Titus-Bode-Reihe, Bestimmung des 10. Planeten

kosmos

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Titius-Bode-Reihe, Bestimmung des 10. Planeten

Hallo, ich habe die Diskussion um den 10. Planeten verfolgt.
Anscheinend scheint die Bestimmung eines Himmelskörpers – ob es sich um einen Planeten, Planetoiden etc. handelt – schwierig zu sein.

Meinem Wissen nach kann man doch mittels der Titius-Bode-Reihe die Umlaufbahnen der Planeten bestimmen.

Wäre es nicht möglich den "10 Planeten" mittels der Titus-Bode-Reihe zu bestimmen?
 
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ralfkannenberg

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leider nicht

Mit der Titius Bode'schen Reihe wäre Ceres ein Planet und Neptun kein Planet ... - ausserdem haben die meisten dieser Kuipergürtel-Planetoiden inkl. des Pluto exzentrische Umlaufbahnen, d.h. keine fast kreisrunden, sondern ziemlich elliptische. Von den "Grossen 7" haben sogar alle bis auf den Quaoar so eine elliptische Umlaufbahn, also der Pluto, die Sedna, der Orcus, die Lila, der "Santa" und der "Easterbunny".

Welchen Wert soll man dann in die Titius-Bode'sche Reihe einsetzen ?
- Pluto liegt zwischen 29.6 und 49.3 AE
- Lila liegt zwischen 37.7 und 97.6 AE
- Sedna liegt zwischen 76 und 913 (kein Schreibfehler !) AE
 
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Emil

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Die Titus-Bode-Reihe ist, wie Ralf schon angedeutet hat, nur eine Regel, aber kein physikalisches Gesetz. Das bedeutet: Man versteht nicht wirklich, worauf sie basiert, und dennoch paßt es halbwegs und irgendwie. Daher kann man sich auf die Titus-Bode-Reihe nicht unbedingt verlassen. - So wüßte ich ferner nicht, ob bei anderen extrasolaren Systemen eine ähnliche Regel existiert? Mir ist jedenfalls keine bekannt.
 

Bynaus

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Ich hab mal versucht, bei einigen Systemen (etwa Ups And) eine solche Regel zu finden - es gibt keine. Ich glaube, da steckt auch nicht so viel dahinter. Möglicherweise könnten im inneren Sonnensystem einige "Resonanzeffekte" zur beobachteten Reihe geführt haben (wobei der Taktgeber der Resonanz natürlich Jupiter wäre), irgend sowas halte ich für denkbar. Aber gerade im äusseren System spielen diese, u.a. wegen der sehr grossen Distanzen, keine Rolle mehr.
 

kosmos

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Titius-Bode-Reihe - Logarithmische Darstellung

Ich habe die Titius-Bode-Reihe in einer Exel -Tabelle grafisch dargestellt. Dabei bin ich die mittlere Entfernung zwischen Sonne – Planeten aufgetragen. Es ergibt sich infolge der großen Entfernungen zwischen den Planeten eine Expotentialfunktion. Stellt man die Entfernungen zwischen den Planeten und der Sonne logarithmisch dar, ergibt sich eine kontinuierlich steigende Gerade. Fügt man zu dieser Graden eine Trendlinie hinzu, ergibt sich ein Bestimmtheitsmaß von 0,9935. Für mich deutet das darauf hin, das die Entfernungen zwischen Sonne und Planeten logarithmisch annähernd logarithmisch verteilt sind. Eine ähnliche Verteilung liegt beispielsweise auch bei den großen Monden des Jupiter bzw. des Saturn vor.

Extrapoliert man die Reihe der Planeten angefangen vom Merkur bis zum Pluto würden sich weitere Planetenbahnen ergeben bei ca. 9,7 Mrd. km, 16,2 Mrd km., und 27,3 Mrd. km.
 
