Hallo miteinander,
die Diskussion läuft auch ohne mich gut in meinem Sinn. Weil es gut erscheint, alles noch einmal von vorn zu betrachten, meine gesamte Herleitung noch einmal:
Als Entscheidungshilfe für die richtige Berechnung des Gravitationspotentials vergleiche ich
zwei Ansätze:
- der von einigen hier favorisierte mit
Addition zweier Teilpotentiale und
- der aus Wikipedia (Potential) mit
Fallunterscheidung (für Innen und Außenraum):
Die verwendeten Naturkonstanten sind:
G Gravitationskonstante, r[SUB]E[/SUB] Erdradius, ρ[SUB]E[/SUB] durchschnittliche Dichte, M[SUB]E[/SUB] Erdmasse
Bei der Berechnung wird der Abstand r vom Mittelpunkt der betrachteten Masse verwendet.
Im
speziellen Beispiel (von "Ich") soll der
halbe Erdradius betrachtet werden, aber allgemeiner (hier von mir) bedeutet
n der n-te Teil von r[SUB]E[/SUB].
Zuerst schaue ich den Zusammenhang zwischen Dichte und Masse an:
$$(1) ~~ρ
=ρ_E*n^3$$
Dabei ist r durch n ersetzt, es ist demnach nicht ganz so allgemein wie in Wikipedia. Das kommt erst nach (7).
Das ergibt:
$$ρ(2)/ρ_E=8$$
In der betrachteten Kugel soll die Masse homogen verteilt sein, deshalb ergibt sich einfach:
$$(2) ~~M(r,n)=4/3*π*ρ
*r^3~ und ~daraus ~ρ
=\frac{3*M_E}{4*π*r^3}$$
Weil alle Masse im n-tel des Erdradius konzentriert ist, fällt die Abhängigkeit von n weg.
Das innere Potential ist bei homogener Dichte das Integral über die Beschleunigung:
$$(3) ~~a(r,n):=\frac{G*M(r,n)}{r^2}=\frac{4*π*G*r*ρ
}{3}=\frac{4}{3}*π*G*r*ρ_E*n^3$$
Hier kommt ein Unterschied zu Ralfs Lösung ins Spiel. Ralf nimmt ρ = const. für alle ρ innerhalb der Erde, ohne Hinweis auf die im kleinen Radius erhöhte Dichte. Allerdings korrigiert das SRMeister in seiner Rechnung. Ich integriere die Beschleunigung von 0 bis 1/n des Erdradius.
Damit wird das innere Potential:
$$(4)~~P_i
:=\int_0^{r_E/n}(4*π*G*r*ρ_E*n^3)dr={2/3*π*G*n*r_E^2*ρ_E}$$
Das führt demnach mit n = 2 auf das gleiche Resultat wie bei SRMeister:
$$(5)~~P_1:={4/3*π*G*r_E^2*ρ_E}$$
Nun kann für den Außenraum, weil dieser nur von der festen Masse des Innenraums abhängt,
einfach das Potential gebildet werden:
$$(6)~~P_a
:=\int_{r_E/n}^{r_E}(G*M_E/r^2)dr=-{G*M_E}/r_E+{G*M_E*n}/{r_E}=\frac{G*M_E*(n-1)}{r_E}$$
Mit n = 2 ist das
$$P_2:=\frac{G*M_E}{r_E}$$
Erst jetzt kommt es zur unterschiedlichen Interpretation. Stark vertreten in
astronews ist die Ansicht, dass sich für das Gesamtpotential inneres und äußeres addieren.
$$(7)~~P_{ges}
:=P_i
+P_a
$$
"Somit wäre das Potential bei r[SUB]E[/SUB] 4 mal größer
als im Fall homogener Masse zwischen 0 und r[SUB]E[/SUB]."
$$~~P_{ges}(2)/P_{ges(1)}=4$$
Zu (6) und (7) stimmte auch "Ich" zu.
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Weil im Gesamtpotential P[SUB]i[/SUB] das Ergebnis so stark dominiert, stehe ich immer noch zu meiner Anmerkung:
Dieses Ergebnis ist mMn unhaltbar. Alle Masse steckt im Bereich 1/n und erzeugt das Potential bis zu seiner Oberfläche. Danach wird noch betrachtet, was an der virtuellen Erdoberfläche für ein Potential herrscht und damit die Fallbeschleunigung im Abstand rE erzeugt. Dieses ist nach
üblicher Interpretation nur von der Masse und der Gravitationskonstanten abhängig, auch wenn die Masse fast in einem Punkt konzentriert gedacht wird. Der zur Masse gehörende Ereignishorizont beschränkt allerdings die kleinstmögliche Ausdehnung.
