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Thema: Division von Null mit Null

  1. #11
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    Zitat Zitat von ralfkannenberg Beitrag anzeigen
    in einem endlichen Körper (z.B. Restklasse modulo n) gibt es kein "unendlich"
    Hallo zusammen,

    was ich da geschrieben habe ist zwar richtig, könnte aber Anlass zu Missverständnissen geben: Selbstverständlich gibt es auch in nicht-endlichen Körpern kein Element "unendlich".


    Freundliche Grüsse, Ralf

  2. #12
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    Zitat Zitat von Volki1729 Beitrag anzeigen
    Also das stimmt nicht! In der Mathematik ist sehr wohl unendlich definiert, denke nur an die Riemannsche Zahlenkugel oder Kardinalzahlen-Arithmetik. Man sollte da auch nicht die Nichtstandardanalysis vergessen, die auch tatsächlich Anwendungen hat.

    Leider ist das Unendlich für Mathematiklaien eine ziemlich gefährliche Sache und man muss auch ziemlich aufpassen, dass man keine falschen Vorstellungen hat.
    Hallo Volki,

    hier muss ich jetzt widersprechen:

    1.) Die Riemann'sche Zahlenkugel hat einen "Nordpol". Dieser ist dort zunächst einmal ein Punkt wie jeder andere auch.

    Wenn man nun die Zahlenebene mitholfe einer geeigneten Funktion - der "stereographischen Projektion" - auf diese Kugel abbildet, so wird mit Ausnahme des Nordpols jeder Punkt eineindeutig zugeordnet, während es keinen Punkt gibt, der auf den Nordpol abgebildet wird.

    Das ist übrigens auch nicht weiter überraschend, da die Zahlenebene und die Kugel ohne Nordpol beides "offene Mengen" sind, während die Kugel eine abgeschlossene Menge ist.
    Wenn man also eine offene Menge auf eine abgeschlossene Menge so schön wie beispielsweise mit der stereographischen Abbildung abbilden möchte, so muss man noch irgendwoher einen "Randpunkt" der offenen Menge bekommen. Der einfachste Ansatz dazu ist eine "Einpunkt-Kompaktifizierung", d.h. man nimmt den sogenannten "unendlich fernen Punkt" hinzu und der landet dann tatsächlich per Grenzwertbetrachtung auf dem Nordpol. Man beachte aber, dass bei dieser Einpunkt-Kompaktifizierung beispielsweise "unendlich" und "minus unendlich" und "i-unendlich" und "(-i)-unendlich" alles dasselbe ist. Wenn man eine solche Einpunkt-Kompaktifizierung macht, sollte man sich also dafür hüten, auch noch eine Exponentialfunktion zu verwenden, denn e^(-oo) und e^(oo) liefert nicht dasselbe Ergebnis !

    Man kann viele geometrische Phänomene elegant mit so einer Einpunkt-Kompaktifizierung beschreiben, man muss sich aber bewusst sein, dass die Zahlenebene und die Riemann'sche Zahlenkugel verschiedene Mengen sind und die durch eine Abbildung und durch eine Grenzwertbildung verbunden sind.


    2. Kardinalzahlen: meines Wissens werden aber Mächtigkeiten von Mengen über Bijektionen und über den Begriff "für alle" gebildet und benötigen ebenfalls nicht die Terminologie "unendlich".


    3. Nonstandard-Analysis: Lang ist es her, aber ich meine mich zu erinnern, dass wir da zwei Postulate hatten, in denen das Wort "unendlich" nicht vorkam. Die Idee war die, dass alle Zahlen, die nur "unendlich-klein" voneinander entfernt sind, in dieselbe Äquivalenzklasse fallen, die von einer klassischen Zahl beschrieben werden kann. Diese "unendlich-kleinen" Zahlen vereinfachen einfach wesentlich die epsilon-Schreibweise, aber Vorsicht: Diese Vereinfachung hat insofern einen "Preis", dass man sich bei der Anwendung rasch mal irrt, während jemand, der sich ein bisschen in der Epsilontik auskennt, in der Regel - vielleicht weniger elegant, aber dafür korrekt ans Ziel kommt.


