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Thema: Division von Null mit Null

  1. #21
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    Hallo infinity,

    ich bin jetzt leider den Rest des Wochenendes offline, d.h. ich kann mir Deine Beiträge und Fragen erst am Montag anschauen.


    Freundliche Grüsse, Ralf

  2. #22
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    Hallo Ralf,

    Ich habe nie behauptet, dass man oo so einfach definieren kann, aber ich finde die RZK ist ein sehr schönes Beispiel wo oo sehr schön definiert wird, als was würdest du sonst den Nordpol bezeichnen?

    Aber ich glaube unsere Auffassung, von dem was oo ist, sind verschieden. Macht auch nichts solange wir die mathematisch korrekten Definitionen von solchen "Grenzwertdingern" (nennen wir es halt mal so, ich nenne es oo ) verwenden. Ich hoffe du stimmst mir hier zu.

    Übrigens das mit den Peano-Axiomen und dem oo stimmt so nicht ganz. Du kannst zum Beispiel in Wikipedia den folgenden Satz nachlesen - Artikel zu Zermelo-Mengenlehre:

    Das Axiom des Unendlichen fordert eine induktive Menge (abgeschlossen bezüglich der Zählung a' = {a}). Im Anschluss daran gab Zermelo die erste präzise explizite Definition der natürlichen Zahlen als kleinste Menge Z, die das Axiom des Unendlichen erfüllt. Mit dieser Definition sind alle Peano-Axiome beweisbar und das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.
    lg
    Volki

  3. #23
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    Hallo Infinity,

    Vergiss einmal das ganze Gerede von Ralf und mir, ich glaube das hat dich nur verwirrt. Es war auch meine Schuld, dass das etwas ausuferte .

    So wenn du jetzt eine Funktion betrachtest f_a(x)=a(x-6) dann ist das eine schräge Linie mit der Steigung a und du kannst jedem Punkt x einen Wert y=f(X) in R zuordnen (R ist die Menge der reellen Zahlen). Was passiert aber wenn du jetzt a->oo gehen lässt? Nehmen wir z.B. den Punkt x0=2 dann bekommst du

    lim a->oo (a (2-6))=lim a->oo (-4a)

    aber der Grenzwert existiert nicht. Das selbe Ergebnis bekommst du für jede andere Zahl auch, außer bei der Wahl x0=6. Hier bekommst du

    lim a->oo (a (6-6))=lim a->oo (0)=0.

    Also ist f(x)=lim a->oo (a (x-6)) keine Funktion mehr auf ganz R da die Grenzwerte für a->oo nicht existieren (ausgenommen x=6). Daher ist deine Frage mathematisch einfach schlecht gestellt mit den epsilon's und delta's.

    Wenn du jetzt aber deine Gerade L als die Menge aller Lösungen von y= lim a->oo (a (x-6)) siehst, erkennst du dass dies genau die Menge L={(6,y),y in R} und das ist nichts anderes als die gerade y=6. Und diese Linie ist genau parallel zur y-Achse.

    lg
    Volki

  4. #24
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    Das heißt also, dass es für f(x)=ax+b mit lim a→∞ (f(x)=ax+b) kein Delta oder Epsilon gibt. Entsprechend aber auch nicht bei f(x)=b, wäre das praktisch ein gedrehtes Bild um 90°.


    Zitat Zitat von Volki1729 Beitrag anzeigen
    Wichtig an der Rechnung ist, ich rechne hier nie mit unendlich kleinen r, sondern nur mit sehr kleinen r und für die sehr kleinen r liegt das Ergebnis halt sehr nahe an 2. Also sagt die Definition vom Grenzwert, dass 2 der Grenzwert ist.
    Hier verstehe ich noch nicht, warum es wichtig ist. Gibt es einen entscheidenden Unterschied?


    Zitat Zitat von Infinity Beitrag anzeigen
    Gibt es denn Funktionen außer f(x)=a(x^n)+b, a∈0 beziehungsweise a→∞, bei denen ein ε>0 und/oder ein δ>0 nicht gilt?
    Ich denke, dass somit diese Frage geklärt ist.

  5. #25
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    Zitat Zitat von Infinity Beitrag anzeigen
    Hier verstehe ich noch nicht, warum es wichtig ist. Gibt es einen entscheidenden Unterschied?
    Du meinst warum r nicht unendlich klein sein sollte sondern nur sehr klein? Weil es in den reellen Zahlen einfach keine unendlich kleinen r gibt. Ich versuch das mal zu erklären.

    Jedes r>0 und sei es noch so klein ist doch ein Stückchen von 0 entfernt, das heißt man kann r von 0 trennen - unterscheiden.

    Nochmals anders erklärt, gib mir eine ganz kleine Zahl r>0, dann kann ich dir eine Zahl r' nennen die zwischen r und 0 liegt, egal wie klein du vorher r gewählt hast.