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Bynaus

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Wie gesagt, selbst bei Saturn stimmt die Entfernungsbestimmung mit der TB-Regel nicht mehr ganz. Bei Uranus und Neptun (von Pluto gar nicht zu sprechen) stimmt sie überhaupt nicht mehr... und damit ist das Suchen von Planeten jenseits von Pluto mit Hilfe dieser Regel etwas sinnlos...

Dass die Regel auch für Monde gilt, wusste ich nicht: kannst du das auch mal hier reinstellen?
 

Emil

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@Bynaus:
Bei Ups And sind bislang nur 3 Planeten bekannt, und man weiß ja noch nicht, ob zwischen ihnen sich einige kleinere Planeten verstecken? Außerdem werden die Zahlenwerte in extrasolaren Systemen möglicherweise anders sein. An eine vernünftige Auswertung ist derzeit wohl nicht zu denken.

@kosmos:
Das mit den Monden wußte ich ebenfalls nicht, aber hast du tatsächlich alle Monde berücksichtigt? Hast du dieselben Zahlenwerte benutzt wie für das Planetensystem? - Die logarithmische Darstellung ist, übrigens, bei dieser Übung eine Selbstverständlichkeit, denn daraus leitet sich das Potenzgesetz ja her. Du "drehst" ja bloß die Formel um.
 

Bynaus

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@Emil: das habe ich schon berücksichtigt. Ich habe versucht, die Planeten in eine sinnvolle exponentielle Reihe einzugliedern (ohne festzulegen, welchen Platz in dieser Reihe sie einnehmen). Und natürlich bin ich auch davon ausgegangen, dass dort andere "Werte" gelten als hier - aber trotzdem lässt sich für Ups And kein solches Gesetz formulieren.
 

Emil

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Na, das zeigt, wie empirisch die Titus-Bode-Regel ist. Ich frage mich, wie die beiden Herren überhaupt darauf gekommen sind. - Naja, vielleicht durch die logarithmische Auftragung...?
 

kosmos

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Die Monde von Jupiter habe ich von Metis bis Elara und beim Saturn die Monde von Prometheus bis Phoebe berücksichtigt. Ich habe die Entfernungen zwischen den Planeten und Ihren Moden dazu in einem einfach logarithmisch geteilten Netz aufgetragen. Der Verlauf der Kurve entspricht dabei der Kurve der Enfernungen zwischen der Sonne und den Planeten.

Ich würde gerne eine Grafik dazu einfügen bzw. als Anhang beifügen, die meine Überlegungen zur Titius-Bode-Reihe bzw. zur Logarithmischen Verteilung verdeutlicht. Dies ist aber leider nicht möglich.

Weitere Ausführungen dazu liefere ich gerne nach Rückehr aus meinen Urlaub in der 43. Woche
 
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galileo2609

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Titius-Bode-Reihe

Die Titius-Bode-Reihe kann als einer der ersten Versuche bewertet werden, die Mindestabstände zwischen den Planeten, die für ein langfristig stabiles Planetensystem benötigt werden, quasi-empirisch zu ermitteln.

Das war aber eigentlich gar nicht der Sinn dieser Unternehmung, weder der Titius-Reihe, noch der Bode-Reihe, die auf der von Titius beruht. Chaos und Stabilität waren im 18. Jhdt., als beide Regeln formuliert wurden, noch kein Bestandteil der astronomischen Forschung, sondern eher "Ordnung". Und hier stehen sie in der historischen Nachfolge des berühmten harmonischen Zahlengesetzes von Keppler, der die Abstände der damals bekannten sechs 'klassischen' Planeten auf die Trennung durch die von regelmäßigen Vielecken begrenzten 'Platonischen Körper' erklärt haben wollte (-> Mysterium Cosmographicum).

Die (zusammengefasste) Titius-Bode-Reihe ist nach heutigem Verständnis weder eine Folge eines physikalischen Entstehungsgesetzes noch ein empirisches Gesetz, im besten Fall eine Näherung für eine Momentaufnahme in der dynamischen Entwicklung unseres Sonnensystems.

