Rätsel zum Wochenende:
1. Ein Radfahrer fährt mit 20 km/h auf einer nassen Straße. Sein Hinterrad schleudert hinter ihm Wassertropfen in die Luft. Welche Höhe können die Tropfen maximal erreichen?
2. Welchen Winkel mit der Horizontalen schliesst die Verbindungslinie Tropfen-Radnabe im Moment der Ablösung ein, wenn dieser Tropfen die Maximalhöhe erreichen soll?
Das Rad hat einen Durchmesser von 65 cm. Luftwiderstand oder Fahrtwind sollen keine Rolle spielen.
Hallo jonas,
ich hatte zunächst das gleiche Problem wie Aragorn: Wo lösen sich die Tropfen ab?
Da war dann Dein Hinweis wichtig, dass sich an jeder Stelle Wassertropfen lösen können.
Obwohl Aragorn die Aufgabe schon gelöst hat, möchte ich trotzdem meinen Lösungsweg angeben.
Die Winkelgeschwindigkeit w des Rades und der zeitabhängige Drehwinkel phi sind (v = 20 km/h, 2*a = 65 cm):
w = v/a
phi = w*t
Ein Punkt (Tropfen) auf der Lauffläche des Radreifens beschreibt eine
Zykloide (phi ist der Winkel mit der
Vertikalen):
x(phi) = a*[phi – sin(phi)]
y(phi) = a*[1 – cos(phi)]
Für die Berechnung der Wurfhöhe h(phi) brauchen wir nur die Ablösehöhe y(phi) und die Geschwindigkeitskomponente Vy(phi) in y-Richtung:
Vy(phi) = dy/dt = (dy/dphi)*(dphi/dt) = v*sin(phi)
h(phi) = y(phi) + Vy^2/(2*g) = a*[1-cos(phi)] + v^2*[sin(phi)]^2/(2*g)
Aus dh/dphi = 0 folgt für Winkel phi1 und Maximalhöhe h(phi1):
cos(phi1) = -a*g/v^2
phi1 = 1.674 = 95.93°
h(phi1) = 1.915 m
Der Winkel zwischen der
Horizontalen und der Verbindungslinie Tropfen-Radnabe im Moment der Ablösung beträgt phi1 – 90° = 5.93°.
Gruss
hardy