die Menge der Abbildungen, die dieses Quadrat auf sich selber abbildet. Das schreibt sich so einfach auf, aber man muss sich erst daran gewöhnen, dass nicht das Rechteck, sondern die Menge {Identität, 90°-Drehung, 180°-Drehung, 270°-Drehung, Spiegelung an Achse 1, Spiegelung an Achse 2, Spiegelung an Diagonale 1, Spiegelung an Diagonale 2} untersucht wird. Deswegen spielt es auch keine Rolle, wie gross das Quadrat ist, ob es schief oder gerade auf der Ebene liegt. Das ist alles irrelevant: für alle Quadrate gilt, dass sie von den Kongruenzabbildungen {Identität, 90°-Drehung, 180°-Drehung, 270°-Drehung, Spiegelung an Achse 1, Spiegelung an Achse 2, Spiegelung an Diagonale 1, Spiegelung an Diagonale 2} wieder auf sich selber abgebildet werden.


    Freundliche Grüsse, Ralf

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