Wie Bynaus bereits anführte, passt die Titius-Bode-Reihe auch nicht wirklich auf die realen Abstände. Im übrigen funktioniert sie auch nur in dieser Näherung aufgrund einiger Konstruktionsprinzipien und bereits anfänglich vorgenommen Ausnahmeregelungen. So wurde für ihre allgemeine Form: Rn = 4 + 3 * 2^n (mit R für Radius des jeweils betrachteten n-ten Planeten) festgelegt, dass erst ab der Erde nach außen n mit 1 beginnt (Mars = 2, Lücke des Asteroidengürtels = 3, usw.). Für Venus wurde n = 0 und für Merkur n = -∞ [unendlich] festgelegt, damit die Reihe passte! Insofern qualifiziere ich diese Regel als quasi-empirisch - mehr als ein unvollkommener Merksatz bleibt nicht, zumindest in der konkreten Form!

Woher kommt also die anhaltende Faszination der Titius-Bode-Reihe? Wahrscheinlich weil das Sonnensystem eben doch so wohlgeordnet erscheint! Und weil die Reihe eben so schön (mit den zugrunde gelegten Ausnahmen) passt, zumindest für die wichtigsten Planeten. Aber eine solche Zahlenreihe bekommt man immer hin, sie ist Ausfluss ihres Konstruktionsprinzips und dem in der Tat vorhandenen exponentiellen Faktor, dessen Ursache physikalischer Natur ist. Daher kann Kosmos auch eine Gleichartigkeit der Kurven zwischen Planetenabständen und den Mondabständen der 'kleinen' Sonnensysteme bei Jupiter und Saturn feststellen.

Nach dem momentanen Stand der Forschung stellt sich die 'Ordnung' eines planetaren Systems nicht als Ergebnis seiner Entstehung dar, sondern als Momentaufnahme seiner dynamischen Entwicklung. Um Günther Wuchterl zu zitieren: "Die Täler und ihre Formen sind nicht der Ausdruck eines fundamentalen Naturgesetzes der Bergentstehung, sondern die Konsequenz der Tatsache, dass die Berge nicht ewig sind...". In Analogie zur Geologie wirken auch in der Entwicklung planetarer Systeme Errosionsprozesse, die auf der gravitativen Wechselwirkung der Planeten beruhen. Planeten überdauern langfristig nur dann in stabilen Orbits, wenn sie sich der 'gravitativen Errosion' entziehen können: 'nur die Harten bleiben im Garten', der Rest wird rausgekickt oder kollidiert! ;)
D.h. für unser Sonnensystem, aber auch für die extrasolaren Systeme, dass am Anfang eine Vielzahl von Planeten gebildet werden können oder nicht (z.B. wenn ein Jupiter nach Vollendung dominiert -> Asteroidengürtel). Es ist eine Frage der gravitativen Interaktion, wieviele letztlich bleiben und stabile Bahnen einnehmen!

