Keplertrajektorien

[TomS]

Kennt jemand ein Programm, eine SW-Bibliothek oder einen Algorithmus, in dem die Zeitabhängigkeit der Keplertrajektorien implementiert ist? Die Parameterdarstellung als Ellipse mit r(φ) ist ja hinreichend bekannt; ich suche aber die Zeitabhängigkeit r(t) und φ(t), wobei die Anfangsbedingungen sowie die Parameter wie große Halbachse und Exzentrizität vorgegeben werden sollen.

[Bernhard]

Hallo Tom,

soviel ich weiß können diese Funktionen numerisch nur iterativ berechnet werden. Für die konkreten Formeln würde ich mal hier auf S. 67 nachsehen, allerdings ohne Garantie.
Gruß

[hardy]

Hallo Tom,

die Zeitabhängigkeit der Keplertrajektorien ist im Band 1 (Mechanik), §15 (Das Kepler-Problem) des "Lehrbuchs der Theoretischen Physik" von Landau/Lifschitz hergeleitet.
Daraus stammen die folgenden Formeln:

a= grosse Halbachse der Ellipse
e=numerische Exzentrizität
u=Parameter (ändert sich bei einem vollen Umlauf auf der Ellipse von 0 bis 2*pi)
m=Masse des Planeten
M=Masse der Sonne
G=Gravitationskonstante

Parameter-Darstellungen:

Polarkoordinaten:

r(u) = a*(1-e*cos(u))

phi(u) = (muss ich noch ausrechnen )

t(u) = (u -e*sin(u))*sqrt(m*a^3/(G*M))

(zu t=0 befindet sich der Planet im Perihel)

kartesische Koordinaten:

x(u) = a*( cos(u)-e)

y(u) = a*sqrt(1-e^2)* sin(u)

Mit Mathcad z.B. kann man die Formeln schnell auswerten und Grafiken zeichnen.

Gruss
hardy

[hardy]

Hallo Tom,

den Polarwinkel phi(u) berechnet man am Einfachsten aus der Bahngleichung:

r(u) = p/(1+e*cos(phi(u))

mit p = a*(1-e^2) als Parameter der Ellipse.

Gruss
hardy

[TomS]

Danke, den Landau hab' ich sogar im Regal stehen; ich dachte, da steht auch nur die Parameterdarstellung für die Ellipsengleichung drin.

Egal, mir ging's um die Auflösung der Gleichung t = t(u) nach u(t); OK, also Mathcad o.ä. und alles wird gut

[hardy]

Hallo Tom,

die Zeitabhängigkeit der Keplertrajektorien ist im Band 1 (Mechanik), §15 (Das Kepler-Problem) des "Lehrbuchs der Theoretischen Physik" von Landau/Lifschitz hergeleitet.
Daraus stammen die folgenden Formeln:

a= grosse Halbachse der Ellipse
e=numerische Exzentrizität
u=Parameter (ändert sich bei einem vollen Umlauf auf der Ellipse von 0 bis 2*pi)
m=Masse des Planeten
M=Masse der Sonne
G=Gravitationskonstante

Parameter-Darstellungen:

Polarkoordinaten:

r(u) = a*(1-e*cos(u))

phi(u) = (muss ich noch ausrechnen )

t(u) = (u -e*sin(u))*sqrt(m*a^3/(G*M))

(zu t=0 befindet sich der Planet im Perihel)

kartesische Koordinaten:

x(u) = a*( cos(u)-e)

y(u) = a*sqrt(1-e^2)* sin(u)

Mit Mathcad z.B. kann man die Formeln schnell auswerten und Grafiken zeichnen.

Gruss
hardy

Hallo Tom,

ich habe mich bei t(u) leider verschrieben. Es muss richtig heissen:

t(u) = (u -e*sin(u))*sqrt(a^3/(G*M))

Mit Hilfe der Umlaufzeit T des Planeten kann t(u) wie folgt geschrieben werden:

t(u) = (u -e*sin(u))*T/(2*pi)

Gruss
hardy

[Bernhard]

t(u) = (u -e*sin(u))*T/(2*pi)

Die in der Literatur auch als Kepler-Gleichung (Wikipedia) bezeichnet wird...

[TomS]

Danke nochmal; nach dem Hinweis auf den Landau war alles klar. Die numerische Lösung ist nicht wirklich problematisch.