    Freundliche Grüsse, Ralf
    Geändert von ralfkannenberg (14.08.2010 um 14:14 Uhr)

  3. #13
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    Zitat Zitat von ralfkannenberg Beitrag anzeigen
    3. Nonstandard-Analysis: Lang ist es her, aber ich meine mich zu erinnern, dass wir da zwei Postulate hatten, in denen das Wort "unendlich" nicht vorkam. Die Idee war die, dass alle Zahlen, die nur "unendlich-klein" voneinander entfernt sind, in dieselbe Äquivalenzklasse fallen, die von einer klassischen Zahl beschrieben werden kann.
    Etwa so: 0,999... = 1? Dezimalzahlen mit unbegrenzten Nachkommastellen haben ja desweiteren einen allgemein auffassenden Bruch:
    0,333... wird als 1/3 und nicht als 333333.../1000000... formuliert.


    Zitat Zitat von Wikipedia
    Der Grenzwert der Funktion f für x gegen p ist gleich L dann und nur dann, wenn zu jedem ε > 0 ein δ > 0 existiert, so dass für alle x mit 0<|x-p| < δ auch |f(x)-L| < ε gilt.
    Gibt es denn Funktionen außer f(x)=a(x^n)+b, a∈0 beziehungsweise a→∞, bei denen ein ε>0 und/oder ein δ>0 nicht gilt?

    Zur Regel von L'Hospital und zum unbestimmten Ausdruck habe ich noch nützliche Informationen gefunden. So einiges davon kenne ich noch garnicht, daher nehme ich mir das und den Beitrag von Volki1729 vor.
    Geändert von Infinity (14.08.2010 um 15:30 Uhr)

  4. #14
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    Zitat Zitat von Infinity Beitrag anzeigen
    Etwa so: 0,999... = 1? Dezimalzahlen mit unbegrenzten Nachkommastellen haben ja desweiteren einen allgemein auffassenden Bruch:
    0,333... wird als 1/3 und nicht als 333333.../1000000... formuliert.
    Hallo infinity,

    das hat nichts mit Nonstandard-Analysis zu tun, das sind nur die beiden Repräsentationen eines Dezimalbruches. Das ist ein klassisches Resultat und sowas hat man beispielsweise auch im Binärsystem.


    Zitat Zitat von Infinity Beitrag anzeigen
    Gibt es denn Funktionen außer f(x)=a(x^n)+b, a∈0 beziehungsweise a→∞, bei denen ein ε>0 und/oder ein δ>0 nicht gilt?
    Ich verstehe Deine Frage nicht. Ausserdem muss man mit Grenzwerten im Exponenten aufpassen, die kann man nicht einfach so wie bei den voer Grundrechenarten "hinaufziehen" ! Wähle also als Beispiele bitte zunächst solche, in denen nur die 4 Grundrechenarten vorkommen - daran kann man die Thematik auch erörtern und erspart sich eine Menge unnötigen Ärger.


    Freundliche Grüsse, Ralf

  5. #15
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    Zitat Zitat von ralfkannenberg Beitrag anzeigen
    Ich verstehe Deine Frage nicht. Ausserdem muss man mit Grenzwerten im Exponenten aufpassen, die kann man nicht einfach so wie bei den voer Grundrechenarten "hinaufziehen" ! Wähle also als Beispiele bitte zunächst solche, in denen nur die 4 Grundrechenarten vorkommen - daran kann man die Thematik auch erörtern und erspart sich eine Menge unnötigen Ärger.
    Okay. Ich beziehe mich auf das Bild im Link, den Volki1729 in seinem letzten Beitrag einfügte. Also, nehmen wir eine Gerade f(x)=ax+b. Wenn a den Wert 0 annimmt, verläuft der Graph parallel zur x-Achse. Das müsste in meinem Verständnis heißen, dass eine Stelle, für die δ>0 gilt, zwar noch wählbar ist, es aber keinen Wert ober- und unterhalb von ε mehr gibt, sondern nur ε=0.
    Entsprechend andersherum wäre es, wenn a eine uneindeutlich hohe Steigung wiedergibt (a→∞). Der Graph verläuft parallel zur f(x)-Achse. In diesem Fall kann für δ nur ein Wert gewählt werden, nämlich 0. Und für ε können sich mehrere Resultate ergeben - entweder gleich 0, ober- oder unterhalb von ε.

    Aber ich zweifle selber ein wenig an der Richtigkeit, allen voran an einer exakten Parallelität bei a→∞.

  6. #16
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    Das stimmt nicht ganz

    Zitat Zitat von ralfkannenberg Beitrag anzeigen
    Wenn man eine solche Einpunkt-Kompaktifizierung macht, sollte man sich also dafür hüten, auch noch eine Exponentialfunktion zu verwenden, denn e^(-oo) und e^(oo) liefert nicht dasselbe Ergebnis !
    Naja e^x hat in oo eine wesentliche Singularität! Das selbe Problem bekommst du ja auch, wenn du die Funktion e^(-1/x^2) betrachtest die reell brav ist (unendlich oft differenzierbar) aber komplex ebenfalls eine wesentliche Singularität hat. Schau einmal was passiert, wenn man sich entlang der imaginären Achse nähert.

