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Thema: Allgemeine Relativitätstheorie: Periheldrehung der Merkurbahn

  1. #21
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    Hallo zusammen,

    ich beschäftige mich seit einigen Tagen mit der Bestimmung der Konstante k (9.14).
    Zum Testen habe ich Dgl 9.17 so umgeformt, dass rechts ein Polynom 4.Grades steht. Das Polynom hat die triviale Lösung (Nullstelle) r1=0.
    Ich suche nun einen Ausdruck für k, so dass r2=a-e (Perihel) und r3=a+e (Aphel) ebenfalls Nullstellen des Polynoms sind. a ist die große Halbachse und e ist die Exzentrizität.
    Wenn ich nun k physikalisch herleiten versuche, komme ich auf zwei konjugiert komplexe Nullstellen des Polynoms. Die einzige reelle Lösung ist immer der Schwarzschild-Radius. Drehe ich aber die
    Sache um und berechne k aus den vorgegebenen Nullstellen (einschließlich dem Schwarzschildradius als vierte Nullstelle) so erhalte ich die Beziehung k²=c²+G*M/a. Diese Vorgehensweise
    ist streng unwissentschaftlich, weil ich die Lösungen vorgebe! Ich sehe momentan keinen Weg die Größe von k korrekt zu untermauern.

    Grüße,
    09c

  2. #22
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    K ist eine Konstante der Bewegung, so wie (in anderen Beispielen), Energie E, Impuls p, Drehimpuls L, ... Sie parametrisiert physikalische Lösungen, d.h. Trajektorien. Um sie festzulegen musst du Anfangsbedingungen spezifizieren.
    Gruß
    Tom

    «while I subscribe to the "Many Worlds" theory which posits the existence of an infinite number of Toms in an infinite number of universes, I assure you that in none of them am I dancing»

  3. #23
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    Hallo zusammen,

    hat man den Vorzeichenfehler noch nicht bemerkt? Ich bitte um Entschuldigung, war keine Absicht. Es gilt natürlich k²=c²-G*M/a ! Das Polynom ist zwischen Perihel und Aphel positiv. Die Wurzel aus dem Wert des Polynoms muss zwischen den Scheitelpunkten reell sein. Für die andere Konstante h habe ich h²=G*M*(a²-e²)/a aus der klassischen Energie- und Drehimpulserhaltung gefunden.
    Der Polynomausdruck lautet dann: -1/(a²-e²)*r*(r³-2*a*r²+(a²-e²)*r-(a²-e²)*rs).
    Zurück aber zur Kritik an der Vorgehensweise: Natürlich schaut der Ausdruck für k ganz vernünftig aus. Ruheenergie minus Bindungsenergie genau im arithmetischen Mittel zwischen Perihel und Aphel. Doch wie komme ich physikalisch korrekt dazu?
    Ich darf ihn doch nicht so aus den erwarteten Werten hervorzaubern (Elfmeter)! Man muss sich dann nicht wundern, dass nach
    einer Simulationsrechnung genau das vorgegebene Ergebnis herauskommt.

    Grüße,

    09c

  4. #24
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    Zitat Zitat von 09c Beitrag anzeigen
    Ich sehe momentan keinen Weg die Größe von k korrekt zu untermauern.
    Hallo 09c,

    Du setzt in (9.17) dr/dphi = 0, wie bereits bekannt. Die verbleibende Gleichung wird logischerweise von den zwei Werten r- und r+ gelöst, wobei r- die Distanz vom Brennpunkt bis zum Perihel ist und r+ die Distanz vom Brennpunkt zum Aphel ist. Die beiden Werte r- und r+ kann man hier frei vorgeben, solange die nicht kleiner als Null sind. Wenn beide Werte die Gleichung erfüllen hast Du zwei Gleichungen für die zwei Unbekannten h und k. Damit kannst Du dann h und k mit r- und r+ verknüpfen.
    Alles klar .
    Geändert von Bernhard (31.08.2013 um 20:34 Uhr)

  5. #25
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    Hallo zusammen,

    habe heute alle drei Differentialgleichungen 2.Ordnung (Binet, mathematische Apsidendrehung und ART modifizierte Binet Glg)
    mit dem Solver 'ode45' von Matlab überprüft. Jetzt bin ich mir sicher, dass die ART eine periodisch wiederkehrende Delle von 14,3 km in Merkurs Aphel beschreibt. Auf der Perihel-Seite hingegen laufen mathematische Apsidendrehung und ART-Bahn mit großer Genauigkeit deckungsgleich.
    Die Delle in Merkurs Aphel ist etwa halb so groß wie die Shapiro-Verzögerung in Weg umgerechnet. Um den Fernpunkt zu vermessen
    braucht man nicht an der Sonne vorbeimessen. Die Bedingungen sind viel bequemer.

