Anzeige
Seite 1 von 24 12311 ... LetzteLetzte
Ergebnis 1 bis 10 von 235

Thema: Die Widerlegung des Doomsday-Arguments

  1. #1
    Registriert seit
    04.01.2006
    Beiträge
    724

    Standard Die Widerlegung des Doomsday-Arguments

    Anzeige
    Vorbemerkung: Ärgerlich ist, das die Latexdarstellung von Formeln offenbar nicht mehr geht. Ich habe die Formeln im Latexcode belassen, was natürlich die Lesbarkeit beeinträchtigt.

    1. Einleitung

    Hier im Astronews-Forum wurde und wird wiederholt das sogenannte Doomsday-Argument (DDA) benutzt oder diskutiert. Beispielsweise hier
    http://www.astronews.com/forum/showt...msday-Argument
    http://www.astronews.com/forum/showt...-Unendlichkeit
    http://www.astronews.com/forum/showt...em-Pr%FCfstand

    Dabei handelt es sich um eine Argumentation, bei der mit Hilfe statistischer oder wahrscheinlichkeitstheoretischer Aussagen aus einer einzigen Beobachtung auf die Gesamtheit aller Beobachter geschlossen werden soll. Beispielsweise soll aus der Platznummer auf die Größe eines Theaters, aus der vergangenen Zeit der Menschheit auf ihre künftige Existenzdauer, aus der (eigenen) Geburtsnummer auf die Gesamtzahl aller noch geboren werdenden Menschen oder daraus, dass wir in keinem Habitat leben, darauf, dass Habitat bildende Superzivilisationen selten seien, geschlossen werden. Ein kurzer Überblick
    http://de.wikipedia.org/wiki/Doomsday-Argument
    http://www.final-frontier.ch/doomsday-argument

    Das DDA wird von seinen Befürwortern unter der Annahme, dass die eigene Position gleichwahrscheinlich mit der aller anderen potentiellen Beobachter ist, als mathematisch korrekte Schlußfolgerung aus der eigenen Position angesehen.

    Motivation: Das DDA wird immer wieder in Diskussionen gebracht, in denen es um die zukünftige Entwicklung der Menschheit um interstellare Reisen oder außerirdische Zivilisationen geht. Dann driftet die Diskussion in eine Diskussion um das DDA und die Diskussion von Möglichkeiten, die nach dem DDA eine geringe Wahrscheinlichkeit haben, wird unterbunden. Ich finde das Abwürgen solcher Diskussionen nicht gut. Wichtiger noch ist, dass in den Diskussionen um das DDA es selbst von 'DDA-Gegnern' als mathematisch korrekt bezeichnet wird und andere, die 'DDA-Befürworter' nicht überzeugende Argumente gegen das DDA gebracht werden.

    Ich schreibe diese Widerlegung des DDA hier in diesen Bereich, da die meisten DDA-Diskussionen bereits hier stattgefunden haben, es sich nicht um eine eigene Theorie handelt und es sich m.E. auch nicht um die Kritik an einer etablierten Theorie handelt, da es m.E. beim DDA nicht um eine etablierte Theorie handelt, auch die deutschsprachige Wikipedia bezeichnet das DDA zumindest als umstritten
    Zitat: "Die Gültigkeit des Doomsday-Arguments ist heftig umstritten."
    http://de.wikipedia.org/wiki/Doomsday-Argument#Kritik

    Der weitere Teil gliedert sich wie folgt. Im Abschnitt 2 werde ich eine mathematische Schlussfolgerung, die in den Diskussionen um das DDA zentral ist und als 'trivial' angesehen wird, als Trugschluss entlarven und versuchen diesen auch für in der Wahrscheinlichkeitsrechnung nicht so Bewanderte zu erklären. Außerdem werde ich ein paar Gegenbeispiele bringen. Im Abschnitt 3 gehe ich kurz auf die Bayessche Interpretation des DDA ein. Im Abschnitt 4 vergleiche ich die Vorhersagen des DDA mit den Beobachtung für einen der obigen Anwendungsfälle. Im Abschnitt 5 untersuche ich, wie sich das DDA unter zusätzlichen Beobachtungen verhält und welche Voraussetzungen bei Verallgemeinerungen auf allgemeinere Gruppen nötig sind. Im Abschnitt 6 fasse ich nochmal zusammen.

  2. #2
    Registriert seit
    04.01.2006
    Beiträge
    724

    Standard

    2. Wahrscheinlichkeitstheoretisch korrekte Formulierung des DDA und vermeidbare Trugschlüsse

    Vorbemerkung zur Farbgebung: Ich werde die in Diskussionen um das DDA immer wieder angeführten, aber belanglosen, Wahrscheinlichkeiten rot färben. Die tatsächlich wichtigen Wahrscheinlichkeiten dagegen blau. Es wird sehr oft behauptet, dass diese Wahrscheinlichkeiten zwangsläufig gleich seien, was ich durch Gegenbeispiele widerlegen werde.