    Wirklich wichtig: Bei Grenzwerten rechnet man nie mit unendlich kleinen Größen oder mit oo. Sondern eben nur mit sehr kleinen r>0 oder mit sehr großen R>0 (falls man lim x-> oo berechnen will)

    lg
    Volki

  6. #26
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    Zitat Zitat von Volki1729 Beitrag anzeigen
    Ich habe nie behauptet, dass man oo so einfach definieren kann
    Hallo Volki,

    dann habe ich Dich nur missverstanden. Dass man da "irgendetwas", was sauber definiert ist, machen kann, ist mir schon klar, aber man muss sich eben bewusst sein, was man da genau tut.

    Zitat Zitat von Volki1729 Beitrag anzeigen
    aber ich finde die RZK ist ein sehr schönes Beispiel wo oo sehr schön definiert wird
    Ich auch, aber man muss sich eben doch bewusst sein, dass es sich zunächst um zwei ganz unterscheidliche Mengen handelt, die durch eine Abbildung miteinander verbunden sind.

    Zitat Zitat von Volki1729 Beitrag anzeigen
    als was würdest du sonst den Nordpol bezeichnen?
    Lieber als "unendlich fernen Punkt" als als "unendlich", um die Unterschiedlichkeit der beiden Mengen anzudeuten. Dass Du hier über einen projektiven Abschluß eines affinen Raumes eine sehr schöne Interpretation geschaffen hast und überdies die komplexen Zahlen in die Eindimensionalität "gepresst" hast - was formal selbstverständlich korrekt ist, vom Laien aber eher übersehen wird, ändert aber letztlich nichts daran, dass es sich um eine Interpretation handelt, aber nach wie vor um zwei verschiedene Mengen. Dass diese Interpretation schön und elegant ist, stelle ich ja gar nicht in Abrede.

    Zitat Zitat von Volki1729 Beitrag anzeigen
    Aber ich glaube unsere Auffassung, von dem was oo ist, sind verschieden.
    Nein, das glaube ich gar nicht; vermutlich habe ich nicht deutlich genug hervorgehoben, dass es nicht-endliche (also "unendliche") Mengen, wie beispielsweise IN oder IR oder IC gibt. Dennoch ist jedes Element dieser nicht-endlichen Mengen endlich. Ich denke, das ist der Punkt, der die Laien verwirrt: "Unendlich grosse Mengen ja, aber sie enthalten nur endlich grosse Zahlen." Da man mit dieser "Grösse" aber nicht rechnet, bevorzuge ich die Wortwahl, dass Mengen nicht notwendig endlich zu sein brauchen; wie gross diese "nicht-endlichen" Mengen dann konkret sind, lasse ich aber bewusst offen und sage nur "gleichmächtig zu IN" oder "gleichmächtig zum Kontinuum (z.B. [0,1] in IR)". Das genügt eigentlich für alle mathematischen Anwendungen und jemand, der tiefer in die Logik einsteigt, versteht sowas sowieso.


    Natürlich könnte man formal beispielsweise zu IN auch noch ein Element "unendlich" hinzufügen, das würde ja an der Mächtigkeit nichts ändern; aber der Preis dafür ist eben der, dass sich die Dinge ganz wesentlich verkomplizieren und eben nicht, wie die Laien meinen, vereinfachen.

    Beruflich hatte ich mal so ein "Problem", dass eine Gerade fast senkrecht anstieg und der Computer dann Probleme bekam. Alle Projektleiter waren schockiert und wussten nicht, wie man diesen schwierigen Fall handhaben sollte, bis ich bemerkte, dass dieser "schwierige Fall" in Wirklichkeit ein ganz einfacher Fall ist, wenn man das Koordinatensystem 90° dreht und die Formel im else-Statement war dann auch entsprechend sehr einfach.

    Zitat Zitat von Volki1729 Beitrag anzeigen
    Übrigens das mit den Peano-Axiomen und dem oo stimmt so nicht ganz.
    Natürlich, hier bin ich einverstanden. Diese korrekten formalen Beschreibungen sind aber etwas für Logik-Spezialisten und nicht für Laien, die im Smalltalk die Mathematik zu vereinfachen versuchen, indem sie mit "unendlich" herumrechnen.


    Freundliche Grüsse, Ralf
    Geändert von ralfkannenberg (16.08.2010 um 10:31 Uhr)

  7. #27
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    Zitat Zitat von Volki1729 Beitrag anzeigen
    Vergiss einmal das ganze Gerede von Ralf und mir, ich glaube das hat dich nur verwirrt. Es war auch meine Schuld, dass das etwas ausuferte .
    Hallo Volki,

    ich denke, es ist schon wichtig, dass man auch dem Laien einmal aufzeigt, welche Probelme sich ergeben, wenn man allzu grosszügig mit Unendlichkeiten operiert. Wenn wir uns darüber aber vertieft unterhalten wollen, sollten wir dafür einen neuen Thread eröffnen. Aus meiner Sicht ist das aber nicht nötig und wie oben geschrieben denke ich, dass wir in den wesentlichen Punkten völlig übereinstimmen.


