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Thema: Numerische Singularitäten in den Griff bekommen?

  1. #1
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    Standard Numerische Singularitäten in den Griff bekommen?

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    Hallo,

    im vor einigen Monaten von mir erwähnten Buch Hawkings neues Universum geht es u.a. neben mathematischen, Koordinaten- und Krümmungssingularitäten auch um numerische Singularitäten.
    Dort wird aus Hawkings Überlegungen, die von Vaas schriftlich auf Deutsch verfasst worden sind, gesagt, dass solche wegen der Genauigkeit von Errechnungen zustande kommen.

    Es heißt:
    So ist beispielsweise (1 + 10^-12) - 1 = 0, wenn man auf elf Stellen genau rechnet.
    Demnach hieße es zwar (1 + 0) - 1 = 0, es folgt:
    [..] Eine geschickte Umformulierung bekommt eine solche numerische Singularität jedoch in den Griff: (1 - 1) + 10^-12 ergibt auch bei elf Stellen Rechengenauigkeit noch 10^-12
    Wie kann ich das nachvollziehen? Welche besondere Rolle spielen hier die Klammern?

    Besten Dank und Gruß:
    infiniti

  2. #2
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    Wie kann ich das nachvollziehen?
    Indem Du es einmal auf beide Arten in Deinen Rechner eingibst.
    Ein Kind, das noch nicht in Dezimalbrüchen denken und rechnen kann, kriegt's schon mit der numerischen Singularität zu tun, wenn in seiner Rechnung einfache Bruchzahlen vorkommen.
    Orbit
    Geändert von Orbit (02.04.2009 um 17:04 Uhr)

  3. #3
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    Indem Du es einmal auf beide Arten in Deinen Rechner eingibst.
    Wenn man 10^-12 auf elf Stellen ausrechnet, hat man doch den Wert 0 (0,00000000000)
    Bedeutet beim ersten Zitat:
    (1 + 0) - 1 = 0
    Beim zweiten müsste es doch so heißen:
    (1 - 1) + 0 = 0, und nicht = 10^-12.

    Man hat doch praktisch den Wert 10^-12 nicht, weil man nur 11 Stellen hinter dem Komma ausgerechnet hat, also wird aus 10^-12 (0,000000000001) eine 0,00000000000.
    Geändert von Infinity (02.04.2009 um 17:32 Uhr)

  4. #4
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    infiniti
    Es geht hier um Rundungsprobleme, welche mit der Kapazität des Rechners zu tun haben. Also nichts Weltbewegendes.

  5. #5
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    Um Berechnungen mit Computern geht es ja, das hab ich unter Numerik nicht mehr so sehr beachtet. Danke, Orbit .

  6. #6
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    Gern geschehen.
    Es macht übrigens Spass, mit Dir zu diskutieren.
    Orbit

  7. #7
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    Auch ich denke so. Bis ich bei so einigen mit einem gewissen Wissensstand ankomme, habe ich ein paar Stockwerke vor mir .
    Da die Ferien bei uns vor der Tür stehen, kann ich mich nun ganz meinen Büchern widmen.

    Gruß!
    infiniti

  8. #8
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    Zitat Zitat von infiniti Beitrag anzeigen
    Wenn man 10^-12 auf elf Stellen ausrechnet, hat man doch den Wert 0 (0,00000000000)
    Bedeutet beim ersten Zitat:
    (1 + 0) - 1 = 0
    Beim zweiten müsste es doch so heißen:
    (1 - 1) + 0 = 0, und nicht = 10^-12.

    Man hat doch praktisch den Wert 10^-12 nicht, weil man nur 11 Stellen hinter dem Komma ausgerechnet hat, also wird aus 10^-12 (0,000000000001) eine 0,00000000000.
    Hallo,

    mir erscheint das Beispiel als an den Haaren herbei gezogen. Und die Verwendung der Klammern dient nur der Verwirrung. Die Klammern sollen davon ablenken, daß im ersten Fall 10^-12 numerisch aufgelöst wurde - aber im zweiten Fall in Exponentenform stehen bleiben durfte.
    Numerisch, bei Ausführung mit einem Rechner auf 11 Stellen genau, werden beide Ergebnisse gleich sein: 0,00000000000

    Der Unterschied kommt eigentlich erst dann zum tragen, wenn man zweierlei Maß anlegt. Einmal soll ein Computer unter Ausschluß der Exponentendarstellung rechnen. Dann soll ein Mensch zur Kontrolle unter Nutzung der Exponentendarstellung gegenrechnen.
    Als Singularität würde ich das Problem nicht bezeichnen. Aber ohne Zweifel ist die begrenzt darstellbare Genauigkeit ein grundlegender Fehler jeder Simulation. Ohne Zweifel suggeriert die Begrenzung der darstellbaren Information Beziehungen die es in der Wirklichkeit dann doch nicht gibt.

    tschüs
    exi

  9. #9
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    Hallo an alle,

    Computer rechnen nicht mit Festkommazahlen sondern mit Gleitkommazahlen.

    http://de.wikipedia.org/wiki/Gleitkommazahl

    Grüße UMa

  10. #10
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    Zitat Zitat von exi Beitrag anzeigen
    Hallo,

    mir erscheint das Beispiel als an den Haaren herbei gezogen. Und die Verwendung der Klammern dient nur der Verwirrung.
    Hallo exi,

    ganz im Gegenteil - das ist ein häufig gemachter Praxisfehler, den man in der Mathematik auch "Auslöschungseffekt" nennt und den selbst Spezialisten oftmals übersehen - so ist beispielsweise die elegante Berechnung der Standardabweichung mit "Anzahl Werte", "Summe" und "Quadratsumme" sehr auslöschungsgefährdet, weil im Zähler eine Differenz zweier Quadrate (im Wesentlichen Quadratsumme und Quadrat des Mittelwertes) steht und bei einer guten Messung sehr klein wird, da die Standardabweichung ja idealerweise klein sein soll.

    Wenn man das programmiert, kriegt man da ehe man sich versieht, Wurzeln aus negativen Zahlen, weil eben bei dieser Differenzenbildung gerundet wird.

    Durch geschickteres Klammern oder durch exaktes Rechnen - in diesem Falle genügen 2-Tupel mit Zähler und Nenner und entsprechend programmierten Rechenregeln (in diesem Falle die Bruchrechenregeln) kann man solche Auslöschungsphänomene umgehen; ein Trick bei der Lösung einer quadratischen Gleichung kann auch sein, eine Lösung (die mit dem "plus") und die andere mit dem Satz von Vieta.

    Das Problem kann also dann auftreten, wenn zwei fast gleichgrosse Zahlen subtrahiert werden.


    Diese Phänomene und was man dagegen tun kann werden in der Mathematik in der "Numerik" untersucht.


    Freundliche Grüsse, Ralf

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