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Thema: Division von Null mit Null

  1. #1
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    Standard Division von Null mit Null

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    Dass man eine Gleichung wie 1/0 nicht bestimmen kann, ist wohl glaube ich allen bewusst. Das lässt sich durch eine Veranschaulichung mit einer Funktion erkennen.

    So, wie die Multiplikation einzelne Additionsvorgänge zusammenfasst, also ein Faktor die Häufigkeit der Addition eines anderen Faktors wiedergibt (4*5 ⇔ 5+5+5+5 oder 5*4 4+4+4+4+4), gibt der Quotient die Häufigkeit der Subtraktion eines Dividenden mit einem anderen Dividenden, die nötig ist, um null zu erhalten, wieder (20/5=4 ⇔ 20-5-5-5-5=0 oder 20/4=5 20-4-4-4-4-4=0).

    Man kann also sagen, dass bei der Multiplikation von 0 aus gestartet wird und jene einzelne Additionsvorgänge angefügt werden - und bei der Division auf 0 gezielt wird.

    Die Gültigkeit einer Gleichung der Form a/b=y lässt sich mit der Funktionsgleichung y=a-bx darstellen. Zum Beispiel ist bei 20/5=4 die Funktionsgleichung y=20-5x. Da das Ergebnis bei der kettenförmigen (wie oben dargestellten) Subtraktion gleich null ist, muss y mit eben jener Null gleichgesetzt werden. Nach x aufgelöst erhält man das Ergebnis von 20/5: 0=20-5x
    ⇒ x=4
    .

    Die Aufgabe beziehungsweise die dafür entsprechende Funktion ist natürlich grafisch anzusehen. (Guckst Du)


    Wie sieht es denn mit 20/0 aus? Nun wird die 20 mit 0 dividiert. Beziehen wir die vorangegangene Vorgehensweise auf diese Rechnung, hieße die hierfür entsprechende Funktionsgleichung: y=20-0x.
    Das Problem wird deutlich: x fällt auf die Nase. Der Graph ist also eine Gerade parallel zur x-Achse, die durch den Funktionswert 20 läuft. Er hat aber keine Nullstelle, die nötig ist, um ein Ergebnis für 20/0 zu bestimmen. Das Ergebnis ist demzufolge undefiniert. (Guckst Du weita)


    Mit 0/0 sieht es doch schon anders aus. Die Funktionsgleichung lautet: y=0-0x. y ist aber 0, erfüllt also die notwendige Bedingung, dass das Ergebnis bei der Kettensubtraktion gefälligst eine Null zu sein hat! Der Graph ist eine Gerade auf der x-Achse. (...)


    Der Unterschied zwischen 20/5 und 0/0 ist nun, dass erstere Rechnung ein eindeutiges Ergebnis annimmt, zweitere aber unendlich viele.


    Meine Fragen an euch, liebe Community, sind jetzt:

    • Ist es so nicht möglich, eine Rechnung wie 20/5 so darzustellen: 20/5=x, x∈4; und eine wie 0/0 wie folgt: 0/0=x, x∈{}; im Sinne einer leeren Menge, die unendlich viele Werte enthält? Das Ergebnis von 0/0 ist also nicht unbedingt undefiniert, sondern hat ein Ergebnis, nämlich unendlich viele. Eine Formulierung wie "Das Ergebnis von x mit 0 dividiert ist undefiniert" wäre nicht ganz korrekt.
    • Habe ich irgendetwas übersehen oder missverstanden? Ich hoffe doch.

    Em Ef Ge
    Infinity
    Geändert von Infinity (13.08.2010 um 16:07 Uhr)

  2. #2
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    Ich würde sagen, es ist ein wenig kurz gedacht, nur mit ganzen Zahlen zu rechnen. Multipliziert oder dividiert man mit rationalen oder reelen Zahlen, dann lässt sich die Multiplikation nicht mehr so einfach durch mehrfaches Addieren darstellen.

    Das Problem mit der Division durch Null ist aber folgendes. Um zu ermitteln, was denn bei 20/0 herauskommt, können wir uns der Null annähern:

    20/5 = 4
    20/2 = 10
    20/1 = 20
    20/0,5 = 40
    20/0,01 = 2000

    nähert man sich immer weiter der Null an, strebt das Ergebnis gegen Unendlich. Also könnte man annehmen, 20/0 = Unendlich.