    Allgemeine Formulierung: Ich formuliere es für Theaterplätze, die Formulierung für die Geburten oder die Lebenserwartung ist analog.
    Wir haben irgendeinen Platz in einem Theater. Die Plätze in jedem Theater mit n Plätzen sind mit i von 1 bis n durchnummeriert. Die Theater seien mit j durchnummeriert, die Anzahl der Plätze in den Theatern sein n=n(j). Alle Plätze seien besetzt.
    Sei nun w_i,j die Wahrscheinlichkeit dafür, dass wir den i-ten Platz in j-ten Theater mit n=n(j) Plätzen haben. Dabei können i und j jeden Wert der natürlichen Zahlen (Menge \N) annehmen, 0 ist ausgeschlossen.
    Da in einem Theater mit n Plätzen keine Platznummern i größer als n existieren, gilt w_i,j=0 falls i>n(j) gilt. Für alle anderen Wahrscheinlichkeit gilt 0 \le w_i,j \le 1.
    Die Wahrscheinlichkeit überhaupt einen Platz zu haben ist nach Voraussetzung 1.
    \sum_{j=1}^{\infty} \sum_{i=1}^{\infty} w_i,j = \sum_{j=1}^{\infty} \sum_{i=1}^{n(j)} w_i,j = 1

    Nun gilt für die Wahrscheinlichkeit im j-ten Theater einen Platz zu haben.
    P(T=j) = \sum_{i=1}^{\infty} w_i,j = \sum_{i=1}^{n(j)} w_i,j
    Nun gilt für die Wahrscheinlichkeit die Platznummer i zu haben (bei unbekanntem Theater).
    P(K=i) = \sum_{j=1}^{\infty} w_i,j = \sum_{j \in \N mit n(j)\ge i} w_i,j
    Die Wahrscheinlichkeit sich in einem Theater mit m Plätzen zu befinden ist die Summe über alle Wahrscheinlichkeiten P(T=j) falls n(j)=m ist.
    \sum_{j mit n(j)=m} P(T=j) = \sum_{j mit n(j)=m} \sum_{i=1}^{\infty} w_i,j = \sum_{j mit n(j)=m} \sum_{i=1}^{n(j)} w_i,j
    Diese Wahrscheinlichkeiten sind unter der Voraussetzung, dass weder i,j noch n bekannt sind.

    Nun sollen Wahrscheinlichkeiten angegeben werden, unter der Voraussetzung, dass etwas bekannt ist, also bedingte Wahrscheinlichkeiten P(A/B)=P(A und B)/P(B)
    http://de.wikipedia.org/wiki/Bedingt...scheinlichkeit

    Wir wissen, dass wir uns im k-ten Theater befinden, das n(k) Plätze hat, wir kennen aber unsere Platznummer nicht.
    Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass wir den i-ten Platz im j-ten Theater unter der Bedingung, dass wir uns im k-ten Theater befinden ist nun P(T=j,K=i / T=k)=0 für j \ne k und
    P(T=j,K=i / T=k) = w_i,k / P(T=k) = w_i,k / \sum_{r=1}^{n(k)} w_r,k
    falls j=k. Falls die Belegung der Plätze gleichwahrscheinlich ist, gilt sogar mit w_r,k=w_i,k für r=1,...,n(k):
    P(T=j,K=i / T=k) = w_i,k / \sum_{r=1}^{n(k)} w_i,k = w_i,k / (n(k) w_i,k) = 1/ n(k)

    Wir wissen, dass wir uns in einem Theater mit m Plätzen befinden, wir kennen aber unsere Platznummer nicht oder das Theater ist. Falls es nur ein Theater mit m Plätzen gibt, fällt das mit dem letzte Fall zusammen.
    Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass wir den i-ten Platz im j-ten Theater unter der Bedingung, dass wir uns in einem Theater mit m Plätzen befinden ist nun P(T=j,K=i / n(j)=m)=0 für n(j) \ne m und
    P(T=j,K=i / n(j)=m) = w_i,j / \sum_{r mit n(r)=m} P(T=r) = w_i,j / \sum_{r mit n(r)=m} \sum_{i=1}^{m} w_i,r,
    Bei Gleichverteilung gilt P(T=j,K=i / n(j)=m) = 1/ (m b) wobei b die Anzahl der Theater mit m Plätzen ist.
    Falls die Nummer des Theaters egal ist und uns nur die Wahrscheinlichkeit des i-ten Platzes interessiert, gilt P(K=i / n(\cdot)=m) = \sum_{r mit n(r)=m} w_i,r / \sum_{r mit n(r)=m} \sum_{i=1}^{m} w_i,r, bzw. P(K=i / n(\cdot)=m) = 1/ m bei Gleichverteilung.

    Wir wissen, dass unsere Platznummer i ist d.h. dass wir ist auf dem i-ten Platz befinden. Wir wissen aber nicht in welchen Theater wir uns befinden und kennen auch die Größe des Theaters nicht. Dies ist der Fall, der beim DDA auftritt.
    Nun gilt für die Wahrscheinlichkeit im j-ten Theater einen Platz zu haben.
    P(T=j / K=i) = w_i,j / \sum_{r=1}^{\infty} w_i,r = w_i,j / \sum_{r \in \N mit n(r)\ge i } w_i,r
    Falls alle w_i,j gleich sind gilt
    P(T=j / K=i) = 1 / a , falls das j-te Theater mindestens i Plätze hat, sonst ist P(T=j / K=i) = 0.
    Wobei a die Anzahl der Theater mit mindestens i Plätzen ist. Es gilt a>0, da wir sonst keinen i-ten Platz hätten.
    Nun gilt für die Wahrscheinlichkeit dafür, dass wir uns in einem Theater mit m Plätzen befinden.
    P(n(\cdot)=m / K=i) = \sum_{s \in \N mit n(s)=m } w_i,s / \sum_{r=1}^{\infty} w_i,r = \sum_{s \in \N mit n(s)=m } w_i,s / \sum_{r \in \N mit n(r)\ge i } w_i,r
    Falls alle w_i,j gleich sind (und m\ge i) gilt
    P( n(\cdot)=m / K=i) = b / a
    Wobei a die Anzahl der Theater mit mindestens i Plätzen ist und b wieder die Anzahl der Theater mit m Plätzen ist.