Wie kommt da jetzt die Titius-Bode-Reihe wieder ins Spiel? Nun ja: die Frage ist schließlich, wie kommt diese gravitative Interaktion zustande. Die Stabilität von Planetenbahnen läßt sich bekanntlich nur als Zweikörperproblem wirklich bestimmen, entscheidenden Fortschritt brachte die iterative Störungsrechnung, die auf Laplace zurück geht. Aber das Mehrkörperproblem ist nicht wirklich auflösbar. Das geht nur über numerische Simulationen und zum Glück gibt es mittlerweile die Rechnnerkapazitäten für den Zeitraum Anfang-Ende des solaren Systems. In diese Simulationen muss man Anfangsparameter einführen, und die sollten theoretisch fundiert sein. Hier sollte das Stichwort 'Hill-Sphäre' einfallen. Die Hill-Sphäre ist der abgrenzbare 3D-Raum, indem der gravitative Einfluss eines Körpers über den anderen dominiert. Bereits seit Lagrange ist bekannt, dass es in der Geometrie des Sonnensystems für jeden Körper mehrere Punkte gibt, in der sich die gravitativen Einflüsse aufheben. Das sind die sog. Lagrange-Punkte, in denen bevorzugt manche Space-Missions abgelegt werden (SOHO, Spitzer, demnächst JWST, TPF, Darwin u.a.). Die Ausdehnung der Hill-Sphäre eines Körpers im Sol-System ist in guter Näherung aus dem klassischen Newtonschen Gravitationsgesetzt ableitbar, nachdem die Gravitationskraft zwischen zwei Körpern umgekehrt proportional zum Quadrat ihrer gegenseitigen Distanz ist. Daraus folgt auch, dass die Hill-Sphäre eines Planeten umso größer ist, je weiter er von der Sonne als stärkstem gravitativen Attraktor unseres Systems entfernt ist. Das führt dazu, dass z.B. die Hill-Sphäre Plutos ~ 6mal größer ist als die der Erde, und für das Gesamtsystem bedeutender, die des Neptun ~ doppelt so groß ist wie die Hill-Sphäre des Jupiter. Im Sinne "guter planetarer Nachbarschaft" (Wuchterl) sind stabile Orbits dauerhaft im System verbleibender Planeten nur dann gewährleistet (bzw. numerisch simulierbar), wenn sich die Hill-Sphären der Planeten nicht überlappen, geschätzt wird sogar ein Mindestabstand von 2-15 Radien der Hill-Sphären, damit es nicht zu einer letalen gravitativen Interaktion kommt!

Damit dürfte auch klar sein, warum sich sowohl die Distanzen der Planeten zur Sonne, aber auch die Distanzen der Monde in den Systemen der großen Gasplaneten als exponentiell ansteigende Kurve darstellen lassen (@ Kosmos). In beiden Systemen sorgen die größer werden Hillsphären der weiter außen umlaufenden Begleiter für eine gravitative Errosion ggf. anfänglich vorhandener weiterer Orbitalkörper.

Die Dynamik dieses Systems mag noch nicht völlig verstanden sein, aber die darauf beruhenden numerischen Simulationen haben herausgearbeitet, dass jenseits von 40-42 AU ein potentiell stabiler Bereich für weitere Körper besteht, und dort werden seit ein paar Jahren auch die großen TNOs identifiziert!

Das Prinzip der Hill-Sphären wird auch auf die extrasolaren Planetensysteme übertragen. Sofern Systeme mit mehreren Planeten identifiziert wurden, ist die Überprüfung auf überlappende Hill-Sphären ein wesentliches Element, um die Zuverlässigkeit der 'discoveries' zu prüfen. Und eine neue Titius-Bode-Reihe ist für diese Systeme als reine Zahlenspielerei dann wirklich entbehrlich!

Abschließend nochmal Günther Wuchterl: "Das Sonnensystem ist nicht stabil - es ist nur alt!"

Die Zitate von Wuchterl stammen übrigens aus einem ausgezeichneten Überblicksartikel, dem ich hier vieles entlehnt habe. Der Artikel ist in einem Dossier-Heft von Sterne und Weltraum verfügbar und wiederum eine Zusammenfassung aus den SuW-Ausgaben 6 und 12 von 2002.
http://www.wissenschaft-online.de/artikel/762768&template=d_sonderhefte_detail
 
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Bynaus

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@galileo: Danke für diesen sehr fundierten und sehr interessanten Beitrag! Wirklich gut formuliert und erklärt...

Ja, die Hillsphären müssen unbedingt auch wieder ins "Next"-Projekt einfliessen... ;)

Was die Monde angeht: ich bezweifle, dass sich hier solche Gesetze formulieren lassen: viele Monde, gerade des Jupiters, kreisen auf ähnlichen Bahnen, also als "Schwarm", der sich nur in seiner Gesamtheit als "Körper" erfassen liesse, etwa so, wie n=3 den Asteroidengürtel repräsentiert.
 

galileo2609

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Bynaus schrieb:
Was die Monde angeht: ich bezweifle, dass sich hier solche Gesetze formulieren lassen: viele Monde, gerade des Jupiters, kreisen auf ähnlichen Bahnen, also als "Schwarm", der sich nur in seiner Gesamtheit als "Körper" erfassen liesse, etwa so, wie n=3 den Asteroidengürtel repräsentiert.

