Stark gebündelter Laserstrahl

[TomS]

M.E. ist das Ergebnis bzgl. der eingangs gestellten Frage etwas ernüchternd. Wie seht ihr das?

Zunächst mal wird ausschließlich in der Näherung einer flachen Raumzeit mit kleinen Störungen gearbeitet. Darüberhinaus wird in dieser Näherung gezeigt, dass Erkenntnisse aus nicht-lichtartigen Energieverteilungen nicht übernommen werden können. Andererseits wissen wir aus den Arbeiten von Hawking und Penrose, dass bei genügend hoher Energiedichte Ereignishorizonte auftreten.

Daraus folgen einige mögliche Alternativen:

1. die Näherungen sind für die hier gestellte Frage untauglich
2. die Voraussetzungen bei Hawking und Penrose schließen lichtartige Energieverteilungen aus

Ich werde dem mal auf den Grund gehen, vermute jedoch, dass letzteres nicht zutrifft.

Ich denke, zu (1) schaue ich mir zunächst mal den Bonner Beam an, der keinem Laser- sondern einem inkohärenten Lichtstrahl entspricht.

The gravitational field of light (projecteuclid.org)
The gravitational field of light
W. B. Bonnor
Comm. Math. Phys. 13 (3): 163–174.
I obtain an exact solution of Einstein's equations representing the gravitational field of a steady beam of light. Another exact solution representing two parallel beams shining in the same sense is also given; they do not interact. From a study of null geodesics I conclude that a uniform beam of light is gravitationally stable. The exact solutions are plane-fronted gravitational waves. It seems that a large class of these waves have as their sources pulses and beams of light.

Zu (2) gilt, dass Penrose das Singularitätentheorem unter den Annahmen

• es liegt eine closed trapped null surface vor
• die null energy condition ist erfüllt

ableitet.

Man kann zeigen, dass für das klassische elektromagnetische Feld der Maxwellschen Theorie sämtliche null, weak und strong energy conditions erfüllt sind.

D.h. für klassische elektromagnetische Felder: wenn eine geschlossene gefangene lichtartige Fläche existiert, dann tritt eine Singularität auf. Offenbar liefern die betrachteten Energieverteilungen jedoch keine geschlossenen gefangenen lichtartigen Flächen. Der Bonnor Beam liefert nicht einmal eine selbst-fokussierende Lösung, d.h. der Strahlquerschnitt ist entlang des Strahls konstant. Dies gilt für beliebige hohe Energiedichten im Strahl.

[SRMeister]

Nochmal eine kurze Zwischenfrage, dem Verständnis wegen. Was ich so rausgelesen habe trifft folgendes zu:
1. Zwei "nicht gepulste" Lichtstrahlen die parallel verlaufen ziehen sich nicht an?
2. Zwei kurz gepulste Strahlen können sich unter bestimmten Bedingungen anziehen?
3. Ein Lichtstrahl kann sich nicht aufgrund Gravitation selbst fokussieren?

Punkt 2 würde ich so verstehen, dass wenn die beiden Strahlen parallel laufen und gleichzeitig ausgesendet wurden, dann kann die Gravitation den jeweils anderen nicht erreichen, warum sollte klar sein. Jedoch zwei parallele Pulse die nicht zeitgleich ausgesendet wurden, da kann u.U. eine Interaktion stattfinden, aber nur in eine Richtung, von dem vorauseilenden Strahl auf den hinteren. So würde ich das intuitiv verstehen was bestimmt falsch ist, auch weil es irgendwie Punk 1 oben widerspricht.

Grüße,
Stefan

[TomS]

Nochmal eine kurze Zwischenfrage, dem Verständnis wegen. Was ich so rausgelesen habe trifft folgendes zu:
1. Zwei "nicht gepulste" Lichtstrahlen die parallel verlaufen ziehen sich nicht an?
2. Zwei kurz gepulste Strahlen können sich unter bestimmten Bedingungen anziehen?
3. Ein Lichtstrahl kann sich nicht aufgrund Gravitation selbst fokussieren?

1. Ja.
2. Ich denke, das habe ich übersehen oder missverstanden. Wo genau steht das?
3. Ich weiß nicht, ob er das nicht kann; in den betrachteten Modellen tut er das jedenfalls nicht.

[SRMeister]

The gravitational field of a laser beam beyond the short wavelength approximation

Hier steht in "1. Introduction":

In the forth order in the divergence angle, a parallel co-propagating
test beam of light is found to be deflected by the gravitational field of the laser beam

und unter "8. Conclusion":

In fourth order in the divergence angle, we found a deflection of parallel co-propagating test beams.
This shows that the result of [37] and [4] only holds up to the third order in the divergence angle. This could have
been expected from the fact that the group velocity of light in a Gaussian beam along the beamline is not the speed
of light [11, 14]. However, the deflection of parallel co-propagating light beams by light in a focused laser beam decays
like the distribution of energy of the source beam with the distance from the beamline. This means that the effect
does not persist outside of the distribution of energy given by the laser beam like the frame dragging effect due to
intrinsic angular momentum.

