Bernhard
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Hallo zusammen,
ich hätte da nach langer Zeit mal wieder ein "Problemchen" mit der Kerr-Metrik. Über den zugehörigen Wikipedia-Artikel hat mich der dortige Autor "Yukterez" auf die Arbeit von Prof. J. Levin aufmerksam gemacht: https://arxiv.org/abs/0802.0459 . Auf Seite 33 dieser Arbeit wird ein sehr interessantes Gleichungssystem angegeben, das relativ leicht numerisch zu integrieren ist. Prof. Levin hat daraus dann scheinbar auch eine Klassifizierung der zugehörigen Lösungen, bzw. Geodäten vorgenommen. Bei wolframalpha gibt es sogar ein Demo-Projekt, wo man mit diesen Geodäten auch selbst experimentieren kann.
Soweit ist das alles ganz interessant. Aber: Ich habe mal zu Testzwecken bei diesen Gleichungen den Kerr-Parameter a und den Drehimpuls des Testkörpers auf Null gesetzt. Die Gleichungen sollten dann den freien und radialen Fall eines Testkörpers in ein "Schwarzschild-Loch" beschreiben, was wir hier im Forum ja auch schon oft diskutiert haben.
Jetzt kommt meine Frage: Diese derart reduzierten Gleichungen stimmen eigenartigerweise nicht mit den Gleichungen aus dem Fließbach überein?? Ich hänge da jetzt schon länger als eine Woche daran und komme einfach nicht weiter, obwohl die verbleibenden zwei Gleichungen eigentlich ziemlich übersichtlich sind.
Die Gleichungen von J. Levin reduzieren sich meiner Meinung nach auf:
$$p^r = \frac{dr}{d\tau} = \left(1-\frac{r_S}{r}\right)p_r$$
$$\dot{p_r} = -\frac{r_S}{2r^2}p_r^2-\frac{E^2r_S}{(r-r_S)^2}$$
In dem Lehrbuch von T. Fließbach "Allgemeine Relativitätstheorie" findet man nun für den radialen, freien Fall die folgende Gleichung:
$$\dot{r}^2 = E^2-1+\frac{r_S}{r}$$
Daraus folgt durch Differentiation nach der Eigenzeit gemäß meiner Rechnung:
$$\dot{p_r} = -\frac{r_S}{r^2}p_r^2-\frac{r_S}{2r(r-r_S)}$$
Die Unterschiede sind nicht wirklich groß, aber doch auch wesentlich, weil in dieser Gleichung die Energie des Testkörpers als Parameter gar nicht vorkommt. Der Punkt kennzeichnet jeweils die Differentiation nach der Eigenzeit \( \tau \), \( r_S \) ist, wie üblich, der bekannte Schwarzschild-Radius. Bei J. Levin wird dieser der Einfachheit halber auf 2 gesetzt.
Hat jemand eine Idee?
@Ich: Ich habe Dir diese Frage vorab auch als PN geschickt. Bitte die PN bei Bedarf einfach löschen.
ich hätte da nach langer Zeit mal wieder ein "Problemchen" mit der Kerr-Metrik. Über den zugehörigen Wikipedia-Artikel hat mich der dortige Autor "Yukterez" auf die Arbeit von Prof. J. Levin aufmerksam gemacht: https://arxiv.org/abs/0802.0459 . Auf Seite 33 dieser Arbeit wird ein sehr interessantes Gleichungssystem angegeben, das relativ leicht numerisch zu integrieren ist. Prof. Levin hat daraus dann scheinbar auch eine Klassifizierung der zugehörigen Lösungen, bzw. Geodäten vorgenommen. Bei wolframalpha gibt es sogar ein Demo-Projekt, wo man mit diesen Geodäten auch selbst experimentieren kann.
Soweit ist das alles ganz interessant. Aber: Ich habe mal zu Testzwecken bei diesen Gleichungen den Kerr-Parameter a und den Drehimpuls des Testkörpers auf Null gesetzt. Die Gleichungen sollten dann den freien und radialen Fall eines Testkörpers in ein "Schwarzschild-Loch" beschreiben, was wir hier im Forum ja auch schon oft diskutiert haben.
Jetzt kommt meine Frage: Diese derart reduzierten Gleichungen stimmen eigenartigerweise nicht mit den Gleichungen aus dem Fließbach überein?? Ich hänge da jetzt schon länger als eine Woche daran und komme einfach nicht weiter, obwohl die verbleibenden zwei Gleichungen eigentlich ziemlich übersichtlich sind.
Die Gleichungen von J. Levin reduzieren sich meiner Meinung nach auf:
$$p^r = \frac{dr}{d\tau} = \left(1-\frac{r_S}{r}\right)p_r$$
$$\dot{p_r} = -\frac{r_S}{2r^2}p_r^2-\frac{E^2r_S}{(r-r_S)^2}$$
In dem Lehrbuch von T. Fließbach "Allgemeine Relativitätstheorie" findet man nun für den radialen, freien Fall die folgende Gleichung:
$$\dot{r}^2 = E^2-1+\frac{r_S}{r}$$
Daraus folgt durch Differentiation nach der Eigenzeit gemäß meiner Rechnung:
$$\dot{p_r} = -\frac{r_S}{r^2}p_r^2-\frac{r_S}{2r(r-r_S)}$$
Die Unterschiede sind nicht wirklich groß, aber doch auch wesentlich, weil in dieser Gleichung die Energie des Testkörpers als Parameter gar nicht vorkommt. Der Punkt kennzeichnet jeweils die Differentiation nach der Eigenzeit \( \tau \), \( r_S \) ist, wie üblich, der bekannte Schwarzschild-Radius. Bei J. Levin wird dieser der Einfachheit halber auf 2 gesetzt.
Hat jemand eine Idee?
@Ich: Ich habe Dir diese Frage vorab auch als PN geschickt. Bitte die PN bei Bedarf einfach löschen.