Rätsel: wie hoch spritzt es?

[jonas]

Rätsel zum Wochenende:

Auf einer Mathe-Seite habe ich ein wirklich herrlich verzwicktes Rätsel gefunden. Es wurde Schülern der 11. Klasse gestellt, sollte also mit Schulwissen lösbar sein (im Prinzip )

1. Ein Radfahrer fährt mit 20 km/h auf einer nassen Straße. Sein Hinterrad schleudert hinter ihm Wassertropfen in die Luft. Welche Höhe können die Tropfen maximal erreichen?

2. Welchen Winkel mit der Horizontalen schliesst die Verbindungslinie Tropfen-Radnabe im Moment der Ablösung ein, wenn dieser Tropfen die Maximalhöhe erreichen soll?

Das Rad hat einen Durchmesser von 65 cm. Luftwiderstand oder Fahrtwind sollen keine Rolle spielen.

[Hirschi]

Zu 2.
Müsste ohne mathematische Berechnung 270° (also 90° nach hinten) sein, da dadurch alle Energie in die Aufwärtsbewegung fließt und keine in eine laterale. Die Eigengeschwindigkeit des Fahrrades dürfte keine Rolle spielen, da diese Zusatzenergie in jedem Winkel gleich ist. Was natürlich sein könnte, dass der Winkel leicht > 270° ist, da die Relativgeschwindigkeit des Hinterrades zwischen 180° und 270° geringer ist als die des gesamten Fahrrades (Rad läuft ja quasi gegen Fahrtrichtung) und dann zwischen 270° und 360° wieder größer. Dann gäbe es einen Punkt zwischen 270° und 360° an dem die Umlaufgeschw. + Fahrradgeschw. höher als der Verlust durch die Ballistik bei > 270° wäre.
Wird die Oberflächenspannung des Wassers sowie die Adhäsion zwischen Reifen und Wasser auch vernachlässigt?

Gruß
Hirschi

[jonas]

Wird die Oberflächenspannung des Wassers sowie die Adhäsion zwischen Reifen und Wasser auch vernachlässigt?

Jepp

Was natürlich sein könnte, dass der Winkel leicht > 270° ist,

Gut geraten aber falsch begründet.

Kommt schon, Leute, da hat sich ein 17-jähriger durchgequält und es gepackt. Also, wie hoch fliegt der Rotz? Und wie schräg?

[jonas]

Edit: Naja, eine gewisse Rolle spielen Adhäsion und Oberflächenspannung schon, denn irgendwie müssen sich die Wassertropfen ja am Reifen festhalten, bevor sie mit Juhu in die Luft springen

[Hirschi]

Edit: Naja, eine gewisse Rolle spielen Adhäsion und Oberflächenspannung schon, denn irgendwie müssen sich die Wassertropfen ja am Reifen festhalten, bevor sie mit Juhu in die Luft springen

Wieviel Energie verbraucht das "Juhu" und wird durch das aus der Oberflächenspannung resultierende Pulsieren der Wasser"kugel" das "Juhu" Doppler-verschoben?
Nee, bin grad am Rechnen und Zusammenstellen

[Hirschi]

zu 1.
v(umlauf) = 20km/h : 3,6 = 5,56 m/s (Umlaufgeschwindigkeit = Fahrradgeschwindinkigkeit)
g = 9,81 m/s² (hier Umkehr: bei welcher "Fallhöhe" erreicht ein Körper 5,56m/s)
h = 1/2 x v² /g
h = .5 x 30,91 (m/s)² / 9,81 m/s²
h = 1,58m
zu 2.
reine Überlegung abweichend zu meinem 1. Post:
270°
Es ist unerheblich mit welcher Eigengeschwindigkeit das Rad fährt, da diese Energie den Wassertropfen lediglich lateral bewegt.

Edit: Ich bin mir zu 50% sicher, mit 2. falsch zu liegen da es sonst wohl zu einfach wäre. Dann (wenn V(eigen Fahrrad) doch wichtig) würde allerdings auch 1 nicht stimmen.

[jonas]

Zur Höhe möchte ich noch nichts sagen. Andere sollen sich auch noch den Kopf zerbrechen dürfen.

Zu Deiner Lösung von 2.): Bei 270 Grad bekommt der Tropfen die größte vertikale Geschwindigkeit, ja. Aber führt das auch zum höchsten Juhu?

[Aragorn]

Die Geschw. die ein Punkt auf dem drehenden Reifen hat, ergibt sich aus der vektoriellen Addition der Umdrehungsgeschw. des Rades und der Geschw. des Fahrrades relativ zur Fahrbahn.

Da wo der Reifen die Fahrbahn berührt ist diese Gesamtgeschw. bsw. 0. Oben, ihn der Nähe der Fahrradbremsschuhe ist diese 2*v.

Die höchste Höhe, können die Wassertropfen daher imho erreichen, wenn die vektorielle Addition der beiden Geschw. den Maximalwert senkrecht nach oben erreicht.

Das ist imho bei einem Winkel von 180° zur Fahrbahn der Fall, was aber (wegen der Eigenbewegung der Nabe für den auf der Fahrbahn stehenden Beobachter) um 90° nach hinten geneigt erscheint (180°+90°=270°)

Gruß Helmut

[jonas]

Nach der Antwort von Aragorn sehe ich mich gezwungen die Aufgabe zu präzisieren: Der Radfahrer fährt in der Ebene, er fährt weder eine sekrechte Klippe hinauf, noch stürzt er von einer solchen hinunter

Das ist imho bei einem Winkel von 180° zur Fahrbahn der Fall, was aber (wegen der Eigenbewegung der Nabe für den auf der Fahrbahn stehenden Beobachter) um 90° nach hinten geneigt erscheint (180°+90°=270°)

Aragorn, wirbelst Du gerade in Deinem Inertialsystem um die Nabe herum?

Ehrlich gesagt, ich habe kein Wort von dem verstanden, was Du zu sagen versucht hattest.

[Hirschi]

Zur Höhe möchte ich noch nichts sagen. Andere sollen sich auch noch den Kopf zerbrechen dürfen.

Zu Deiner Lösung von 2.): Bei 270 Grad bekommt der Tropfen die größte vertikale Geschwindigkeit, ja. Aber führt das auch zum höchsten Juhu?

Ja, je länger ich überlege, desto einfacher erscheint meine Lösung mit den 270°.
Die 20 km/h des Rades tragen lediglich zur horizontalen Geschwindigkeit bzw zum "Versatz" des Tropfens bei.
Der Tropfen beschreibt aufgrund der Eigengeschwindigkeit des gesamten Fahrrads eine Parabel, deren lokales Maximum trotzdem bei 270° Abschuss liegt da dort die vertikale Beschleunigung maximal ist und die horizontale 0 + 20 km/h. Das 0 wird in keinem anderen Punkt der Kreisbahn erreicht.

MfG
Hörsch the Wörsch