Ich hatte das mit den Monden nicht eigenständig geprüft, sondern mich auf die Ausführungen von 'Kosmos' verlassen, die den gleichartigen Verlauf postulierten! Sobald er aus dem Urlaub zurück ist, wollte er ja diesbezüglich weitere Infos dazu geben.
 

Bynaus

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Schon klar, meine Aussage richtete sich mehr an Kosmos. Naja, wir müssen nur daran denken, diesen Thread bei Gelegenheit wieder zu reaktivieren!
 

galileo2609

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Fundstelle Monde?

Hallo Bynaus,
hast du auf die schnelle eine möglichst fundierte Website mit den Daten für Monde im Sol-System auf Lager? :)
 

galileo2609

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Moderne Form der Titius-Bode-Reihe

galileo2609 schrieb:
So wurde für ihre allgemeine Form: Rn = 4 + 3 * 2^n (mit R für Radius des jeweils betrachteten n-ten Planeten) festgelegt, ...

Titius hatte in seiner Reihe die Entfernung der Erde von der Sonne mit 10 festgelegt. Mit dieser Festlegung funktioniert die Reihengenerierung mit der Formel Rn = 4 + 3 * 2^n (n_Erde = 1).
Mit der üblichen Distanzeinheit Erde-Sonne von 1 AU (Astronomische Einheit) wird die Formel modern in der Form: a_i = 0.4 + 0.3 * 2^n verwendet (mit a_i für den mittleren Orbitalradius des jeweils betrachteten n-ten Planeten).

Soweit als Nachtrag und zur Überleitung!
 

galileo2609

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'Bynaus'-Reihen der extrasolaren Planetensysteme

Da Bynaus als erster von uns versucht hat, eine Titius-Bode-ähnliche Reihe für die extrasolaren Systeme zu berechnen, für die mehrere Planetenkandidaten gefunden wurden, nenne ich die im folgenden präsentierten 'harmonischen' Reihen die 'Bynaus'-Reihen der extrasolaren Planetensysteme (sorry Bynaus ;) ).

Verwendet man die Konstruktionsprinzipien der Titius-Bode-Reihe für die Folge der solaren Planetenorbits, können ohne besondere Schwierigkeit auch Formeln für Reihen der extrasolaren Planetensysteme präsentiert werden. Ich stelle das mal für drei ausgewählte extrasolare Systeme dar und verwende dabei die schon referierten Parameter. Ich setze die moderne Form der Titius-Bode-Reihe zunächst allgemein:
a_i = a1 + a2 * a3^n (mit a_i für den mittleren Orbitalradius des jeweils betrachteten n-ten Planeten).

Als Anfangsbedingung setzte ich wie Titius-Bode für den jeweils ersten Planeten eines extrasolaren Systems n = -∞ [unendlich], für den zweiten Planeten n = 0 und erst ab dem dritten Planeten wird n positiv (3. Planet: n = 1, 4. Planet: n = 2, usw).

Betrachten wir exemplarisch drei extrasolare Systeme mit mehreren Planeten: Ups And, 55 Cancri, 47 Uma (alle Basisdaten lt. 'Extrasolar Planets Encyclopaedia' - http://vo.obspm.fr/exoplanetes/encyclo/index.php).

1. Ups And
Bisher drei bekannte Planeten mit den Parametern für die mittlere große Halbachse a des Orbits: b = 0.0590 AU, c = 0.8290 AU, d = 2.53 AU.
Die Formel der 'Bynaus'-Reihe für dieses extrasolare System: a_i = 0.059 + 0.77 * 1.701^n
Weitere Planeten wären nach dieser Reihe bei 7.989 AU (f), 25.506 (g), ... zu erwarten.