    Beispiel 1:
    Jetzt bringe ich erstmal ein konkretes Beispiel. Der Einfachkeit wegen gibt es nur 2 Theater, ein kleines mit 10 Plätzen und ein großes mit 1000000 Plätzen. Das große habe die Nummer j=1, das kleine die Nummer j=2. Außerdem soll die Wahrscheinlichkeit einen der 1000010 Plätze zu erhalten für alle Plätze gleich sein. Dann gilt
    w_i,1=1/1000010 für i=1 bis 1000000 und w_i,2=1/1000010 für i=1 bis 10. Alle anderen w_i,j sind gleich 0.
    Nun gilt für die Wahrscheinlichkeit im 1-ten (großen) Theater einen Platz zu haben:
    P(T=1) = \sum_{i=1}^{\infty} w_i,1 = \sum_{i=1}^{n(1)} w_i,1 = n(1) 1/1000010 = 100000/100001 = 0,99999
    Nun gilt für die Wahrscheinlichkeit im 2-ten (kleinen) Theater einen Platz zu haben:
    P(T=2) = \sum_{i=1}^{\infty} w_i,2 = \sum_{i=1}^{n(2)} w_i,2 = n(2) 1/1000010 = 1/100001 = 0,00001
    Durch Einsetzen wie eben ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit einen Platz mit der Nummer i zu haben:
    P(K=i) = 2/1000010 für die Plätze 1 bis 10 und
    P(K=i) = 1/1000010 für die Plätze 11 bis 1000000.
    Die Wahrscheinlichkeit sich in einem Theater mit m Plätzen zu befinden ist
    1/100001=0,00001 für m=10; 100000/100001=0,99999 für m=1000000 und 0 für andere m.

    Nun sollen Wahrscheinlichkeiten angegeben werden, unter der Voraussetzung, dass etwas bekannt ist, also bedingte Wahrscheinlichkeiten

    Wir wissen, dass wir uns im großen Theater mit 1000000 Plätzen befinden. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass wir den i-ten Platz haben ist 1/1000000. , für 1 \le i \le 1000000, sonst 0.
    Wir wissen, dass wir uns im kleinen Theater mit 10 Plätzen befinden. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass wir den i-ten Platz haben ist 1/10, für 1\le i \le 10, sonst 0.


    Wir wissen nun, dass unsere Platznummer i ist d.h. dass wir ist auf dem i-ten Platz befinden. Wir wissen aber nicht in welchem Theater wir uns befinden und kennen auch die Größe des Theaters nicht. Dies ist der Fall, der beim DDA auftritt.
    Nun gilt für die Wahrscheinlichkeit im kleinen Theater einen Platz zu haben.
    P(T=2 / K=i) = 1 / 2 = 0,5 , falls i \le 10 und 0 sonst
    Nun gilt für die Wahrscheinlichkeit im großen Theater einen Platz zu haben.
    P(T=1 / K=i) = 1 / 2 = 0,5 , falls i \le 10 und
    P(T=1 / K=i) = 1 , falls 10 < i \le 1000000 und 0 sonst.

    Beachte, dass für i\le 10 die Wahrscheinlichkeit sich im großen Theater von 0,99999 auf 0,5 verringert, während sich die Wahrscheinlichkeit im kleinen Theater zu befinden von 0,00001 auf 0,5 erhöht. Eine geringe Platznummer (\le 10) erhöht also tatsächlich im Beispiel die Wahrscheinlichkeit, einen Platz in einem kleinen Theater zu haben und verringert die Wahrscheinlichkeit, einen Platz in einem großen Theater zu haben. Dies geschieht allerdings hier nicht in dem Ausmaß, wie es das DDA suggeriert. Immerhin ist die Wahrscheinlichkeit einen der ersten 10 Plätze im großen Theater zu haben 10/1000000=1/100000=0,00001. Dies übersetzt sich aber nicht in eine geringe Wahrscheinlichkeit, im großen Theater zu sein, sie beträgt 0,5. Haben wir gar die Platznummer 11 (oder 17) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Platz im großen Theater ist 1. Und dies obwohl die Wahrscheinlichkeit einen der ersten 20 Plätze des großen Theaters zu haben nur 0,00002 beträgt.
    Man sieht in diesem Beispiel schön, wie sich die geringe Wahrscheinlichkeit einen von sehr vielen Plätzen zu bekommen mit der hohen Wahrscheinlichkeit, das der Platz zu der großen Gruppe von Plätzen gehört, wieder aufhebt. Auch sieht man, dass die blaugefärbten Wahrscheinlichkeiten nicht von der Größe des großen Theaters abhängen, ob 11, 100, 10000, 1000000 oder 1e42 Plätze, die Wahrscheinlichkeit ist immer 0,5 oder 1. Die, bei sehr vielen Plätzen klein werdenden, rotgefärbten Wahrscheinlichkeiten, welche für die Fragestellung des DDA belanglos sind, führen hier in die Irre, von einer Gleichheit dieser Wahrscheinlichkeiten kann keine Rede sein. Trotzdem werden sie bei Diskussionen des DDAs leider immer wieder angeführt.