Ich kann das wie gesagt auch mißverstanden haben, ich habe zB. keine Ahnung was mit 4th Order gemeint ist.

Grüße

[TomS]

Mit "gaussian" ist kein Wellenpaket gemeint, sondern der Strahlquerschnitt: "The laser beam is a monochromatic plane wave whose intensity distribution in the directions perpendicular to thedirection of propagation decreases with a Gaussian factor."

Das Paper dreht sich darum, über bisherige Näherungen hinauszugehen, insbs. reale Laserstrahlen, die sich (minimal) aufweiten, in denen die Gruppengeschwindigkeit nicht der Lichtgeschwindigkeit entspricht, bei denen Polarisationseffekte auftreten usw. Die diesbzl. Korrekturen werden eben als klein angenommen.

Die Autoren sind wohl eher daran interessiert, Effekte der (Quanten-)Gravitation mittels Laser zu vermessen, weniger an grundsätzlichen Fragen zur elektromagnetischen Feldern im Kontext der ART.

[ralfkannenberg]

ich habe zB. keine Ahnung was mit 4th Order gemeint ist.

Hallo SRMeister,

über diese 4.Ordnung findest Du etwas im Kapitel 7 "FOURTH ORDER - THE DEFLECTION OF PARALLEL CO-PROPAGATING TEST RAYS".

Wie Du der Conclusion entnehmen kannst wurde das Szenario bis zur 5.Ordnung durchgerechnet:

We calculated the five leading orders of the metric perturbation expanded in the divergence angle θ of the beam explicitly

Allerdings gibt es das offenbar ein Problem bei der 4. Ordnung im "divergence angle":

In fourth order in the divergence angle, we found a deflection of parallel co-propagating test beams.

Das hat zur Folge, dass man das da nich tbis zur 5.Ordnung, sondern nur bis zur 3.Ordnung berechnen konnte:

This shows that the result of [37] and [4] only holds up to the third order in the divergence angle.

Was das mit diesen Ordnungen im konkreten Fall auf sich hat weiss ich natürlich nicht, aber zumindest in der Mathematik versucht man oftmals, sehr komplizierte Funktionen durch Polynome anzunähern, auch in der "Hoffnung", dass die Terme höherer Ordnung immer kleiner werden, man diese also "vernachlässigen" kann.

Natürlich muss man mit so etwas aufpassen, weil höhere Potenzen ja typischerweise sehr gross werden können, aber in der Nähe des Punkte, an dem man die Approximation durchführt, werden diese Abweichungen immer kleiner, und zwar sehr rasch: nehmen wir an, Du entfernst Dich um 0.1 vom Approximations-Punkt, dann ist die Abweichung in 1.Ordnung also 0.1, in 2.Ordnung deren Quadrat, also 0.01, in 3.Ordnung deren 3.Potenz ("Kubik"), also 0.001 u.s.w., und wenn die Koeffizienten dieser höheren Potenzen nicht zu gross werden werden also diese Terme immer kleiner.

Natürlich kann sich das aufschauken und immer grösser werden, vor allem, wenn man sich weiter vom Approximations-Punkt entfernt als nur diese 0.1.

Letztlich ist der maximale Abstand, den man vom Approximations-Punkt abweichen darf, der "Konvergenzradius". Bei Taylorreihen wird das genutzt. So ist bei der Exponentialfunktion der Sachverhalt sogar sehr schön, denn da beträgt der Konvergenzradius unendlich, d.h. man kann überall so approximieren.


Man kann sich das auch geometrisch veranschaulichen:

So kann man beispielsweise in 0.Ordnung approximieren. Dabei approximiert man also eine Kurve so, dass sie überall den Wert des Approximations-Punktes hat. Solange man in der Nähe des Approximations-Punktes bleibt, mag das ja angehen.

Deutlich besser wird die Näherung, wenn man am Approximations-Punkt eine Tangente anlegt und dann deren Funktionswert zur Appromimation nutzt. Natürlich klappt das nicht, wenn man dabei über ein Maximum oder ein Minimum der Originalkurve hinausgeht. Was man aber sagen kann: die Tangente hat im Approximations-Punkt nicht nur denseben Funktionswert wie die Originalkurve ("0.Näherung"), sondern auch dieselbe Steigung. Man spricht nun davon, dass auch Terme 1.Ordnung berücksichtigt werden ("1.Näherung") und in der Praxis ist diese Art der Approximation, die sogenannte "lineare Approximation", oftmals völlig genügend. So pflege ich bei schnell wandernden Kometen, von denen ich nur die Positionen von 0 Uhr UT im Internet finde, linear zu approximieren, d.h. dessen an den Himmel projizierte Kepler-Bahn durch Geradenstücke, die an den 0 Uhr UT-Punkten miteinander verbunden sind, zu ersetzen. Solange man da keine Hochpräzisionsmessungen durchführt kann man damit den Kometen problemlos während der gesamten Nacht finden.

Historisch gesehen war die Lösung des Tangentenproblems einer beliebigen stetigen Kurve übrigens der Ausgangspunkt der Differenzialrechnung.