    Aber wie sieht es von der anderen Seite aus:

    20/-5 = -4
    20/2 = -10
    20/1 = -20
    20/0,5 = -40
    20/0,01 = -2000

    nähert man sich also von der anderen Seite, so landet man bei minus unendlich. Es gibt also für 20/0 zwei Ergebnisse, unendlich und minus unendlich, die beides keine definierten Zahlen sind.

  3. #3
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    Danke für Deinen Beitrag!
    Zitat Zitat von frosch411 Beitrag anzeigen
    nähert man sich also von der anderen Seite, so landet man bei minus unendlich. Es gibt also für 20/0 zwei Ergebnisse, unendlich und minus unendlich, die beides keine definierten Zahlen sind.
    Unendlich große Zahlen oder Werte sind aber rechentechnisch bestimmbare Werte, auch, wenn sie an übersichtliche Eindeutigkeit verlieren. Da unterscheide ich zwischen Null und einer unendlich kleinen Zahl, wie ±0,000...1. Tabellarisch ergäbe sich im positiven Bereich:

    20/5=4
    20/1=20
    20/0,0001=200000
    20/0,000...1=200000...

    Je mehr Nullen man zwischen einer Null und der Eins im Nachkommastellenbereich des Nenners in der vierten Zeile einfügt, umso mehr Nullen sind am Ergebnis anzuhängen. Für den negativen Bereich ergäbe sich entsprechend, wie Du andeutetest, eine Vorzeichenveränderung der Ergebnisse.

    Das Ergebnis strebt gegen Unendlich, wenn der Nenner gegen Null strebt. Null ist hier ein Wert, der nie erreicht werden, sondern man sich nur beliebig nähern kann.

    Und weil plus unendlich groß nur dann herauskommt, wenn der Nenner plus unendlich klein ist und minus unendlich groß nur dann herauskommt, wenn der Nenner minus unendlich klein ist, ist die Eindeutigkeit beibehalten - eine Rechnung führt zu einem (uneindeutigen, da unendlichen) Ergebnis.



    Der Nenner gibt also schlicht die Steigung der Geraden wieder. Sind beide Dividenden positiv oder negativ, ist es eine fallende. Ist nur ein Dividend positiv und einer negativ, ist es eine steigende. Wenn nun der Nenner unendlich klein ist (also gegen Null strebt), ist die Steigung unendlich klein. Die Gerade würde die x-Achse also erst bei einem unendlich hohen x-Wert schneiden, unabhängig davon, wo sie die y-Achse schneidet.

    Ernsthaft aber frage ich mich jetzt zusätzlich, ob man eine Gerade mit unendlich geringer Steigung (egal, ob positiv oder negativ), als steigende Gerade bezeichnen kann. Etwas zu viel für meinen Kopf.
    Geändert von Infinity (13.08.2010 um 17:54 Uhr)

  4. #4
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    Hallo infinity,

    wie Du sehr richtig schreibst ist die Division durch 0 nicht definiert. Das hat übrigens zunächst einmal nichts mit "unendlich" zu tun - in einem endlichen Körper (z.B. Restklasse modulo n) gibt es kein "unendlich" und dennoch gibt es kein Ergebnis.

    Das kommt wie Du richtig bemerkt hast daher, dass eine Division durch 0 zu einer Lösung der Gleichung x*0=k führen müsste und x aus dieser Gleichung eben verschwindet.

    In solchen Situationen kann man Grenzwertbetrachtungen durchführen und dann untersuchen, ob die Funktion geeignet fortsetzbar ist - beispielsweise stetig fortsetzbar.

    Das klappt beispielsweise, wenn man die Funktion f(x) = 2x/x untersuchen möchte; diese ist für x=0 nicht definiert, dennoch könnte man naiv argumentieren, dass man ja einfach das x weggkürzen könne. Ganz so einfach geht das natürlich nicht, weil man nur x ungleich 0 wegkürzen darf, dennoch hat ein solcher naiver Ansatz natürlich seine Berechtigung.

    Wenn man nun also f(x) = 2x/x an der Stelle x=0 zu 2 definiert und den von rechts kommenden Grenzwert und den von links kommenden Grenzwert untersucht und alle drei Grössen denselben Wert haben, dann kann man diese Funktion tatsächlich wie vorgeschlagen nach x=0 stetig fortsetzen. Man kann dieses Prozedere übrigens auf "bis zur n.-ten Ableitung stetig fortsetzbar" verallgemeinern.