    Fazit: Aus der Wahrscheinlichkeit mit der ein Platz, oder eine Platzspanne, bei unbekannte Platznummer und bekannter Theatergröße, auftritt, kann man nicht auf die Wahrscheinlichkeit schließen, mit der man bei bekannter Platznummer und unbekannter Theatergröße einen Platz in einem so großen Theater hat. Wie der Rechengang zeigt, hängt diese Wahrscheinlichkeit (wenn alle Plätze gleichwahrscheinlich sind) nur von der Häufigkeit der Größen der Theater ab, in denen sich ein solcher Platz befindet. Die Platznummer spielt dagegen keine Rolle. Sie liefert uns nur eine Mindestgröße für das Theater.
    Geändert von UMa (07.02.2013 um 12:12 Uhr)

  3. #3
    Registriert seit
    04.01.2006
    Beiträge
    724

    Standard

    2. Wahrscheinlichkeitstheoretisch korrekte Formulierung des DDA und vermeidbare Trugschlüsse (Fortsetzung)

    Hier hätte jetzt eine Matrix der w_i,j dargestellt werden sollen. Leider funktioniert die Latexfunktion nicht mehr. Den Theatern j entsprechen die Spalten (rot). Den Platznummern i die Zeilen (blau). Platz 1 im ersten Theater wäre rechts unten.

    Trotzdem wurde versucht, aus den roten Aussagen die blauen zu erhalten. Z.B.
    http://www.final-frontier.ch/dem-doo...ion-entfliehen
    Die Umstellung der Ungleichung verschleiert die Umstellung der Variablen.
    Zitat: "Also: mit p=0.9 gilt: Z > 0.1*N. Also auch: 10*Z > N, in Worten: N ist kleiner als 10*Z. "
    Für N fest, wenn Z die Werte 1,..., N annehmen kann, gilt mit p=0,9 : Z > 0,1 N.
    Für N fest, wenn Z die Werte 1,..., N annehmen kann, gilt mit p=0,9 : N < 10 Z.
    Für Z fest, wenn N die Werte Z, Z+1,..., annehmen kann, gilt mit p=0,9 : Z > 0,1 N.
    Für Z fest, wenn N die Werte Z, Z+1,..., annehmen kann, gilt mit p=0,9 : N < 10 Z.
    Zwischen den beiden roten Aussagen kann natürlich mit Ungleichungsumstellung gewechselt werden. Zwischen den beiden blauen auch. Aber aus einer roten Aussage kann man nicht eine der blauen Aussagen folgern (auch nicht umgekehrt), da sich die Bedeutung von N und Z unterscheidet. Bei den roten Aussagen ist Z die Zufallsvariable. Dagegen ist bei den blauen Aussagen N die Zufallsvariable.

    In der deutschsprachigen Wikipedia dagegen wurde die Gültigkeit des DDA einfach angenommen.
    Wikipedia Zitat: http://de.wikipedia.org/wiki/Doomsday-Argument
    (1)"Angenommen, dass wir uns mit gleicher Wahrscheinlichkeit (mit den anderen N Menschen) an jeder beliebigen Position n finden, können wir folgern, dass unsere Position f einer diskreten Gleichverteilung auf dem Intervall (0; 1] folgt, bevor wir unsere absolute Position erfahren. "
    Das sind die allgemeinen Voraussetzungen des DDA. Daraus folgen die roten Wahrscheinlichkeiten.

    (2)"Nehmen wir darüber hinaus an, dass unsere Position f auf (0; 1] gleichverteilt ist, auch wenn wir unsere absolute Position n erfahren."
    Diese Annahme ist durch nichts gerechtfertigt(*). Sie impliziert mit der (1) die Gleichheit der roten und blauen Wahrscheinlichkeiten. Doch bereits (2) impliziert das DDA, Annahme (1) wird durch (2) überflüssig. Sollten (1) und (2) für alle n gelten, folgt daraus eine ganz spezielle Verteilung der Häufigkeit/Wahrscheinlichkeit von N (siehe Abschnitt 3). Für andere Verteilungen ist diese Annahme (2) i.A. falsch (oder Widersprüchlich zu (1)). Dies sehen wir auch im folgenden Beispiel 2.

    Dagegen ist in der englischsprachischen Wikipedia der Trugschluss des Schließens von der roten Aussage (Copernican principle)=(1) auf die blaue Aussage (impliziert DDA)=(2) direkt gemacht.
    http://en.wikipedia.org/wiki/Doomsday_argument
    Zitat:
    "... so humans assume that our fractional position f = n/N is uniformly distributed on the interval [0, 1] prior to learning our absolute position.
    f is uniformly distributed on (0, 1] even after learning of the absolute position n."


    (*) Wir könnten auch gleich die schwächere Annahme hinschreiben
    "Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Gesamtzahl der Menschen N<20n ist, ist 0,95."
    Dies ist aber bereits die Aussage des DDA.