Hier in diesem einfachen Gedankenexperiment bietet sich ein Gesamtpotential mit Fallunterscheidung an:
Um die Abhängigkeit von r wieder zu erhalten, verwende ich das innere Potential wie von Ralf vorgerechnet, allerdings mit einer ausdehnungsabhängigen Dichte und der noch unbekannten Integrationskonstanten.
$$(8)~~Φ_A(r):=-\frac{G*M_E}{r}~~~~und~~~~Φ_I(r):=2/3*π*G*ρ_E*\frac{r}{r_E}*r^2+Φ_0$$
Wegen des erforderlichen fließenden Übergangs zwischen innerem und äußerem Bereich wird das innere Potential gleich dem äußeren gesetzt. Dabei soll der Wert der Fallbeschleunigung beim tatsächlichen Erdradius erreicht werden, weil das der einzige experimentell zugängliche Wert ist.
Deshalb wird r / r[SUB]E[/SUB] = 1.
$$(9)~~2/3*π*G*ρ_E*r_E^2+Φ_0=-{G*M_E}/r_E$$
Darin wird die Dichte durch die bekannte Masse ersetzt:
$$M_E=4/3*π*r_E^3*ρ_E$$
$$(10)~~Φ_0=-(2/3*π*G*ρ_E*r_E^2)-{G*M_E}/r_E={G*M_E}/{2*r_E}-{G*M_E}/r_E=-{3*G*M_E}/{2*r_E}$$
Das wird eingesetzt und auch wieder die feste Masse beim Erdradius:
$$(11)~~Φ_I(r)=2/3*π*G*ρ_E*r^2-{3*G*M_E}/{2*r_E}=(1/2*G*M_E*{r^2}/{r_E^3}-{3*G*M_E}/{2*r_E})=({(G*M_E*(r^2-3*r_E^2})/({2*r_E^3})$$
also
$$(12)\quad \Phi_I(r)=\frac{G*M_E}{2*r_E}({r^2}/{r_E^2}-3) \quad \mbox{und} \quad \Phi_A(r)=-{G*M_E}/r$$
Innen- und Außenpotential stimmen am Erdradius überein, wie es sein soll.
$$~~Φ_A(r_E)/(Φ_I(r_E))=1$$
Beim inneren Potential erscheint der Zahlenwert vernünftig:
$$~~~~Φ_I(r_E/2)=-8.5664*10^7*m²/s²$$
Das äußere Potential beim halben Erdradius ist allerdings mit Vorsicht zu genießen, weil kein fließender Übergang zu erkennen ist.
$$~~~~Φ_A(r_E/2)=-1.246*10^8*m²/s²$$
Damit würde ΦI + ΦA (also die
hier stark bevorzugte Interpretation, allerdings mit Integrationskonstante):
$$(13)\quad \Phi_G(r)=\frac{G*M_E}{2*r_E}({r^2}/{r_E^2}-3) -{G*M_E}/r$$
Die im Wikipedia-Artikel über Potentiale vertretene Interpretation ergibt eine Fallunterscheidung, für welche spricht, dass der betrachtete wichtige Radius dem der kompakten Kugel entspricht. Bei allen größeren Radien, unabhängig vom Radius dieser Kugel, in einer beliebigen Entfernung vom Mittelpunkt, wird das nur von diesem Abstand abhängige richtige Resultat geliefert. Explizit vorgestellt wird diese Lösung nicht im Artikel, hier wurde sie
durch Bernhard vorgeschlagen.
$$(14)\quad \Phi_{gesamt}(r)=\begin{cases}
\frac{G*M_E}{2*r_E}({r^2}/{r_E^2}-3), & \text{wenn }r \le r_E \\
-{G*M_E}/r, & \text{sonst. }
\end{cases}$$
Weitere Zahlenwerte gebe ich vorläufig nicht an.
Hiermit kann die Diskussion weiter gehen. Der große Wert des Außenpotentials, auch bei r[SUB]E[/SUB], muss für die
Additionslösung erklärt werden.
MfG
Lothar W.