    Allgemeiner gilt:

    Ersetze Deine beiden Nullen durch beliebige Folgen, also den Zähler durch lim {a->0} a und den Nenner durch lim {b->0} b.

    Wenn für alle Möglichkeiten derselbe Grenzwert herauskommt, dann darfst kannst Du das so definieren (grundsätzlich auch, wenn es nur endlich viele Ausnahmewerte gibt; diese muss man dann halt konkret benennen).

    Die Folge (lim {a->0}) a / (lim {b->} b) indes konvergiert für a=b gegen 1, für a=2b gegen 2 und allgemein für a=k*b mit einem beliebigen k gegen k.

    Hier macht es also keinen Sinn, etwas in diese Gleichung zu definieren.


    Freundliche Grüsse, Ralf
    Geändert von ralfkannenberg (13.08.2010 um 18:08 Uhr)

  5. #5
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    Zitat Zitat von Infinity Beitrag anzeigen
    Der Nenner gibt also schlicht die Steigung der Geraden wieder.
    Hallo infinity,

    Du meinst vermutlich das richtige, aber so ist die "Steigung" nicht definiert.

    Eine Gerade kannst Du schreiben als f(x) = ax+b; dann ist a die Steigung. Diese fällt übrigens - das ist natürlich kein Zufall - gerade mit der ersten Ableitung zusammen.


    Freundliche Grüsse, Ralf

  6. #6
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    Zitat Zitat von Infinity Beitrag anzeigen
    Und weil plus unendlich groß nur dann herauskommt, wenn der Nenner plus unendlich klein ist und minus unendlich groß nur dann herauskommt, wenn der Nenner minus unendlich klein ist, ist die Eindeutigkeit beibehalten - eine Rechnung führt zu einem (uneindeutigen, da unendlichen) Ergebnis.
    Hallo infinity,

    und noch ein dritter Beitrag als Wort fürs Wochenende:

    Vermeide das Wort "unendlich" - es ist in der Mathematik nicht definiert. Wenn Du also irgendwie etwas "Unendliches" beschreiben möchtest, so wirst Du mit "epsilons>0" und mit dem logischen Operator "für alle gilt" argumentieren müssen.

    Das ist zwar etwas umständlicher, dafür aber auch formal korrekt.


    Freundliche Grüsse, Ralf

  7. #7
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    Eine schöne Anwendung der Division von Null geteilt durch Null ist der von mir heiß geliebte Beweis, daß 2=1 ist :

    a²-a²=a²-a² Dies ist ein korrektes statement und mathematisch zulässig.

    Nun wird auf der linken Seite a ausgeklammert und die rechte Seite nach den binomischen Regeln umgeformt:
    a*(a-a)=(a+a)*(a-a)

    Nun kann man beide Seiten durch (a-a) dividieren und erhält:
    a=a+a Mit diesem Schritt hat man also 0 durch 0 dividiert

    Im letzten Schritt werden beide Seiten nur noch durch a dividiert und erhält so:
    1=1+1 oder 1=2

    q.e.d.

    Die Division von Null durch Null führt also zu recht lustigen Ergebnissen
    Much more attention has been paid to carbon organic chemistry than to silicon organic chemistry, largely because most biochemists we know are of the carbon, rather than the silicon, variety (Carl Sagan)

  8. #8
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    Hallo Infinity,

    Also wenn man eine Zahl a hat dann nennt man eine Zahl b die Inverse von a, wenn a*b=b*a=1 gilt. Z.B. haben alle rationalen Zahlen (das sind die Bruchzahlen) eine Inverse, außer der 0. Besitzt nun a eine solche Inverse schreibt man für diese 1/a.

    Nun was ist 5/4? Na das ist genau 5*(1/4) also 5 mal die Inverse von 4.

    Was ist dann 0/0? Das ist 0*(1/0) also 0 mal etwas, das nicht existiert! Also ist 0/0 einfach ein Blödsinn.

    Was passiert, wenn man trotzdem versucht 0/0 einen Wert zu geben demonstriert jonas recht schön (Danke jonas! ). Man sollte daher die Finger von einem solchen Versuch lassen.

    Natürlich kann man in der Analysis Grenzwerte von der Form "0/0" betrachten, das hat aber wenig mit 0/0 zu tun (siehe auch Kommentar von ralf).