    Beispiel 2: Betrachten wir ein Bevölkerungsdiagramm in dem wie in einer Bevölkerungspyramide die Häufigkeit ein ein bestimmtes Alter zu erreichen waagerecht und das Alter senkrecht aufgetragen wird. (Ich wollte hier ein Bild verlinken, habe aber kein geeigentes gefunden. Ich hoffe ihr könnt es auch vorstellen.)
    Darin wird die statistisch ermittelte Häufigkeit aufgetragen, mit der, bei konstant angenommener Sterblichkeit (i.A. nur von Alter und Geschlecht abhängig betrachtet) ein Mensch ein bestimmtes Alter erreicht. Nehmen wir an, ein Mensch kennt diese Statistik nicht, möchte aber mittels seines Alters und des DDA eine Wahrscheinlichkeitsaussage über seine Lebenserwartung machen. Dabei nehmen wir an, dass die Wahrscheinlichkeit für jedes Alter gleich sei (kopernikanisches Prinzip). Daraus folgt z.B. dass ein Mensch (der das DDA auf dieses Problem anwendet), der 80 Jahre alt wird, dieses DDA mit 50% vor seinem 40. Geburtstag tut und mit 50% Wahrscheinlichkeit danach, mit 2.5% Wahrscheinlichkeit vor seinem 2. Geburtstag(**) und mit 97,5% Wahrscheinlichkeit vor seinem 78. Geburtstag usw. Dies ist eine rote Aussage, wir können für einen 'Beispielmenschen' (mit bekannter Lebensdauer von z.B. 80 Jahren) einen roten senkrechten Strich, er geht von seiner Geburt hinauf bis zu seinem Tod, in das Diagramm zeichnen. Nun kennt dieser Mensch aber sein Alter und nicht seine Lebensdauer. Die Wahrscheinlichkeit ein bestimmtes Alter zu erreichen, lässt sich aber (bei bekannter Statistik) direkt aus dem Bevölkerungsdiagramm ablesen. Wir ziehen einen waagerechten blauen Strich in Höhe des bekannten Alters. Dabei sei angenommen, dass das Alter von links nach rechts ansteigt. Nun können wir aus dem Verhältnis der Länge des blauen Strichs rechts vom roten Strich zur Gesamtlänge des blauen Strichs die Wahrscheinlichkeit dafür ablesen, von jetzigen Alter ausgehend mindestens 80 Jahre (oder eben das Alter, dass dem roten Strich entspricht, sollte dieser an einer andern Stelle stehen) alt zu werden. Wir können das Ganze auch noch für 2,5% oder 97,5% machen. Letztlich kommen wir zum Schluss: senkrecht 2,5%, 50% oder 97,5%(rot) bedeutet eben nicht waagerecht 2,5% 50% 97,5% (blau).
    Oder anders ausgedrückt: Die Wahrscheinlichkeit von 95% für bekanntes N und unbekanntes G (rot) zu den mittleren 95% zu gehören, führt nicht zu einer Wahrscheinlichkeit von 95% für bekanntes G und unbekanntes N (blau) zu den mittleren 95% zu gehören. Dies wird aber leider in Diskussionen um das DDA oft stillschweigend vorausgesetzt.

    (**) Dass das kopernikanisches Prinzip in der Praxis hier offensichtlich nicht erfüllt ist, da Säuglinge oder Kleinkinder das DDA höchstwahrscheinlich nicht (oder zumindest so oft!) anwenden, soll hier nicht weiter stören.

    Nebenbei bemerkt, ist die Verwendung der eigenen Geburtsnummer (Z, n, G je nach Kontext) an sich bereits nicht korrekt. Man müsste stattdessen die Gesamtzahl der Geburten bis zum heutigen Tag nehmen. Diese stellt eine größere Mindestanzahl für die Gesamtanzahl aller Menschen dar.
    Geändert von UMa (07.02.2013 um 12:01 Uhr)

  4. #4
    Registriert seit
    04.01.2006
    Beiträge
    724

    Standard

    3. DDA und Bayessche Statistik

    Ich gehe ich hier nur kurz auf die Aussage in dem englischsprachischen Wikipedia-Artikel ein.
    http://en.wikipedia.org/wiki/Doomsda...ent#Variations
    Zitat:
    "The use of a vague prior distribution seems well-motivated as it assumes as little knowledge as possible about N, given that any particular function must be chosen. It is equivalent to the assumption that the probability density of one's fractional position remains uniformly distributed even after learning of one's absolute position (n)."
    Der letzte Satz ist Aussage (2), aus diesem folgen die Behauptungen des DDA sofort. Letztlich liefert genau dieser Prior (und nur dieser) zusammen mit Aussage (1) Aussage (2). Bei einem anderen Prior würde eine andere Wahrscheinlichkeitsverteilung herauskommen.
    Die relative Wahrscheinlichkeitsverteilung für N \ge n wurde aber durch die Kenntnis von n nicht beeinflusst sondern entspricht der des Priors. Damit sind die zukünftigen Wahrscheinlichkeiten ausschließlich abhängig vom Prior. Sinnvollere Anwendungen der Bayesschen Statistik sollten aber zu Aussagen kommen, die möglichst wenig vom Prior und mehr von den Beobachtungen abhängen. Im Prior steckt nur unser Vorurteil über die Wahrscheinlichkeitsverteilung von N.

    Fazit: Es ist also auch bei der Bayesschen Statistik nicht so, dass aus der Geburtennummer auf die Gesamtzahl der Menschen geschlossen werden kann. Vielmehr steckt die gesamte Information (über zukünftige Aussterbewahrscheinlichkeiten) bereits im Prior. Die Geburtsanzahl liefert uns nur eine Mindestgröße für die Gesamtzahl der Menschen.


    4. Vorhersage des DDA für die Abhängigkeit der Sterberate von der Bevölkerungsgröße und Überlegungen dazu.

    Über die Aussterbewahrscheinlichkeit (pro Zeit) in Abhängigkeit von der Bevölkerungsgröße vergleichen wir die Vorhersage des DDA mit realistischen Annahmen. Eine große Bevölkerungsgröße ist im DDA, angewendet auf die Geburtsnummer, eine Bedrohung, weil die Geburten bald 'aufgebraucht' sind, in der Realität ist das keine Bedrohung, eher eine sehr, sehr kleine Bevölkerungszahl. Das DDA ignoriert aber die Information über die gegenwärtige Geburtenrate oder Bevölkerungsgröße, die wir haben.

