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Thema: Keplertrajektorien

  1. #1
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    Standard Keplertrajektorien

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    Kennt jemand ein Programm, eine SW-Bibliothek oder einen Algorithmus, in dem die Zeitabhängigkeit der Keplertrajektorien implementiert ist? Die Parameterdarstellung als Ellipse mit r(φ) ist ja hinreichend bekannt; ich suche aber die Zeitabhängigkeit r(t) und φ(t), wobei die Anfangsbedingungen sowie die Parameter wie große Halbachse und Exzentrizität vorgegeben werden sollen.
    Gruß
    Tom

    «while I subscribe to the "Many Worlds" theory which posits the existence of an infinite number of Toms in an infinite number of universes, I assure you that in none of them am I dancing»

  2. #2
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    Hallo Tom,

    soviel ich weiß können diese Funktionen numerisch nur iterativ berechnet werden. Für die konkreten Formeln würde ich mal hier auf S. 67 nachsehen, allerdings ohne Garantie.
    Gruß

  3. #3
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    Hallo Tom,

    die Zeitabhängigkeit der Keplertrajektorien ist im Band 1 (Mechanik), §15 (Das Kepler-Problem) des "Lehrbuchs der Theoretischen Physik" von Landau/Lifschitz hergeleitet.
    Daraus stammen die folgenden Formeln:

    a= grosse Halbachse der Ellipse
    e=numerische Exzentrizität
    u=Parameter (ändert sich bei einem vollen Umlauf auf der Ellipse von 0 bis 2*pi)
    m=Masse des Planeten
    M=Masse der Sonne
    G=Gravitationskonstante

    Parameter-Darstellungen:

    Polarkoordinaten:

    r(u) = a*(1-e*cos(u))

    phi(u) = (muss ich noch ausrechnen )

    t(u) = (u -e*sin(u))*sqrt(m*a^3/(G*M))

    (zu t=0 befindet sich der Planet im Perihel)

    kartesische Koordinaten:

    x(u) = a*( cos(u)-e)

    y(u) = a*sqrt(1-e^2)* sin(u)

    Mit Mathcad z.B. kann man die Formeln schnell auswerten und Grafiken zeichnen.

    Gruss
    hardy
    Geändert von hardy (13.09.2012 um 19:29 Uhr)

  4. #4
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    Hallo Tom,

    den Polarwinkel phi(u) berechnet man am Einfachsten aus der Bahngleichung:

    r(u) = p/(1+e*cos(phi(u))

    mit p = a*(1-e^2) als Parameter der Ellipse.

    Gruss
    hardy

  5. #5
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    Danke, den Landau hab' ich sogar im Regal stehen; ich dachte, da steht auch nur die Parameterdarstellung für die Ellipsengleichung drin.

    Egal, mir ging's um die Auflösung der Gleichung t = t(u) nach u(t); OK, also Mathcad o.ä. und alles wird gut
    Gruß
    Tom

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  6. #6
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    Zitat Zitat von hardy Beitrag anzeigen
    Hallo Tom,

    die Zeitabhängigkeit der Keplertrajektorien ist im Band 1 (Mechanik), §15 (Das Kepler-Problem) des "Lehrbuchs der Theoretischen Physik" von Landau/Lifschitz hergeleitet.
    Daraus stammen die folgenden Formeln:

    a= grosse Halbachse der Ellipse
    e=numerische Exzentrizität
    u=Parameter (ändert sich bei einem vollen Umlauf auf der Ellipse von 0 bis 2*pi)
    m=Masse des Planeten
    M=Masse der Sonne
    G=Gravitationskonstante

    Parameter-Darstellungen:

    Polarkoordinaten:

    r(u) = a*(1-e*cos(u))

    phi(u) = (muss ich noch ausrechnen )

    t(u) = (u -e*sin(u))*sqrt(m*a^3/(G*M))

    (zu t=0 befindet sich der Planet im Perihel)

    kartesische Koordinaten:

    x(u) = a*( cos(u)-e)

    y(u) = a*sqrt(1-e^2)* sin(u)

    Mit Mathcad z.B. kann man die Formeln schnell auswerten und Grafiken zeichnen.

    Gruss
    hardy
    Hallo Tom,

    ich habe mich bei t(u) leider verschrieben. Es muss richtig heissen:

    t(u) = (u -e*sin(u))*sqrt(a^3/(G*M))

    Mit Hilfe der Umlaufzeit T des Planeten kann t(u) wie folgt geschrieben werden:

    t(u) = (u -e*sin(u))*T/(2*pi)

    Gruss
    hardy

  7. #7
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    Zitat Zitat von hardy Beitrag anzeigen
    t(u) = (u -e*sin(u))*T/(2*pi)
    Die in der Literatur auch als Kepler-Gleichung (Wikipedia) bezeichnet wird...

  8. #8
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    Danke nochmal; nach dem Hinweis auf den Landau war alles klar. Die numerische Lösung ist nicht wirklich problematisch.
    Gruß
    Tom

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