    @Ralf
    Zitat Zitat von ralfkannenberg Beitrag anzeigen
    Vermeide das Wort "unendlich" - es ist in der Mathematik nicht definiert.
    Also das stimmt nicht! In der Mathematik ist sehr wohl unendlich definiert, denke nur an die Riemannsche Zahlenkugel oder Kardinalzahlen-Arithmetik. Man sollte da auch nicht die Nichtstandardanalysis vergessen, die auch tatsächlich Anwendungen hat.

    Leider ist das Unendlich für Mathematiklaien eine ziemlich gefährliche Sache und man muss auch ziemlich aufpassen, dass man keine falschen Vorstellungen hat.

    lg
    Volker

  9. #9
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    Zitat Zitat von ralfkannenberg Beitrag anzeigen
    Die Folge (lim {a->0}) a / (lim {b->} b) indes konvergiert für a=b gegen 1, für a=2b gegen 2 und allgemein für a=k*b mit einem beliebigen k gegen k.
    Gegen 1 oder gleich 1? Das wäre etwas, was mich jenseits dieses Themas greifend interessiert. Denn ich bezweifle, dass unendlich kleine Werte ε>0 (danke für den Hinweis mit Epsilon) mit ebenso unendlich kleinen Werten ε>0 dividiert gleich 1 ergeben muss, genauso aber auch, dass diese Rechenoperation ungleich 1 sein muss.

    Ein freundliches Danke an alle für die Erklärung!
    Geändert von Infinity (14.08.2010 um 00:14 Uhr)

  10. #10
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    Zitat Zitat von Infinity Beitrag anzeigen
    Gegen 1 oder gleich 1?
    Ok, ich glaube ich weiß wo dein Problem liegt! Die folgende Aussage zeigt, dass du den Grenzwertbegriff mehr oder weniger falsch verstehst:

    Zitat Zitat von Infinity Beitrag anzeigen
    Denn ich bezweifle, dass unendlich kleine Werte ε>0 (danke für den Hinweis mit Epsilon) mit ebenso unendlich kleinen Werten ε>0 dividiert gleich 1 ergeben muss,
    Ok ich will dir erklären was lim f(x)=b für x->a bedeutet:

    Also für jedes epsilon>0 gibt es ein delta und eine gelochte Umgebung Ug_delta(a) (U_delta(a) sind alle x die höchstens Abstand delta von a haben aber ungleich a sind) sodass für alle x aus U_delta(a) das f(x) in der (nicht gelochten) Umgebung U_epsilon(b) liegen (U_epsilon(b) sind alle x die höchstens Abstand epsilon von b haben - auch b ist dabei).

    Die Definition in Wikipedia ist etwas allgemeiner gehalten und ist deswegen nicht ganz so klar. Man sollte sich aber zum bessern Verständnis das Bild rechts neben der Definition (ziemlich weit oben) ansehen!

    So ein "0/0" Beispiel: Was ist lim (x^2-1)/(x-1) für x->1? (für alle die das gleich sehen man könnte hier (x-1) kürzen, aber zum Verständnis 0/0 möchte ich doch den langen Weg gehen).

    So ich nehme mir ein delta und betrachte wohin mich U_delta(1) bringt wenn ich meine Funktion anwende:

    Dazu schreibe ich x=1+r und denke mir |r|<delta aber eben r != 0 ! und erhalte

    (x^2-1)/(x-1)=(r^2+2r+1-1)/(r+1-1)=(r^2+2r)/r=(2+r).

    (Für alle die sich wundern, ich wende hier sehr versteckt die Regel von L'Hospital an)

    Also ich wähle jetzt zu meinem epsilon ein delta und zwar delta=epsilon. Mit dieser Wahl habe ich jetzt für jedes x aus Ug_delta(1) ein f(x) aus U_epsilon(2), das heißt der Grenzwert ist 2.

    Wichtig an der Rechnung ist, ich rechne hier nie mit unendlich kleinen r, sondern nur mit sehr kleinen r und für die sehr kleinen r liegt das Ergebnis halt sehr nahe an 2. Also sagt die Definition vom Grenzwert, dass 2 der Grenzwert ist.

    Ich hoffe, dass trotz der langen Erklärung die Vorstellung vom Rechnen mit unendlich kleinen Dingern beseitigt wurde. Ich betrachte ja nur, was passiert, wenn ich immer kleiner werde (aber nicht unendlich klein). Kann ich einen Zahl dadurch immer besser eingrenzen? Wenn ja, dann gibt es einen Grenzwert! Wenn nein, dann gibt es keinen Grenzwert!

    lg
    Volki

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