    Grüße,
    09c

  6. #26
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    Zitat Zitat von 09c Beitrag anzeigen
    Jetzt bin ich mir sicher, dass die ART eine periodisch wiederkehrende Delle von 14,3 km in Merkurs Aphel beschreibt.
    Interessant. Eventuell verschwindet diese Delle ja gerade mit den verwendeten Näherungen bei der analytischen Berechnung der Periheldrehung?

  7. #27
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    Hallo zusammen,

    gerade habe ich die Kurven mit den Abweichungen von mathematischer Apsidendrehung und Art hochgeladen.
    http://www.bilder-hochladen.net/file...-c4ca-png.html
    Differentialgleichungen 2.Ordnung integriert mit Rechteckverfahren 10 Millionen Schritte. Abweichung nach einer Umdrehung
    8,4 Millimeter. Der Solver bringt es 'nur' auf 29 Zentimeter.

    Grüße 09c

  8. #28
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    Hallo Bernhard,

    zu Deinem Vorschlag bin ich noch nicht gekommen. Da ist das Kreisbogenproblem beim Start, das ich für die Dgl 1.Ordnung schon angesprochen habe. Die Parameter für den 'Elfmeter' habe ich bereits ausgerechnet. Aber ich glaube damit löscht man Information die in der Dgl 2.Ordnung steckt. Das Bild der Kurven habe ich gerade hochgeladen:
    http://www.bilder-hochladen.net/file...-c4ca-png.html
    Die Berechnungen der gezeigten Kurven beruhen auf der Integration der Differentialgleichungen 2.Ordnung mit dem Rechteck-Verfahren mit 10 Millionen Schritten. Nach einem Umlauf von 87,97 Tagen nähern sich die Bahnkurven von mathematischer Apsidendrehung und ART bis auf 8,4 Millimeter!!! Das schafft kein Elfmeter-Schütze. Schon gar nicht in der regulären Spielzeit.

    Grüße,
    09c

  9. #29
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    Hi 09c,

    mir ist noch nicht ganz klar, was Du bei dem hochgeladenen Diagramm genau ausgerechnet hast. Ich meine, wir haben zum einen die Kurve gemäß ART, die Du numerisch mit ausreichender Genauigkeit ausrechnen kannst. Dann hat man die zugehörige Keplerellipse mit und ohne Drehung des Aphels. Hast Du dem Aphel bei der Keplerellipse jetzt genau so viel Drehung mitgegeben, dass nach einem Umlauf die ART-Kurve genau mit der Keplerellipse übereinstimmt?

    Zum anderen könnte man sich eigentlich auf einen halben Umlauf von Merkur beschränken, da der Rest lediglich eine Wiederholung dieser Bahn darstellt. Du könntest also der Keplerellipse so viel zusätzliche Drehung der Ellipse hinzufügen, dass nach einem halben Umlauf (= Integration der ART-Kurve von r_min bis r_max) die modifizierte Keplerbahn genau mit der ART-Kurve übereinstimmt. Bei den Zwischenwerten (also alle Werte von r zwischen r_min und r_max) kann es dann natürlich Abweichungen geben.
    Grüße

  10. #30
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    Hallo Bernhard,

    der Winkel der Apsidendrehung ist wie vorher 43,2 Bogensekunden pro Jahrhundert:

    w(Bogenmaß)=43,2/100/365,24*87,97/3600/180*pi

    87,97 ist die Umlaufzeit Merkurs um die Sonne in Tagen.
    Auf den halben Umlauf sollte man sich nicht beschränken, weil die blaue Kurve (ART) nicht symmetrisch zur X-Achse verläuft. Und eigentlich war meine Motivation die Überprüfung der Aussage der ART hinsichtlich der Drehung des Perihels. Diese Aussage fand ich voll bestätigt. Die beiden Kurven treffen sich tangierend genau im Perihel. Sie 'marschieren' im Aphel aber deutlich getrennt.

    Grüße,
    Martin

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