    Beim gültigen DDA, angewendet auf die Geburtsnummer, d.h. (2) aus dem Wikipediazitat von Abschnitt (2) gilt, ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Geburtsnummer die letzte ist, nur Abhängig von der Geburtsnummer selbst, also der Anzahl der bisher geborenen Menschen. Sie ist aber unabhängig von der pro Zeiteinheit geborenen Menschen. Deswegen die Wahrscheinlichkeit innerhalb eines bestimmten Zeitraumes auszusterben (=letzte Geburt), proportional zur Anzahl der pro Zeiteinheit geborenen Menschen. Dies ist nicht nur unplausibel sondern widerspricht dem Wissen um die Fortpflanzung der Menschen.

    Ein extremes Beispiel: Bei nur einer Geburt in hundert Jahren würde das DDA eine um den Faktor eine Milliarde geringere Wahrscheinlichkeit für das Aussterben der Menschheit innerhalb eines bestimmten Zeitraumes vorhersagen, als bei einer Milliarde Geburten in hundert Jahren. Im Gegensatz dazu ist die Wahrscheinlichkeit des Aussterbens der Menschheit bei einer Geburt in hundert Jahren aufgrund von Zusatzinformationen über die Fortpflanzung der Menschen mit nahezu eins anzusetzen, alles andere wäre ein Wunder. Bei einer Milliarde Geburten in hundert Jahren dürfte die Wahrscheinlichkeit deutlich geringer sein, auf keinen Fall aber eine Milliarde Mal größer.

    Damit ist das DDA, angewendet auf die Geburtsnummer, falsch. Insbesondere (2) aus dem Wikipediazitat von Abschnitt (2) ist widersprüchlich damit, dass mit nur noch einem Menschen die Menschheit ausgestorben ist.

    Dies hat auch praktische Konsequenzen. Beispielsweise könnte man wegen des DDA zum Schutz gefährdeter Tierarten auf die Idee kommen deren Geburtenzahlen zu minimieren, damit die verblieben Geburten nicht so schnell aufgebraucht werden. Nach dem DDA sollte das die Aussterbewahrscheinlichkeit (pro Zeiteinheit) stark senken. In Wirklichkeit wird die Aussterbewahrscheinlichkeit (pro Zeiteinheit) stark erhöht.

    Ähnlich ist es auch, wenn, wie in Beispiel 2, ein Mensch seine verbleibende Lebenserwartung ermitteln will und dazu nur sein Alter heranzieht. Er könnte 1. das DDA verwenden. Besser wäre es wenn er echte Informationen über die Sterbewahrscheinlichkeit nach dem Alter aus einer Bevölkerungsstatistik hat. Aber auch dann kann er falsche Schlußfolgerungen ziehen, wenn er andere Beobachtungen ignoriert. In Gefahrensituationen z.B. während eines Verkehrsunfalls kann er sich nicht darauf verlassen, dass er ja seinem Alter gemäß noch so und so lange zu leben hätte. Das Alter ist hier, ebenso wie die Geburtsnummer bei der Menschheit nicht die beste Information, besonders dann, wenn andere zur Verfügung stehen.

    Fazit: Man darf vorhandene Informationen nicht ignorieren.


    5. Voraussetzungen und Verallgemeinerungen

    Welche Beobachtungen gibt es?

    Beispielsweise wäre es eine Beobachtung, wenn man der einzige Mensch auf der Erde wäre. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass man der letzte Mensch ist auch bei hoher Geburtsnummer sehr hoch, siehe letzten Abschnitt. Damit ist aber auch die Beobachtung nicht der einzige Mensch zu sein wichtig, da damit die Wahrscheinlichkeit eines baldigen Endes der Menschheit geringer ist als im ersten Fall. Und damit auch geringer, als im Fall, dass man darüber nichts weiß. So gibt es unzählige Beobachtungen, die die Wahrscheinlichkeit gegenüber dem Fall, dass man nichts, außer seiner Geburtsnummer weiß, verändern. Beim DDA werden solche Beobachtungen ignoriert.

    Man darf vorhandene Informationen nicht ignorieren.

    Der DDA-Anwender darf nicht die Antwort bereits kennen oder zu kennen glauben. Beispielsweise könnte die Theatergröße auf der Karte stehen (z.B. Platz 7 von 45300) oder im Falle der Gesamtzahl der Menschen könnten inzwischen so viele außerirdische Zivilisationen bekannt sein, dass eine Statistik über die Lebenserwartung von Zivilisationen erstellt werden kann, so wie heute über die Lebenserwartung von Menschen. Damit könnte man die Wahrscheinlichkeit ohne DDA ausrechnen, und man brauchte das DDA nicht mehr. Damit ist man als DDA, der diese Information noch nicht hat, weil er zu einem früheren Zeitpunkt lebt, nicht mehr gleichverteilt unter allen Menschen.

    Macht man also an sich oder seiner Situation Beobachtungen kann man, wenn überhaupt, das DDA nur auf diejenigen anwenden, die diese Beobachtungen auch machen. Möchte man sie auf andere, auf die diese Beobachtungen nicht zutreffen, verallgemeinern, muss man zunächst nachweisen (oder annehmen und hoffen, dass es stimmt), dass diese Beobachtungen keinen Einfluss auf die Aussage haben. Dies ist jedoch im allgemeinen der Fall, wodurch sich die Menge, über die man Aussagen treffen kann, stark einschränkt. Im Prinzip ist die Kenntnis der eigenen Geburtsnummer bereits so einen Beobachtung. Dass das dort alles andere als trivial ist, haben wir in den Abschnitt 2 gesehen.


    6. Zusammenfassung

    Ungenügende Unterscheidung zwischen den roten und blauen Aussagen, blaue folgen i.A. nicht aus den roten Aussagen. Die Kenntnis der Geburtsnummer wird i.A. die Verteilung auf die Prozentbereiche zunichte machen.

