Rätsel: wie hoch spritzt es?

[Aragorn]

vielleicht auch sogar die Formel dafür hinschreibt.

h=v^2/(2g)+r+dr

v=v*cos(phi)
dr=r*sin(phi)

h=v^2/(2g) * (cos(phi))^2 + r + r*sin(phi)

Extremwert bestimmen dh/dphi = 0 (im ersten Term die Kettenregel anwenden):

h' = -v^2/g*cos(phi)*sin(phi) + r*cos(phi) = 0

-> sin(phi) = r*g/v^2
-> phi = 5,93°

phi in h einsetzen ergibt h = 1,915 m

[jonas]

Korrekt

[Aragorn]

Und dann schwebt mir noch eine Verschärfung der Frage im Kopf herum ... mit Doppelintegral ... oder Ableitung ... oder Zeug und so

Was findet wenn man nach "fahrrad nabe winkel wassertropfen" googled?

Habe übrigens Deine Aufgabe in einem Forum für Astronomie und Astrophysik als Rätsel fürs Wochenende gepostet. Dort tummeln sich gestandene Physiker und Leiter von Sternwarten. Bis jetzt hat sich noch keiner an das Rätsel rangetraut ;-)

Übrigens: Folgende Verschärfung der Aufgabe werde ich im Astronomieforum den Herrschaften stellen:
1. Der Sattel des Rades befindet sich 40 cm vor und 35 cm über der Nabe des Rades. Der Rücken des Fahrers beschreibt eine Kurve über dem Sattel die etwa der der Funktion $y =25⋅x entspricht (Ursprung: Ende der Sattelstange). Ab welcher Geschwindigkeit ist die Sauberkeit seines Trikots gefährdet.
2. Welchen Winkel gegenüber der Ebene muß ein Schutzblech dann mindestens abddecken, daß das Trikot sauber bleibt.

:-)

DmitriJakov, du Schlingel

[hardy]

Rätsel zum Wochenende:

1. Ein Radfahrer fährt mit 20 km/h auf einer nassen Straße. Sein Hinterrad schleudert hinter ihm Wassertropfen in die Luft. Welche Höhe können die Tropfen maximal erreichen?

2. Welchen Winkel mit der Horizontalen schliesst die Verbindungslinie Tropfen-Radnabe im Moment der Ablösung ein, wenn dieser Tropfen die Maximalhöhe erreichen soll?

Das Rad hat einen Durchmesser von 65 cm. Luftwiderstand oder Fahrtwind sollen keine Rolle spielen.

Hallo jonas,

ich hatte zunächst das gleiche Problem wie Aragorn: Wo lösen sich die Tropfen ab?
Da war dann Dein Hinweis wichtig, dass sich an jeder Stelle Wassertropfen lösen können.

Obwohl Aragorn die Aufgabe schon gelöst hat, möchte ich trotzdem meinen Lösungsweg angeben.

Die Winkelgeschwindigkeit w des Rades und der zeitabhängige Drehwinkel phi sind (v = 20 km/h, 2*a = 65 cm):

w = v/a
phi = w*t

Ein Punkt (Tropfen) auf der Lauffläche des Radreifens beschreibt eine Zykloide (phi ist der Winkel mit der Vertikalen):

x(phi) = a*[phi – sin(phi)]
y(phi) = a*[1 – cos(phi)]

Für die Berechnung der Wurfhöhe h(phi) brauchen wir nur die Ablösehöhe y(phi) und die Geschwindigkeitskomponente Vy(phi) in y-Richtung:

Vy(phi) = dy/dt = (dy/dphi)*(dphi/dt) = v*sin(phi)

h(phi) = y(phi) + Vy^2/(2*g) = a*[1-cos(phi)] + v^2*[sin(phi)]^2/(2*g)

Aus dh/dphi = 0 folgt für Winkel phi1 und Maximalhöhe h(phi1):

cos(phi1) = -a*g/v^2

phi1 = 1.674 = 95.93°

h(phi1) = 1.915 m

Der Winkel zwischen der Horizontalen und der Verbindungslinie Tropfen-Radnabe im Moment der Ablösung beträgt phi1 – 90° = 5.93°.

Gruss
hardy

[Nathan5111]

Das mit der Zykloide ist jetzt aber 'Schleimerei' für Extrapunkte!

[jonas]

Falls jemand die Verschärfung, die von Aragorn per Google gefunden wurde, rechnen möchte, folgende Korrektur (Astronews kann kein Latex darstellen)

Übrigens: Folgende Verschärfung der Aufgabe werde ich im Astronomieforum den Herrschaften stellen:
1. Der Sattel des Rades befindet sich 40 cm vor und 35 cm über der Nabe des Rades. Der Rücken des Fahrers beschreibt eine Kurve über dem Sattel die etwa der der Funktion y =25⋅sqrt(x) entspricht (Ursprung: Ende der Sattelstange). Ab welcher Geschwindigkeit ist die Sauberkeit seines Trikots gefährdet.
2. Welchen Winkel gegenüber der Ebene muß ein Schutzblech dann mindestens abddecken, daß das Trikot sauber bleibt.

[Aragorn]

Ich kann die Formeln auf eurer Seite nicht lesen. Ist das y=25*sqrt(x)?

Da würde ich sagen, der arme Radfahrer wird bereits bei v=0 schmutzig. Die Begründung hat dann allerdings eher weniger mit Tropfenphysik zu tun.

[hardy]

Das mit der Zykloide ist jetzt aber 'Schleimerei' für Extrapunkte!

Viele Wege führen nach Rom, auch 'schleimige'.

[jonas]

Ich kann die Formeln auf eurer Seite nicht lesen. Ist das y=25*sqrt(x)?

Da würde ich sagen, der arme Radfahrer wird bereits bei v=0 schmutzig. Die Begründung hat dann allerdings eher weniger mit Tropfenphysik zu tun.

Hi Aragorn
Richtig, es ist y=25*sqrt(x). Ich habe diese Funktion gewählt, da sie am ehesten einen nach vorne gebeugten Fahrer stilisiert. Er wird aber auch nicht schutzig in dem Sinne, die Du es dir wahrscheinlich gerade vorstellst

Der Koordinatenursprung ist die Spitze der Sattelstange. Daher ist der Mittelpunkt des Hinterrades (die Nabe) bei (-40|-35) und die Straße hat die Geradengleichung y=-67,5, ist also 67,5 cm unter dem Hintern des durch die Wurzelfunktion stilisierten Fahrers.

[Aragorn]

Da muß man gucken, ab wann die Wurfparabel der Tropen einen Schnittpunkt mit der Radfahrerrücken-Funktion haben.
Igitt
Da rechnen wir lieber nochwas quantenphysikalisches oder Relativitätstheoretisches aus. Das ist dagegen ja die reinste Erholung

PS: Wir benötigen unbedingt eine Zusatzregel für Smalltalk. Strengstens verboten sind dort Aufgaben, für die mehr als die vier Grundrechenarten und physikalisches Geheimwissen notwendig ist