Dass man eine Gleichung wie 1/0 nicht bestimmen kann, ist wohl glaube ich allen bewusst. Das lässt sich durch eine Veranschaulichung mit einer Funktion erkennen.
So, wie die Multiplikation einzelne Additionsvorgänge zusammenfasst, also ein Faktor die Häufigkeit der Addition eines anderen Faktors wiedergibt (4*5 ⇔ 5+5+5+5 oder 5*4 ⇔ 4+4+4+4+4), gibt der Quotient die Häufigkeit der Subtraktion eines Dividenden mit einem anderen Dividenden, die nötig ist, um null zu erhalten, wieder (20/5=4 ⇔ 20-5-5-5-5=0 oder 20/4=5 ⇔ 20-4-4-4-4-4=0).
Man kann also sagen, dass bei der Multiplikation von 0 aus gestartet wird und jene einzelne Additionsvorgänge angefügt werden - und bei der Division auf 0 gezielt wird.
Die Gültigkeit einer Gleichung der Form a/b=y lässt sich mit der Funktionsgleichung y=a-bx darstellen. Zum Beispiel ist bei 20/5=4 die Funktionsgleichung y=20-5x. Da das Ergebnis bei der kettenförmigen (wie oben dargestellten) Subtraktion gleich null ist, muss y mit eben jener Null gleichgesetzt werden. Nach x aufgelöst erhält man das Ergebnis von 20/5: 0=20-5x ⇒ x=4.
Die Aufgabe beziehungsweise die dafür entsprechende Funktion ist natürlich grafisch anzusehen. (Guckst Du)
Wie sieht es denn mit 20/0 aus? Nun wird die 20 mit 0 dividiert. Beziehen wir die vorangegangene Vorgehensweise auf diese Rechnung, hieße die hierfür entsprechende Funktionsgleichung: y=20-0x.
Das Problem wird deutlich: x fällt auf die Nase. Der Graph ist also eine Gerade parallel zur x-Achse, die durch den Funktionswert 20 läuft. Er hat aber keine Nullstelle, die nötig ist, um ein Ergebnis für 20/0 zu bestimmen. Das Ergebnis ist demzufolge undefiniert. (Guckst Du weita)
Mit 0/0 sieht es doch schon anders aus. Die Funktionsgleichung lautet: y=0-0x. y ist aber 0, erfüllt also die notwendige Bedingung, dass das Ergebnis bei der Kettensubtraktion gefälligst eine Null zu sein hat! Der Graph ist eine Gerade auf der x-Achse. (...)
Der Unterschied zwischen 20/5 und 0/0 ist nun, dass erstere Rechnung ein eindeutiges Ergebnis annimmt, zweitere aber unendlich viele.
Meine Fragen an euch, liebe Community, sind jetzt:
Infinity
So, wie die Multiplikation einzelne Additionsvorgänge zusammenfasst, also ein Faktor die Häufigkeit der Addition eines anderen Faktors wiedergibt (4*5 ⇔ 5+5+5+5 oder 5*4 ⇔ 4+4+4+4+4), gibt der Quotient die Häufigkeit der Subtraktion eines Dividenden mit einem anderen Dividenden, die nötig ist, um null zu erhalten, wieder (20/5=4 ⇔ 20-5-5-5-5=0 oder 20/4=5 ⇔ 20-4-4-4-4-4=0).
Man kann also sagen, dass bei der Multiplikation von 0 aus gestartet wird und jene einzelne Additionsvorgänge angefügt werden - und bei der Division auf 0 gezielt wird.
Die Gültigkeit einer Gleichung der Form a/b=y lässt sich mit der Funktionsgleichung y=a-bx darstellen. Zum Beispiel ist bei 20/5=4 die Funktionsgleichung y=20-5x. Da das Ergebnis bei der kettenförmigen (wie oben dargestellten) Subtraktion gleich null ist, muss y mit eben jener Null gleichgesetzt werden. Nach x aufgelöst erhält man das Ergebnis von 20/5: 0=20-5x ⇒ x=4.
Die Aufgabe beziehungsweise die dafür entsprechende Funktion ist natürlich grafisch anzusehen. (Guckst Du)
Wie sieht es denn mit 20/0 aus? Nun wird die 20 mit 0 dividiert. Beziehen wir die vorangegangene Vorgehensweise auf diese Rechnung, hieße die hierfür entsprechende Funktionsgleichung: y=20-0x.
Das Problem wird deutlich: x fällt auf die Nase. Der Graph ist also eine Gerade parallel zur x-Achse, die durch den Funktionswert 20 läuft. Er hat aber keine Nullstelle, die nötig ist, um ein Ergebnis für 20/0 zu bestimmen. Das Ergebnis ist demzufolge undefiniert. (Guckst Du weita)
Mit 0/0 sieht es doch schon anders aus. Die Funktionsgleichung lautet: y=0-0x. y ist aber 0, erfüllt also die notwendige Bedingung, dass das Ergebnis bei der Kettensubtraktion gefälligst eine Null zu sein hat! Der Graph ist eine Gerade auf der x-Achse. (...)
Der Unterschied zwischen 20/5 und 0/0 ist nun, dass erstere Rechnung ein eindeutiges Ergebnis annimmt, zweitere aber unendlich viele.
Meine Fragen an euch, liebe Community, sind jetzt:
- Ist es so nicht möglich, eine Rechnung wie 20/5 so darzustellen: 20/5=x, x∈4; und eine wie 0/0 wie folgt: 0/0=x, x∈{}; im Sinne einer leeren Menge, die unendlich viele Werte enthält? Das Ergebnis von 0/0 ist also nicht unbedingt undefiniert, sondern hat ein Ergebnis, nämlich unendlich viele. Eine Formulierung wie "Das Ergebnis von x mit 0 dividiert ist undefiniert" wäre nicht ganz korrekt.
- Habe ich irgendetwas übersehen oder missverstanden? Ich hoffe doch.
Infinity
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