    Das Problem das man mit e^x hat, ist das e^x keine meromorphe Funktion auf der Riemannschenzahlenkugel ist und man daher e^x nicht vernünftig fortsetzen kann im Punkt oo.

    Übrigens die Riemannschezahlenkugel sollte man als den projektiven Abschluß vom affinen Raum A^1(C)=C sehen, sodass die Topologie von C die Topologie auf der Riemannschenzahlkugel induziert und topologisch abschließt. Dann hat man auch keine Probleme mit den Richtungen wie du das beschreibst. Sich die Riemannschezahlenkugel als Kugel vorzustellen ist eben wegen den möglichen verschiedenen Richtungen nicht gerade günstig. C ist halt doch 1-dimensional und nicht 2-dimensional, obwohl das oft so erscheint (Gaußsche-Ebene)!

    Zitat Zitat von ralfkannenberg Beitrag anzeigen
    2. Kardinalzahlen: meines Wissens werden aber Mächtigkeiten von Mengen über Bijektionen und über den Begriff "für alle" gebildet und benötigen ebenfalls nicht die Terminologie "unendlich".
    5. Axiom von ZF: Es gibt unendliche Mengen. (in Wikipedia wird das zwar induktive Mengen genannt, aber z.B. im Standardwerk zur Mengenlehere - Set theory von Jech - wird das aber wirklich so definiert und induktive Mengen sind unendliche Mengen).

    Ok: Nichtstandardanalysis war ein schlechtes Beispiel.

    Du kannst das Konzept oo oft umschreiben (als der Punkt der C kompaktifiziert, oder induktive Mengen) aber zu behaupten, dass es das Konzept oo in der Mathematik nicht gibt, ist einfach falsch, man muß nur sehr vorsichtig damit umgehen.

    lg
    Volki

  7. #17
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    Zitat Zitat von Infinity Beitrag anzeigen
    Also, nehmen wir eine Gerade f(x)=ax+b. Wenn a den Wert 0 annimmt, verläuft der Graph parallel zur x-Achse. Das müsste in meinem Verständnis heißen, dass eine Stelle, für die δ>0 gilt, zwar noch wählbar ist, es aber keinen Wert ober- und unterhalb von ε mehr gibt, sondern nur ε=0.
    Das verstehe ich nicht ganz. Egal wie du dein δ wählst wird für kleine ε (d.h. ε<b) jedes f(x) mit x aus deiner δ-Umgebung nicht in die ε-Umgebung fallen. Meinst du das so?

    Zitat Zitat von Infinity Beitrag anzeigen
    Entsprechend andersherum wäre es, wenn a eine uneindeutlich hohe Steigung wiedergibt (a→∞).
    Dreh das Bild einfach um 90° und du bist wieder im Fall von oben.

    Wenn du das nicht so machen willst, musst du hier sehr aufpassen die Grenzwerte in der richtigen Reihenfolge zu bilden, musst du auch im ersten Fall wenn a->0 geht aber da sind die Fehler die man machen kann offensichtlicher!

    Beispiel f(x)=ax+b: Berechne einmal lim_{a->oo} lim_{x->-b/a} f(x) und einmal lim_{x->-b/a} lim_{a->oo} f(x). Im ersten Fall sollte 0 herauskommen im zweiten Fall oo.

    Zitat Zitat von Infinity Beitrag anzeigen
    Aber ich zweifle selber ein wenig an der Richtigkeit, allen voran an einer exakten Parallelität bei a→∞.
    Naja, für f_a(x)=ax+b ist die Grenzfunktion lim f_a(x) für a-> oo keine Funktion mehr! Wenn ich richtig liege mit dem, was du willst empfehle ich das Blatt um 90° zu drehen.

    lg
    Volki

    PS: Nichtstandardanalysis ist etwas sehr unanschauliches und nicht ganz einfach. War auch ein schlechtes Beispiel von mir.