Noch besser wird die Näherung, wenn man im Approximations-Punkt nicht nur die Steigung der Originalkurve, sondern auch deren Krümmung berücksichtigt, man spricht dann von Termen 2.Ordnung, die ebenfalls berücksichtigt werden.

Im Sinne der Differentialrechnung ist die Steigung die sogenannte "1.Ableitung" und die Krümmung die sogenannte "2.Ableitung"; die Ordnung gibt also gewissermassen an, bis zu welcher Ableitung man die Approximation durchgeführt hat und ab welcher Ableitung man die verbliebenen Terme vernachlässigt.


Bitte beachte, dass das nun sehr high level beschrieben ist, d.h. im Detail sind da natürlich Fehler drin, ich hoffe aber, dass Du Dir das mit der 3., 4. und 5.Ordnung nun besser vorstellen kannst.



Freundliche Grüsse, Ralf

[TomS]

Siehe auch hier: Störungstheorie

[ralfkannenberg]

Siehe auch hier: Störungstheorie

Aufgrund von Bahnanomalien Uranus' und Neptuns haben die US-amerikanischen Astronomen Percival Lowell und William Henry Pickering Anfang des 20. Jahrhunderts mittels Störungsrechnung die Umlaufbahn des Pluto berechnet, der erst Jahrzehnte später am Lowell-Observatorium in Arizona entdeckt werden konnte.

Hallo zusammen,


auch wenn das in diesem Kontext off-topic ist (im Forum natürlich nicht), so sollte man diesen Satz im Wikipedia-Artikel ersatzlos streichen, denn nach dem Vorbeiflug der Voyager 2-Sonde an den beiden Planeten Uranus und Neptun und der damit verbundenen genaueren Massebestimmung der beiden Planeten hat sich herausgestellt, dass die nach der Entdeckung des Neptun verbliebenen Bahnanomalien der Uranusbahn lediglich ein statistisches Rauschen waren.

Der damals noch als Planet klassifizierte Pluto wurde nicht aufgrund einer Störungsrechnung, sondern aufgrund einer systematischen Himmelsdurchmusterung entdeckt, und der grosse Verdienst Percival Lowells bestand im Wesentlichen darin, dass er die finanziellen Mittel für diese systematische Himmelsdurchmusterung zur Verfügung gestellt hat. Noch unklar ist, warum bei dieser Himmelsdurchmusterung nicht auch der Zwergplanet Makemake entdeckt wurde, der helligkeitsmässig rund 1 Grösse heller als die Grenzhelligkeit war; möglicherweise stand er in einer sternreichen Region, möglicherweise waren an diesem Tag nicht optimale Beobachtungsbedingungen, möglicherweise ...

Natürlich wäre das damals etwas gewesen, wenn 1 Jahr nach der Entdeckung eines 9.Planeten (Pluto) gleich noch ein 10.Planet (Makemake) entdeckt worden wäre, und aufgrund der damaligen Duchmesserschätzungen des Pluto wäre dieser 10.Planet auf rund 30000 km Durchmesser gekommen, d.h. zwischen Erde und Uranus anzusiedeln gewesen.



Freundliche Grüsse, Ralf

[Klaus]

Da sich die Photonen des Strahls zueinander ruhen und die Ruhemasse Null ist, dürfte die gegenseitige gravitative Anziehung der Photonen Null sein.

Nein, denn nicht Ruhemasse hat Gravitation, sondern Masse/Energie.

Und wie groß sind Masse und Energie eines Photons gegenüber einem anderen, das sich mit Lichtgeschwindigkeit parallel zu ihm in gleicher Richtung bewegt?
Wenn sich ein Körper in Richtung eines Laserstrahls bewegt, sinkt die Energie mit der empfangenen Photonen mit zunehmender Geschwindigkeit. Bei Erreichen der Lichtgeschwindigkeit wäre sie Null.
Alle Photonen eines Laserstrahls bewegen sich mit Lichtgeschwindigkeit parallel in selber Richtung. Wie groß sind denn Energie und gravitative Anziehung der unendlich rotverschobenen anderen Photonen?
Die Energie errechnet sich als E = hf. Bei f=0Hz bleibt da doch nichts an Energie was anziehend wirken könnte außer einer hypothetischen von Null verschiedene Ruhemasse vorauseilender Photonen...

[Bernhard]

Hallo Ralf,

auch wenn das in diesem Kontext off-topic ist (im Forum natürlich nicht), so sollte man diesen Satz im Wikipedia-Artikel ersatzlos streichen, denn nach dem Vorbeiflug der Voyager 2-Sonde an den beiden Planeten Uranus und Neptun und der damit verbundenen genaueren Massebestimmung der beiden Planeten hat sich herausgestellt, dass die nach der Entdeckung des Neptun verbliebenen Bahnanomalien der Uranusbahn lediglich ein statistisches Rauschen waren.

vielen Dank für diesen echt interessanten Hinweis, den ich sehr gerne in die WP einbringen würde.

Hast Du dazu gute Quellenangaben?