    In der Bayesschen Statistik gilt das DDA nur bei spezieller Endverteilung. Diese müsste als Prior genommen werden, da keine Information über diese Verteilung in der Geburtsnummer steckt. D.h. die Wahrscheinlichkeit zukünftiger Geburtenzahlen hängt einzig und allen vom Prior ab.

    Weitere Informationen außer Geburtsnummer sind vorhanden, sollten nicht vernachlässigt werden.

    Verallgemeinerungen nur, wenn Verteilung von der speziellen Gruppe der man angehört und der allgemeinen Gruppe auf die Prozentanteile gleich ist.


    Also nochmal zum Schluss.

    Annahmen für das DDA:
    a) Gleichverteilung, Kopernikanisches Prinzip
    b) Aussterbewahrscheinlichkeit entspricht der 'vague prior' Annahme aus der Bayesschen Statistik (Abschnitt 3) (= Geburtsnummer ändert die Prozentverteilung nicht)
    c) keine weiteren Beobachtungen als Geburtsnummer, oder die Beobachtungen ändern die Prozentverteilung nicht

    Wären die Annahmen a), b) und c) erfüllt, ist das DDA richtig.

    In Diskussionen um das DDA behaupten 'DDA-Anhänger' oft nur a) anzunehmen und das damit das DDA wegen Statistik schon folgt. Dies ist falsch siehe Abschnitt 2.
    Aus a) folgen nur die roten Aussagen. Wenn jemand das DDA oder dessen Aussagen für falsch hält, bedeutet das nicht, das er zwangsläufig Annahme a) für falsch hält.
    Annahme b) ist notwendig um die blauen Aussagen zu erhalten. Wenn aber jemand in einer Diskussion um die Möglichkeit der zukünftigen Besiedlung der Galaxis z.B. annimmt, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, bei mindesten 70 Billionen(*) Kolonisten, 0,5 ist, nimmt er explizit an, dass b) und damit das DDA falsch ist. Denn das DDA schreibt für N \ge 70 Billionen Menschen explizit eine Wahrscheinlichkeit von exakt 0,001 vor. Ist die Wahrscheinlichkeit anders, ist b) und damit das DDA falsch. Eine andere Wahrscheinlichkeitsverteilung in b), als die, die das DDA vorschreibt ist aber ebenso plausibel. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens 70 Billionen Menschen ist unter dieser Annahme eben 0,5 und nicht 0,001. Das ist dann kein Widerspruch zum DDA, da das DDA unter dieser Annahme falsch ist. (Sollte jemand wieder bei solchen Diskussionen behaupten, dass das sehr unwahrscheinlich wegen des DDAs ist, bitte diese Behauptung ignorieren und hier her verlinken und dann weiter diskutieren.)
    Außerdem dürfen weiter Beobachtungen c) nicht noch die Wahrscheinlichkeit verändern.

    Ich selbst halte b) und c) und damit auch die Folgerungen aus dem DDA für unplausibel und höchstwahrscheinlich falsch. Ob a) richtig ist weiß ich nicht, jedenfalls ist das nicht ausreichend.

    (*) Bisher sind ca. 70 Milliarden Menschen geboren.

  5. #5
    Registriert seit
    12.05.2008
    Beiträge
    1.241

    Standard

    Hallo UMa,

    ich verstehe nicht, was dein Beispiel 1 aus #2 mit dem DDA zu tun hat.

    Von den 1,000,000 Besuchern des Theater 1 werden 950,000, nämlich die von Nr. 25,000 bis Nr. 975,000, bei Anwendung des DDA auf eine Spannbreite für die Größe des Theaters schließen, in der die 1,000,000 liegt.

    Bei den 10 Besuchern des Theaters 2 gilt das analog, obwohl die Zahlen hier etwas klein sind, um auf ganze Zahlen zu kommen.

    Die 10 ersten im Theater 1 gehören zu den 25,000, die die Größe ihres Theaters zu klein einschätzen.

    Wo liegt in dem Beispiel ein Widerspruch zum DDA?

    Grüße
    SK
    "There must be some way out of here," said the joker to the thief.

  6. #6
    Registriert seit
    12.05.2008
    Beiträge
    1.241

    Standard

    Hallo UMa,

    Zitat Zitat von UMa Beitrag anzeigen
    Dabei handelt es sich um eine Argumentation, bei der mit Hilfe statistischer oder wahrscheinlichkeitstheoretischer Aussagen aus einer einzigen Beobachtung auf die Gesamtheit aller Beobachter geschlossen werden soll. Beispielsweise soll aus der Platznummer auf die Größe eines Theaters, aus der vergangenen Zeit der Menschheit auf ihre künftige Existenzdauer, aus der (eigenen) Geburtsnummer auf die Gesamtzahl aller noch geboren werdenden Menschen oder daraus, dass wir in keinem Habitat leben, darauf, dass Habitat bildende Superzivilisationen selten seien, geschlossen werden.
    fett von mir, das sagt das DDA nicht.

    ich fasse das DDA nochmal kurz zusammen:

    Wenn in einer Menge die Elemente durchnummeriert sind, kann ich sie farblich markieren:
    die ersten 2.5% sind grün, die nächsten 95% sind gelb, und die restlichen 2.5% rot.

    Jetzt ziehe ich ein Element und soll raten, welche Farbe es hat; da sage ich doch gelb, und werde zu 95% rechthaben.


    So weit, so gut, das dürfte unstrittig sein.


    Jetzt drehe ich das Ticket um, und entdecke eine Nummerierung:
    Ich bin Nr. 152645.

