Allgemeine Relativitätstheorie: Periheldrehung der Merkurbahn

[TomS]

Man sollte sich also auf eine korrekte DGL für die Bahnkurve r(phi) (s. z.B. VanHees-Link) einigen und kann sich dann die Lösung derselben genauer ansehen. 09c sollte dazu mal seine Quellen angeben. Bisher weiß man noch gar nicht, ob er selber etwas ausgerechnet hat und dabei Fehler gemacht hat .

ja, da hast du völlig Recht

[09c]

Hallo zusammen,

meine Quelle ist; U.E Schröder; Gravitation, Einführung in die allgemeine Relativitätstheorie ISBN 978-3-8171-1874-8 ; 5.Auflage 2011; Seite 112-116.
Die Differentialgleichung 1.Ordnung (9.17) ist mir bekannt. Sie bringt meiner Meinung keinen entscheidenden Vorteil (Wurzel, mehrere arithmetische Operationen).
Vollständige Integration halte ich für notwendig, um die Stabilität der Lösung bei verschieden großen Integrationsintervallen zu untersuchen. Sie ist sehr stabil.
Außerdem habe ich die Konsistenz mit bis zu 6 vollen Perioden geprüft.

Grüße,

09c

[Bernhard]

1.) Hier (Link) wäre mal der Link auf eine öffentliche Seite des Buches von Schröder. Gleichung (9.18) passt meiner Meinung nach und stimmt auch mit der Gleichung von der GSI-Seite überein.

2.) Gehe ich davon aus, dass diese Gleichung direkt nicht analytisch lösbar ist, denn die zugehörige Lösung würde man sonst vermutlich in der Literatur finden. Aber das ist momentan nur eine Vermutung von mir.

3.) Die Bedingung r' = 0 ist wegen r <> 0 (r ungleich Null) gleichbedeutend mit u' = 0 und führt lediglich auf eine Beziehung zwischen den Konstanten der Bewegung und der Perihel- und Apheldistanz.

[TomS]

Sie [die DGL 1. Ord.] bringt meiner Meinung keinen entscheidenden Vorteil (Wurzel, mehrere arithmetische Operationen).

Ich bin kein Numerik-Experte, aber ich würde im Zweifelsfall immer die DGL 1. Ord. verwenden. Der algebraische Aufwand sollte vernachlässigbar sein ggü. der 2. Ord., der potentiellen numerischen Instabilität und der Problematik, dass damit Erhaltungsgrößen nicht respektiert werden (das muss das Verfahren leisten). Im Falle der 1. Ord. muss man lediglich (numerisch) integrieren, das ist trivial ggü. einer nicht-linearen DGL. 2. Ord.

[Bernhard]

Ich bin kein Numerik-Experte, aber ich würde im Zweifelsfall immer die DGL 1. Ord. verwenden. Der algebraische Aufwand sollte vernachlässigbar sein ggü. der 2. Ord.,

Das ist weitgehend egal in der Implementierung. Bei einer DGL 2. Ordnung muss man mit zweikomponentigen Größen arbeiten (Wert und erste Ableitung), bei der DGL 1. Ordnung dagegen nur mit dem Wert selbst. Das Verfahren ist aber für beide Fälle das gleiche.

der potentiellen numerischen Instabilität und der Problematik, dass damit Erhaltungsgrößen nicht respektiert werden (das muss das Verfahren leisten).

Diesen Punkt sollte man bei der Umsetzung bedenken.

Wichtig erscheint mir noch der Punkt, dass bei der DGL 2. Ordnung bereits ein u' im Nenner des ersten Terms auf der rechten Seite durch einen konstanten Wert ersetzt wurde. Hier hat man also bereits eine Näherung verwendet, um den Formalismus aus der newtonschen Theorie verwenden zu können.
MfG

[09c]

Hallo Bernhard,

der erste Term rechts von Dgl 9.18 --> (k²-c²)/h² ist konstant und fällt beim Differenzieren weg.
Ein paar wichtige Sachen habe ich gestern vergessen:
Dgls des Typs dr/dw=f(r) liefern einen Kreisbogen sobald f(r)=0 --> r ist konstant. Das gilt auch für 9.18! Vom Perihel weg schlägt es einen Kreis ein. Startet man von einem anderen Punkt aus, gibt
es beim Aphel wieder einen Kreisbogen!
Bei Wurzeln muss man sich selbst um den Vorzeichenwechsel beim Nulldurchgang kümmern.
Die Fehlerfortpflanzung ist ein wichtiges Kriterium für die Stabilität der Lösung. Setzt man in eine Funktion y=f(x) ein x mit einem kleinen Fehler dx ein, so ist die Auswirkung dy auf y umso größer der Betrag
der Ableitung der Funktion ist: dy=f'(x)*dx. Wurzeln besitzen bei kleinen Beträgen sehr große Ableitungen. Die Sache wird ungenau gerade wenns spannend wird.

Grüße,
09c

[Bernhard]

der erste Term rechts von Dgl 9.18 --> (k²-c²)/h² ist konstant und fällt beim Differenzieren weg.

Hallo 09c,

ich meinte eigentlich Gleichung 9.19, aber ich habe gerade bemerkt, dass sich hier das u' wegkürzt. Gleichung 9.19 ist damit doch keine Näherung. Danke für den Hinweis.

[Bernhard]

Hallo 09c,

Die Sache wird ungenau gerade wenns spannend wird.

ein Ausweg besteht ja vielleicht darin, die Zeitabhängigkeiten anzusehen. Man müsste dazu aber erst mal die zugehörige DGL neu aufstellen. Wenn man dann sieht, dass bei der Funktion r(t) das Minimum und Maximum zu periodisch wiederkehrenden Zeiten angenommen wird, wäre man doch auch wieder etwas weiter.

Falls Du daran interessiert bist, schlage ich eine zeitweise Auslagerung des Themas nach relativ-kritisch.net oder in's quantenforum.de vor, denn da gibt es LaTeX.
MfG

[TomS]

Die Fehlerfortpflanzung ist ein wichtiges Kriterium für die Stabilität der Lösung. Setzt man in eine Funktion y=f(x) ein x mit einem kleinen Fehler dx ein, so ist die Auswirkung dy auf y umso größer der Betrag
der Ableitung der Funktion ist: dy=f'(x)*dx. Wurzeln besitzen bei kleinen Beträgen sehr große Ableitungen. Die Sache wird ungenau gerade wenns spannend wird.

Das ist irrelevant.

Wenn man die DGL erster Ordnung benutzt, muss man lediglich integrieren. Und da kann man eine Wurzel durch geeignete Variablentransformation loswerden.

[Bernhard]

Wenn man dann sieht, dass bei der Funktion r(t) das Minimum und Maximum zu periodisch wiederkehrenden Zeiten angenommen wird, wäre man doch auch wieder etwas weiter.

@09c:

Dividiert man Gleichung (9.16) aus dem "Schröder" anstelle von (phi-punkt)² durch (x^0-punkt)^2 kommt man übrigens recht leicht auf die DGL (dr/dt)² = c² * B(r)² * (1-B(r)*((h²/r²)+c²)/k²) mit B(r) := 1-r_S/r . Dies zeigt, dass die Bewegung vom Aphel zum Perihel gerade zeitsymmtrisch zur entgegengesetzten Bewegung verläuft, da sich beide Richtungen lediglich durch ein Vorzechen vor einer Wurzel unterscheiden. Beide Richtungen dauern also genau gleich lang. Unterschiede in den beiden Abläufen der Bewegung von Aphel und Perihel sind also rein numerischer Natur, d.h. aufaddierte Rundungsfehler.
MfG