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Thema: Sieb des Eratosthenes

  1. #61
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    Beruflich als Doktorand. :-) Aber bei uns am Institut beschäftigen wir uns nur mit reiner Zeitintegration. In der Regel DAE. Aber keine PDE.

    Und du? Bist du Doktorand, PostDoc oder vielleicht sogar Professor für Zahlentheorie?
    Mit freundlichen Grüßen
    Major T.O.M.

  2. #62
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    Daumen hoch

    Zitat Zitat von Major T.O.M. Beitrag anzeigen
    Beruflich als Doktorand. :-)
    Ok :-)

    Aber bei uns am Institut beschäftigen wir uns nur mit reiner Zeitintegration.
    Lustigerweise habe ich zu einem vergleichbaren Thema ca. ab 1997 auch mal ca. 1,5 Jahre als Doktorand an der RWTH gearbeitet, aber dann wegen mangelhafter Ergebnisse ohne Prüfung aufgegeben. Es waren atomphysikalische Simulationen im Rahmen der Trägheitsfusion mit höchstintensiven Lasern und es ging um die Zeitentwickung von Schrödinger-Wellenfunktionen mit Hilfe von finiten Elementen, die aber komplett selbst und in C++ programmiert wurden. Mein Betreuer hatte damals auch ein paar wirklich interessante Ideen, um die Ränder des Simulationsgebietes zu berücksichtigen. Die Programmierung derselben war dementsprechend anspruchsvoll. Ich hatte damals ein kleine Bude im Zentrum von Aachen und konnte dort nicht wirklich entspannen. Gegenüber war eine große Nervenklinik und ich fand die ganze Situation insgesamt nicht wirklich motivierend.

    In der Regel DAE.
    Steht für?

    Aber keine PDE.
    partial differential equations.

    Und du? Bist du Doktorand, PostDoc oder vielleicht sogar Professor für Zahlentheorie?
    Wie oben bereits angedeutet habe ich 1994 eine Diplom-Arbeit zu den Grundlagen der Quantenmechanik in München (LMU) abgeschlossen. Meine Interessen sind also relativ breit gestreut.

    Du betreibst nicht zufälligerweise einen YouTube-Kanal so a la Breaking Lab? Den Jakob schaue ich je nach Gelegenheit ganz gern.
    Freundliche Grüße, B.

  3. #63
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    Zitat Zitat von Bernhard Beitrag anzeigen
    es ging um die Zeitentwickung von Schrödinger-Wellenfunktionen mit Hilfe von finiten Elementen
    Genauer gesagt ein https://de.wikipedia.org/wiki/Crank-Nicolson-Verfahren, das allerdings noch mit der Invertierung einer sehr großen Matrix mit komplexen Einträgen hätte kombiniert werden müssen. Für die Matrixinvertierung hätte man nur einige Funktionen aus den numerical recipes für komplexe Zahlen erweitern müssen, was ich damals aber nicht recht erkannt hatte.

    Mit dem gesamten Programmpaket hätten dann Ionisationsraten von wasserstoffähnlichen Systemen berechnet werden sollen. Es gab in diesem Umfeld einge Jahre nach mir noch eine Veröffentlichung zu diesem Thema.

    In den USA wird zu dem übergeordneten Thema auch heute noch geforscht:
    https://de.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%A4gheitsfusion
    https://en.wikipedia.org/wiki/Lawren...nal_Laboratory
    https://en.wikipedia.org/wiki/Nation...ition_Facility
    Geändert von Bernhard (15.05.2022 um 20:14 Uhr)
    Freundliche Grüße, B.

  4. #64
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    Zitat Zitat von Bernhard Beitrag anzeigen
    Steht für?
    DAE steht für differential-algebraic equations. Also Differentialgleichungssysteme mit Zwangsbedingungen.

    Zitat Zitat von Bernhard Beitrag anzeigen
    Du betreibst nicht zufälligerweise einen YouTube-Kanal so a la Breaking Lab?
    Nein
    Mit freundlichen Grüßen
    Major T.O.M.