    Das ändert natürlich nichts an meiner Annahme, daß ich mit 95%iger Wahrscheinlichkeit zu den Gelben gehöre.

    Daraus folgt dann, daß Nr. 152645 gelb ist (mit einer Wahrscheinlichkeit von 95%), und daraus kann ich auf die Gesamtzahl der Elemente dieser Menge schließen (mit einer Wahrscheinlichkeit von 95%, rechtzuhaben).

    Das ist alles, und alles andere sind Strohmänner.
    Mehr behauptet das DDA nicht.

    Grüße
    SK
    "There must be some way out of here," said the joker to the thief.

  7. #7
    Registriert seit
    12.05.2008
    Beiträge
    1.241

    Standard

    Zitat Zitat von UMa Beitrag anzeigen
    Nebenbei bemerkt, ist die Verwendung der eigenen Geburtsnummer (Z, n, G je nach Kontext) an sich bereits nicht korrekt. Man müsste stattdessen die Gesamtzahl der Geburten bis zum heutigen Tag nehmen. Diese stellt eine größere Mindestanzahl für die Gesamtanzahl aller Menschen dar.
    Ja stimmt, meine Geburtsnummer dürfte den roten Bereich bereits verlassen haben, es geht im Grunde um die Nr. des letztgeborenen Menschen, aber das habe ich schon in älteren Diskussionen bemerkt.

    Grüße
    SK
    "There must be some way out of here," said the joker to the thief.

  8. #8
    Registriert seit
    11.03.2006
    Beiträge
    6.507

    Standard

    Hallo SK,

    Zitat Zitat von Schmidts Katze Beitrag anzeigen
    fett von mir, das sagt das DDA nicht.
    Ich laß mich jetzt mal nicht darauf ein, was das DDA sagt und was nicht. Tatsächlich wird es aber, zumindest von Bynaus, genau so angewandt. Nur ein Beispiel: http://www.astronews.com/forum/showt...4001#post34001

    Herzliche Grüße

    MAC

  9. #9
    Registriert seit
    12.05.2008
    Beiträge
    1.241

    Standard

    Hallo mac,

    ich gehe davon aus, daß Bynaus sich noch äussern wird.

    Ich habe mein Verständniss des DDA in den Posts oben beschrieben, und ich versuche, es möglichst einfach zu halten, weil es meiner Meinung nach auch sehr einfach ist:

    95% Prozent der Elemente einer durchnummerierten Menge gehören zu den mittleren 95% der Elemente dieser Menge.

    Grüße
    SK
    "There must be some way out of here," said the joker to the thief.

  10. #10
    Registriert seit
    15.11.2012
    Beiträge
    153

    Standard

    Anzeige
    Zitat Zitat von Schmidts Katze Beitrag anzeigen
    Wenn in einer Menge die Elemente durchnummeriert sind, kann ich sie farblich markieren:
    die ersten 2.5% sind grün, die nächsten 95% sind gelb, und die restlichen 2.5% rot.
    Genauso gut könntest Du die die ersten 10% rot, die mittleren 80% türkis und die letzten 10% weiß markieren, oder ersten 10% lila, die nächsten 89% blau und das letzte Prozent orange, oder die ersten 50% schwarz und die zweiten 50% braun, oder einfach alle hellrosa.

    Zitat Zitat von Schmidts Katze
    Daraus folgt dann, daß Nr. 152645 gelb ist (mit einer Wahrscheinlichkeit von 95%)
    Der Wert dieser Aussage ist nicht höher als der, dass das Element überhaupt zur Menge der Elemente gehört, und das ist eine Nullaussage.

    Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist ohne die Erfahrungswissenschaft ein stumpfes Schwert.

Ähnliche Themen

  1. Doomsday-Argument auf dem Prüfstand
    Von Nathan5111 im Forum Über den Tellerrand
    Antworten: 137
    Letzter Beitrag: 07.02.2013, 11:53
  2. Doomsday-Argument versus Unendlichkeit
    Von Lina-Inverse im Forum Über den Tellerrand
    Antworten: 11
    Letzter Beitrag: 14.07.2011, 08:29
  3. Das Doomsday-Argument
    Von Bynaus im Forum Smalltalk
    Antworten: 303
    Letzter Beitrag: 20.04.2011, 07:19
  4. Fundstück: Doomsday-Berechnung für das Ende des Universums
    Von jonas im Forum Forschung allgemein
    Antworten: 15
    Letzter Beitrag: 21.10.2010, 06:07
  5. Widerlegung der Speziellen Relativitätstheorie
    Von aether im Forum Gegen den Mainstream
    Antworten: 91
    Letzter Beitrag: 11.05.2006, 01:13

Stichworte

Berechtigungen

  • Neue Themen erstellen: Nein
  • Themen beantworten: Nein
  • Anhänge hochladen: Nein
  • Beiträge bearbeiten: Nein
  •  
astronews.com 
Nachrichten Forschung | Raumfahrt | Sonnensystem | Teleskope | Amateurastronomie
Übersicht | Alle Schlagzeilen des Monats | Missionen | Archiv
Weitere Angebote Frag astronews.com | Forum | Bild des Tages | Newsletter
Kalender Sternenhimmel | Startrampe | Fernsehsendungen | Veranstaltungen
Nachschlagen AstroGlossar | AstroLinks
Info RSS-Feeds | Soziale Netzwerke | Flattr & freiwilliges Bezahlen | Werbung | Kontakt | Suche
Impressum | Nutzungsbedingungen | Datenschutzerklärung
Copyright Stefan Deiters und/oder Lieferanten 1999-2013. Alle Rechte vorbehalten.  W3C