2. 55 Cancri
Bisher vier bekannte Planeten mit den Parametern für die mittlere große Halbachse a des Orbits: e = 0.0380, b = 0.1150 AU, c = 0.2400 AU, d = 5.2570 AU.
Die Formel der 'Bynaus'-Reihe für dieses extrasolare System: a_i = 0.038 + 0.077 * 2.623^n
Planet d hat eine Abweichung von ca. 89% bezüglich der Voraussage der 'Bynaus'-Reihe. Aber das macht nichts! Ähnlich ergeht es uns mit Neptun und Pluto im Sol-System bezüglich der originalen Titius-Bode-Reihe. Und vielleicht findet sich bei der vorausgesagten Distanz von 0.568 AU noch ein Asteroidengürtel! Weitere Planeten werden für die Distanzen 1.428 AU, 3.685 AU, 9.605 AU, ... prognostiziert.

3. 47 Uma
Bisher nur zwei bekannte Planeten, aber ein unglaublich verlockendes, dem Sol-System ähnliches System. Die beiden Planeten haben Parameter für die mittlere große Halbachse a des Orbits: b = 2.0900 AU, c = 3.7300 AU.
Dieses System verdient einen weiteren hypothetischen Planeten d, den ich mit einer mittleren großen Halbachse von 1.000 AU ansetze.
Die Formel der 'Bynaus'-Reihe für dieses extrasolare System: a_i = 1.000 + 1.090 * 2.505^n
Weitere Planeten werden für die Distanzen 7.838 AU, 18.125 AU und 43.891 AU, ... prognostiziert.

Viel Spass beim Nachrechnen! Alternativ könnt ihr schon mal Teleskopzeit beantragen! ;)
Wie schon gesagt, diese Zahlenspielereien sind zwar möglich, aber entbehrlich, da sie die realen physikalischen Eigenschaften der Systeme vielleicht intuitiv erfassen, aber in keiner Weise als erklärende Prinzipien zugrunde legen!

@Bynaus: Ich glaube, es ist an der Zeit, dass du den Eintrag zur Titius-Bode-Reihe im Astrolexikon deiner Website planeten.ch änderst! :)
 

Bynaus

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@galileo: Ganz nett gemacht! Und huch, die Ehre... ;)
Das Problem bei diesen Zahlenspielereien ist aber leider das folgende:

1. Mit drei freien Parametern passt natürlich diese Formel auf jedes System mit exakt 3 Planeten. Mit mehr Planeten (siehe 55 Cnc) stimmt es dann schon nicht mehr (leider). Jetzt erinnere ich mich auch, ich versuchte damals das ganze aufs 55 Cnc System (nicht Ups And) anzuwenden, weil man hier ja wirklich ein schlüssiges Ergebnis erwarten durfte (da es mehr als 3 Planeten sind).

2. Aber gerade bei Systemen, die über einen Hot Jupiter verfügen, wird die Regel etwas ad absurdum geführt: Schliesslich wird dann der Parameter a1 vernachlässigbar klein, und das äussere System müsste praktisch einer exponentiellen Reihe folgen. Da kann man sich dann schon fragen, ob die Positionen der Planeten ausserhalb 10 AU wirklich von der Existenz eines Hot Jupiters ganz nahe an der Sonne abhängen.

3. Selbst wenn die Regel eine physikalisches Prinzip wiederspiegeln sollte: dann kann man vielleicht wirklich nur Systeme betrachten, die unserem eigenen vom Aufbau her sehr ähnlich sind: also z.B.

http://www.planeten.ch/index.php?name=47UrsaeMajoris
http://www.planeten.ch/index.php?name=HD70642
http://www.planeten.ch/index.php?name=HD117207
http://www.planeten.ch/index.php?name=HD72659

Ein interessantes System wäre vielleicht auch:
http://www.planeten.ch/index.php?name=HD72659
 
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