  8. #18
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    Zitat Zitat von Volki1729 Beitrag anzeigen
    Das verstehe ich nicht ganz. Egal wie du dein δ wählst wird für kleine ε (d.h. ε<b) jedes f(x) mit x aus deiner δ-Umgebung nicht in die ε-Umgebung fallen. Meinst du das so?
    Bei einer Gerade f(x)=-x+6 gibt es für jedes δ>0 ein ε>0. Ist bei einer Gerade der Form f(x)=ax+b die Steigung gleich 0, verläuft der Graph parallel zur x-Achse, wie es bei f(x)=6 der Fall ist, denn dort führt, wie am Bild dargestellt, nicht nur p, sondern auch δ>0 zu L und nicht etwa zu ε>0 oder ε<0. Verkehrtherum sieht es bei einer Gerade derselben Form, für die a→∞ gilt, wie zum Beispiel f(x)=a(x-6), lim a→∞ (f(x)=a(x-6)), aus. Hier nun kann p sowohl zu L als auch zu ε>0 und ε<0 führen.


    Und, inspiriert von ralfkannenbergs Post...
    Zitat Zitat von ralfkannenberg
    Die Idee war die, dass alle Zahlen, die nur "unendlich-klein" voneinander entfernt sind, in dieselbe Äquivalenzklasse fallen, die von einer klassischen Zahl beschrieben werden kann.
    ...,aus der Unsicherheit heraus, ob, wenn der Vorschlag Gültigkeit hätte, ein Graph mit a→∞ exakt parallel zur f(x)-Achse verläuft, wie ich im dritten Beispiel - dritter Link - dargestellt habe, habe ich das Problem, dass nicht bestimmt werden kann, wo sich L, ε>0 und ε<0 auf der f(x)-Achse befinden. Nur zur Verdeutlichung, was ich mit dem ersten Absatz in diesem Beitrag meine, habe ich L, ε>0 und ε<0 an bestimmten Stellen der f(x)-Achse platziert. Würde die Idee keine Gültigkeit haben, müsste der Funktionsgraph minimal von ihrer senkrechten Stellung abweichen und das Blatt leider nicht um 90° drehbar sein.

  9. #19
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    Zitat Zitat von Volki1729 Beitrag anzeigen
    5. Axiom von ZF: Es gibt unendliche Mengen.
    Hallo Volki,

    das ist trivial, dass es solche Mengen gibt - allein aus den Peano-Axiomen ergibt sich eine solche (für die Mitleser: die Menge der natürlichen Zahlen).

    Aber eine Zahl "unendlich" widerspruchsfrei zu definieren ist heikel und statt von unendlichen Mengen zu sprechen, wäre es "besser", von nicht-endlichen Mengen zu sprechen und zunächst einmal offen zu lassen, welche Kardinalität die haben. Statt dessen kann man ja deren "Grösse" über die Mächtigkeit betrachten, also statt konkret zu benennen, wie gross die sind, sich auf "gleichmächtig wie" zu beschränken.

    Natürlich ist salopp "nicht-endlich" dasselbe wie "unendlich", aber wenn man sieht, was da alles für Irrtümer passieren können, würde ich hier exakter vorgehen und Anzahlen nur für endliche Mengen angeben und bei nicht-endlichen Mengen deren Kardinalität über Mächtigkeiten, also letztlich Bijektionen, regeln.

    Mir ist durchaus bewusst, dass ich damit natürlich den Unendlichkeitsbegriff hinter den Peano-Axiomen für abzählbar-unendliche und hinter dem "für alle"-Begriff für überabzählbar-unendliche Mengen verstecke, aber ich denke, das macht es doch etwas transparenter.


    Freundliche Grüsse, Ralf

  10. #20
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    Zitat Zitat von Volki1729 Beitrag anzeigen
    Übrigens die Riemannschezahlenkugel sollte man als den projektiven Abschluß vom affinen Raum A^1(C)=C sehen, sodass die Topologie von C die Topologie auf der Riemannschenzahlkugel induziert und topologisch abschließt. Dann hat man auch keine Probleme mit den Richtungen wie du das beschreibst. Sich die Riemannschezahlenkugel als Kugel vorzustellen ist eben wegen den möglichen verschiedenen Richtungen nicht gerade günstig. C ist halt doch 1-dimensional und nicht 2-dimensional, obwohl das oft so erscheint (Gaußsche-Ebene)!
    Hallo Volki,

    allein anhand dieser "Verrenkungen" sieht man doch sehr schön, dass man das formal weit besser fassen kann als einfach rasch mal eine Zahl "unendlich" zu definieren und auf den Nordpol der Riemannschen Zahlenkugel zu setzen.

    Wenn man dann die Überlegungen wie Du Sie gemacht hast tätigst, dann kommt es ja auch richtig heraus und alles ist gut


    Freundliche Grüsse, Ralf

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