  5. #65
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    Zitat Zitat von Major T.O.M. Beitrag anzeigen
    DAE steht für differential-algebraic equations. Also Differentialgleichungssysteme mit Zwangsbedingungen.
    Ok. Interessant. Viel Erfolg. Auf die fertige Arbeit würde ich dann gerne mal einen Blick werfen, falls möglich.
    Freundliche Grüße, B.

  6. #66
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    Zitat Zitat von Bernhard Beitrag anzeigen
    Streicht man vorab die Vielfachen von 3, so erhält man nach relativ einfacher Rechnung die zwei Reihen:

    6 * n + 1
    6 * n + 5

    wiederum mit n = 1, 2, 3, ...
    Nachtrag: Die Bezeichnung Rechnung ist hier irreführend.

    Es ist eher die Überlegung, dass man alle natürlichen Zahlen größer gleich 7 über die folgenden Reihen darstellen kann:

    2*3*n + 1
    2*3*n + 2
    2*3*n + 3
    2*3*n + 4
    2*3*n + 5

    mit n = 1,2,3....

    Die zweite, dritte und vierte Reihe liefert jedoch Zahlen, die offensichtlich durch 2 bzw 3 teilbar sind. Deshalb dürfen diese beiden Reihen gestrichen werden und es bleibt nur die erste und letzte Reihe übrig. Interessant sind auch noch die Zahlen kleiner 7. Dazu formt man die letzte Reihe wie folgt um:

    2*3*n + 5 = 2*3*n + 6 - 1 = 2*3*(n+1) - 1

    Nun kann man die fehlende Zahl 5 auch noch darstellen und erhält die beiden Reihen:

    2*3*n + 1
    2*3*n - 1

    mit n = 1,2,3....

    Betrachtet man nun alle natürlichen Zahlen die nicht durch 2, 3 und 5 teilbar sind, macht man erneut den praktikablen Ansatz:

    2*3*5*n + 1
    2*3*5*n + 2
    2*3*5*n + 3
    2*3*5*n + 4

    bis

    2*3*5*n + 29

    und kann dies gemäß der oben verwendeten Argumentation zu:

    2*3*5 * n + 1
    2*3*5 * n + 7
    2*3*5 * n + 11
    2*3*5 * n + 13
    2*3*5 * n + 17
    2*3*5 * n + 19
    2*3*5 * n + 23
    2*3*5 * n + 29

    vereinfachen, wiederum mit n = 1, 2, 3, ...

    Hier fehlen dann noch einige Zahlen kleiner als 31, die noch wie folgt berücksichtigt werden können:

    2*3*5 * n + 1
    2*3*5 * n + 7
    2*3*5 * n + 11
    2*3*5 * n + 13
    2*3*5 * n - 13
    2*3*5 * n - 11
    2*3*5 * n - 7
    2*3*5 * n - 1

    mit n = 1, 2, 3, ... und zuletzt noch

    2*3*5 - 17
    2*3*5 - 19
    2*3*5 - 23
    Freundliche Grüße, B.

  7. #67
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    Die beschriebenen Reihen erzeugen dann die sogenannten n-Primzahlen, die auch hier beschrieben werden: Cycles and Patterns in the Sieve of Eratosthenes (George Grob, arxiv.org)

    Die Arbeit enthält interessante Sätze über die n-Primzahlen und deren Zwillinge und Paare und ist auch ohne tiefgreifende Vorkenntnisse recht gut zu lesen.
    Geändert von Bernhard (11.07.2022 um 16:45 Uhr) Grund: Link auf Teil 1 des Papers gelegt
    Freundliche Grüße, B.

  8. #68
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    Für kleine n kann man aus diesen Reihen dann einfache Formeln für die Berechnng der Anzahl der n-Primzahlen unterhalb einer frei wählbaren Schranke ableiten.

    Für große n muss man jedoch alle Primzahlen bis \( \Pi_{i=1}^n p_n \) berücksichtigen und das werden sehr schnell sehr viele Primzahlen.
    Freundliche Grüße, B.

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