Dgoe
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Danke Ralf,
also gut, mein Nähkästchen war simpel:
Dann habe ich mir angesehen, welche Primzahlen und in welcher Anzahl in einem anderen enthalten sind und konnte so die Fragen zu den Untergruppen beantworten.
Zum Beispiel taucht die 2 im Achteck oder in der 8 (tout court) 3 mal auf, im 12eck aber nur 2 mal, ergo ist das 8eck insgesamt keine Untergruppe vom 12eck, auch wenn sie sich einige Untergruppen (Primzahlen) teilen, eben nicht alle (wobei hier die Anzahl gleicher Primzahlen auch wichtig war).
Dass es ansonsten passt, konnte ich an den von Dir schon aufgeschriebenen Details verifizieren.
Davon abgesehen fällt geometrisch schnell auf, dass sich das Dreieck in Dritteln des Vollkreises dreht, während bei Viereck und Quadrat in Vierteln. Trivial eigentlich, zur Deckung lassen sie sich jedenfalls nicht bringen.
Außer, dass die Identität bei allen 'deckungsgleich' ist, gleich. Wohl auch trivial.
Dann gibt es aber noch eine Ausnahme, nämlich bei den Spiegelungen des Dreiecks. Setzt man das gleichseitige Dreieck so auf eine Grundlinie, dass eine Seite parallel zu einer Seite des Rechtecks oder Quadrats liegt, also entweder wie eine Pyramide, oder genau auf den Kopf, oder eine Seite hochkant, dann gibt es immer eine Spiegelachse und zwar immer nur eine, die deckungsgleich zu einer vom Quadrat oder Rechtecks, etc. ist.
Beispielsweise das Dreieck steht pyramidenförmig aufrecht, dann ist die Spiegelachse, die gleichzeitig die Höhe der unteren Seite ist, genau die gleiche Spiegelachse, die auch das Quadrat einmal hat.
(das ist nur nicht besonders relevant, befürchte ich)
Soviel zu meinem Ansatz
Gruß,
Dgoe
Edit P.S.:
Oder ist das die Regelmäßigkeit selber, auf die Du hinaus wolltest - ich weiß nicht, keine Ahnung, außer dass sie mich beschleicht so langsam. Wie das formal ginge wenn, kann ich aber nicht notieren, notationalisieren, nur verbal.
also gut, mein Nähkästchen war simpel:
| Drehungen | Spiegelungen | |
| Rechteck | 2 | 2 |
| Quadrat | 2*2 = 4 | 2*2 = 4 |
| Achteck | 2*2*2 = 8 | 2*2*2 = 8 |
| Dreieck | 3 | 3 |
| Zwölfeck | 2*2*3 = 12 | 2*2*3 = 12 |
Dann habe ich mir angesehen, welche Primzahlen und in welcher Anzahl in einem anderen enthalten sind und konnte so die Fragen zu den Untergruppen beantworten.
Zum Beispiel taucht die 2 im Achteck oder in der 8 (tout court) 3 mal auf, im 12eck aber nur 2 mal, ergo ist das 8eck insgesamt keine Untergruppe vom 12eck, auch wenn sie sich einige Untergruppen (Primzahlen) teilen, eben nicht alle (wobei hier die Anzahl gleicher Primzahlen auch wichtig war).
Dass es ansonsten passt, konnte ich an den von Dir schon aufgeschriebenen Details verifizieren.
Davon abgesehen fällt geometrisch schnell auf, dass sich das Dreieck in Dritteln des Vollkreises dreht, während bei Viereck und Quadrat in Vierteln. Trivial eigentlich, zur Deckung lassen sie sich jedenfalls nicht bringen.
Außer, dass die Identität bei allen 'deckungsgleich' ist, gleich. Wohl auch trivial.
Dann gibt es aber noch eine Ausnahme, nämlich bei den Spiegelungen des Dreiecks. Setzt man das gleichseitige Dreieck so auf eine Grundlinie, dass eine Seite parallel zu einer Seite des Rechtecks oder Quadrats liegt, also entweder wie eine Pyramide, oder genau auf den Kopf, oder eine Seite hochkant, dann gibt es immer eine Spiegelachse und zwar immer nur eine, die deckungsgleich zu einer vom Quadrat oder Rechtecks, etc. ist.
Beispielsweise das Dreieck steht pyramidenförmig aufrecht, dann ist die Spiegelachse, die gleichzeitig die Höhe der unteren Seite ist, genau die gleiche Spiegelachse, die auch das Quadrat einmal hat.
(das ist nur nicht besonders relevant, befürchte ich)
Soviel zu meinem Ansatz
Gruß,
Dgoe
Edit P.S.:
Oder ist das die Regelmäßigkeit selber, auf die Du hinaus wolltest - ich weiß nicht, keine Ahnung, außer dass sie mich beschleicht so langsam. Wie das formal ginge wenn, kann ich aber nicht notieren, notationalisieren, nur verbal.
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