    Freundliche Grüsse, Ralf
    Geändert von ralfkannenberg (16.08.2010 um 13:07 Uhr) Grund: Schreibfehler in der Anrede - ich bitte um Entschuldigung

  8. #28
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    Zitat Zitat von Infinity Beitrag anzeigen
    (...)gibt es für jedes δ>0 ein ε>0 (...)
    Hallo infinity,

    hier steckt der "Fehler" in Deiner Argumentation: Es geht nicht darum, für jedes δ>0 ein ε>0 zu finden, sondern darum, für jedes ε>0 ein δ>0 zu finden.

    Natürlich kann man die ganze "Epsilontik" auch als "Deltaik" aufziehen, dann ist halt alles umghekehrt, aber es ist so, dass das ε und das δ eine gewisse Rolle einnehmen und diese Rolle muss man korrekt zuweisen.

    So ist bei diesen Konvergenzkriterien und daraus folgend auch Stetigkeitsbetrachtungen usw. die Rolle des ε diejenige, dass es für alle ε>0 zu gelten hat, während δ streng genommen eine Funktion von ε ist, also δ(ε)>0.

    Kleiner Exkurs, das zu veranschaulichen (wird wohl eher verwirrend sein ...):
    Die Konvergenz ist im "für alle" einerseits und im ">"-Zeichen andererseits versteckt: da es nämlich für alle zu gelten hat, muss es auch für alle sehr kleinen gelten ε (immer noch echt grösser 0), und diese sehr kleinen kann man bespielsweise durch Halbierung erzeugen und die Idee ist natürlich schon die, dass diese sehr kleinen gegen 0 gehen. Nun ist es aber im Allgemeinen so, dass dieser Grenzwert im endlichen noch verfehlt wird, d.h. erst im "Unendlichen" erreicht wird, und da wissen wir ja nicht so genau, was das ist. Man braucht es aber auch nicht zu wissen, es genügt völlig, wenn man es für alle endlichen weiss. Die frühen Folgenglieder sind dabei unerheblich, d.h. von Bedeutung sind nur die späten (also die mit einem hohen Index). Und zwar die besonders späten von ihnen, also di emit besonders hohem Index.

    Man muss sich dann noch daran "gewöhnen", dass alle endlichen Folgenglieder "frühe" Folgenglieder sind und somit unerheblich, aber dank des Induktionsprinzipes wissen wir ja, dass es zu jedem beliebigen Index n noch einen Index n+1 gibt, d.h. es gibt noch spätere Folgenglieder. Diese sind natürlich auch unerheblich (ja ja, sogar alle die wir benennen können, sind unerheblich - eine Situation, an die man sich gewöhnen muss), aber diese Unerheblichkeit spielt keine Rolle, da wir dank des Induktionsprinzipes garantiert haben, dass es stets spätere Folgenglieder, also solche mit höherem Index, gibt.

    Das ist dieselbe Situation wie die, wenn man versucht, die natürlichen Zahlen durch die ersten endlich vielen anzunähern. Da diese nur endlich viele sind, ist die Menge der grösseren nach wie vor unendlich gross ......


    Diese Situation kann man eben mit diesen "für alle ε>0", zu denen es "mindestens ein δ(ε)>0" geben muss, formal korrekt beschreiben. Ich musste mir das übrigens im 1.Semester meines Studiums in den Übungen schmerzlich und hart erarbeiten - ich war mir diese Art Exaktheit vom Gymnasium her nicht gewohnt.

    Genau das ist es übrigens, was Volki im letzten Absatz seines letzten Beitrages geschrieben hat.


    Freundliche Grüsse, Ralf
    Geändert von ralfkannenberg (16.08.2010 um 13:09 Uhr)

  9. #29
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    Hallo Ralf,

    Dann sind wir uns also in allen Punkten einig.

    lg,
    Volki

  10. #30
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    Zitat Zitat von Volki1729 Beitrag anzeigen
    Dann sind wir uns also in allen Punkten einig.
    Hallo Volki,

    wenn man mit Unendlichkeiten so umgeht, wie Du das tust, ja. Zumal Dein Kenntnisstand aktueller ist als meiner, der ich 1988 abgeschlossen habe und mich seitdem kaum mehr mit Mathematik beschäftigt habe, sieht man von einem Seminarvortrag 1995 über die Quadratur des Kreises, der mich damals meinen Jahresurlaub gekostet hat, ab.

    Allerdings hat es mich 1998 dann doch verärgert, als mir mein Personalvermittler mitgeteilt hat, ich solle doch diese Seminarbescheinigung aus meinen Bewerbungsunterlagen entfernen. Das habe ich aber nicht getan.


    Freundliche Grüsse, Ralf
    Geändert von ralfkannenberg (17.08.2010 um 12:25 Uhr)

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