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Thema: Rätsel: wie hoch spritzt es?

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  1. #1
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    Standard Rätsel: wie hoch spritzt es?

    Rätsel zum Wochenende:

    Auf einer Mathe-Seite habe ich ein wirklich herrlich verzwicktes Rätsel gefunden. Es wurde Schülern der 11. Klasse gestellt, sollte also mit Schulwissen lösbar sein (im Prinzip )

    1. Ein Radfahrer fährt mit 20 km/h auf einer nassen Straße. Sein Hinterrad schleudert hinter ihm Wassertropfen in die Luft. Welche Höhe können die Tropfen maximal erreichen?

    2. Welchen Winkel mit der Horizontalen schliesst die Verbindungslinie Tropfen-Radnabe im Moment der Ablösung ein, wenn dieser Tropfen die Maximalhöhe erreichen soll?

    Das Rad hat einen Durchmesser von 65 cm. Luftwiderstand oder Fahrtwind sollen keine Rolle spielen.
    Much more attention has been paid to carbon organic chemistry than to silicon organic chemistry, largely because most biochemists we know are of the carbon, rather than the silicon, variety (Carl Sagan)

  2. #2
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    Zu 2.
    Müsste ohne mathematische Berechnung 270° (also 90° nach hinten) sein, da dadurch alle Energie in die Aufwärtsbewegung fließt und keine in eine laterale. Die Eigengeschwindigkeit des Fahrrades dürfte keine Rolle spielen, da diese Zusatzenergie in jedem Winkel gleich ist. Was natürlich sein könnte, dass der Winkel leicht > 270° ist, da die Relativgeschwindigkeit des Hinterrades zwischen 180° und 270° geringer ist als die des gesamten Fahrrades (Rad läuft ja quasi gegen Fahrtrichtung) und dann zwischen 270° und 360° wieder größer. Dann gäbe es einen Punkt zwischen 270° und 360° an dem die Umlaufgeschw. + Fahrradgeschw. höher als der Verlust durch die Ballistik bei > 270° wäre.
    Wird die Oberflächenspannung des Wassers sowie die Adhäsion zwischen Reifen und Wasser auch vernachlässigt?

    Gruß
    Hirschi

  3. #3
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    Wird die Oberflächenspannung des Wassers sowie die Adhäsion zwischen Reifen und Wasser auch vernachlässigt?
    Jepp
    Was natürlich sein könnte, dass der Winkel leicht > 270° ist,
    Gut geraten aber falsch begründet.

    Kommt schon, Leute, da hat sich ein 17-jähriger durchgequält und es gepackt. Also, wie hoch fliegt der Rotz? Und wie schräg?
    Geändert von jonas (13.11.2010 um 21:49 Uhr)
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  4. #4
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    Edit: Naja, eine gewisse Rolle spielen Adhäsion und Oberflächenspannung schon, denn irgendwie müssen sich die Wassertropfen ja am Reifen festhalten, bevor sie mit Juhu in die Luft springen
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  5. #5
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    Zitat Zitat von jonas Beitrag anzeigen
    Edit: Naja, eine gewisse Rolle spielen Adhäsion und Oberflächenspannung schon, denn irgendwie müssen sich die Wassertropfen ja am Reifen festhalten, bevor sie mit Juhu in die Luft springen
    Wieviel Energie verbraucht das "Juhu" und wird durch das aus der Oberflächenspannung resultierende Pulsieren der Wasser"kugel" das "Juhu" Doppler-verschoben?
    Nee, bin grad am Rechnen und Zusammenstellen

  6. #6
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    zu 1.
    v(umlauf) = 20km/h : 3,6 = 5,56 m/s (Umlaufgeschwindigkeit = Fahrradgeschwindinkigkeit)
    g = 9,81 m/s² (hier Umkehr: bei welcher "Fallhöhe" erreicht ein Körper 5,56m/s)
    h = 1/2 x v² /g
    h = .5 x 30,91 (m/s)² / 9,81 m/s²
    h = 1,58m
    zu 2.
    reine Überlegung abweichend zu meinem 1. Post:
    270°
    Es ist unerheblich mit welcher Eigengeschwindigkeit das Rad fährt, da diese Energie den Wassertropfen lediglich lateral bewegt.

    Edit: Ich bin mir zu 50% sicher, mit 2. falsch zu liegen da es sonst wohl zu einfach wäre. Dann (wenn V(eigen Fahrrad) doch wichtig) würde allerdings auch 1 nicht stimmen.
    Geändert von Hirschi (13.11.2010 um 22:36 Uhr)

  7. #7
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    Zitat Zitat von jonas Beitrag anzeigen
    Rätsel zum Wochenende:

    1. Ein Radfahrer fährt mit 20 km/h auf einer nassen Straße. Sein Hinterrad schleudert hinter ihm Wassertropfen in die Luft. Welche Höhe können die Tropfen maximal erreichen?

    2. Welchen Winkel mit der Horizontalen schliesst die Verbindungslinie Tropfen-Radnabe im Moment der Ablösung ein, wenn dieser Tropfen die Maximalhöhe erreichen soll?

    Das Rad hat einen Durchmesser von 65 cm. Luftwiderstand oder Fahrtwind sollen keine Rolle spielen.
    Hallo jonas,

    ich hatte zunächst das gleiche Problem wie Aragorn: Wo lösen sich die Tropfen ab?
    Da war dann Dein Hinweis wichtig, dass sich an jeder Stelle Wassertropfen lösen können.

    Obwohl Aragorn die Aufgabe schon gelöst hat, möchte ich trotzdem meinen Lösungsweg angeben.

    Die Winkelgeschwindigkeit w des Rades und der zeitabhängige Drehwinkel phi sind (v = 20 km/h, 2*a = 65 cm):

    w = v/a
    phi = w*t

    Ein Punkt (Tropfen) auf der Lauffläche des Radreifens beschreibt eine Zykloide (phi ist der Winkel mit der Vertikalen):

    x(phi) = a*[phi – sin(phi)]
    y(phi) = a*[1 – cos(phi)]

    Für die Berechnung der Wurfhöhe h(phi) brauchen wir nur die Ablösehöhe y(phi) und die Geschwindigkeitskomponente Vy(phi) in y-Richtung:

    Vy(phi) = dy/dt = (dy/dphi)*(dphi/dt) = v*sin(phi)

    h(phi) = y(phi) + Vy^2/(2*g) = a*[1-cos(phi)] + v^2*[sin(phi)]^2/(2*g)

    Aus dh/dphi = 0 folgt für Winkel phi1 und Maximalhöhe h(phi1):

    cos(phi1) = -a*g/v^2

    phi1 = 1.674 = 95.93°

    h(phi1) = 1.915 m

    Der Winkel zwischen der Horizontalen und der Verbindungslinie Tropfen-Radnabe im Moment der Ablösung beträgt phi1 – 90° = 5.93°.

    Gruss
    hardy

  8. #8
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    Das mit der Zykloide ist jetzt aber 'Schleimerei' für Extrapunkte!

  9. #9
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    Zitat Zitat von Nathan5111 Beitrag anzeigen
    Das mit der Zykloide ist jetzt aber 'Schleimerei' für Extrapunkte!
    Viele Wege führen nach Rom, auch 'schleimige'.

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