Cremonas Fadenspiele

julian apostata

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Da bin ich doch erst neulich in der Nürnberger Stadtbibliothek auf folgendes Dossier gestoßen.

https://www.spektrum.de/alias/r-hauptkategorie/physikalische-unterhaltungen-zum-ausprobieren/1039904

Und weil die Fadenspiele von Luigi Cremona (1830-1903) wie geschaffen für eine Geogebraanimation sind, hab ich mich mal ans Werk gemacht

https://www.geogebra.org/m/bw5yqvsy
(siehe auch)
https://www.spektrum.de/KaustikAnim/ani.htm#cre

m=2 (Kardioide) ist im Eingangsszenario eingestellt. Wenn man nun den Schieber n animiert, so wird man feststellen: Erhöht man n um 1, so wandert der blaue Punkt um eine Markierung gegen den Uhrzeigersinn weiter. Der rote Punkt bewegt sich m Markierungen weiter (gegen den Uhrzeigersinn bei positiven m und im Uhrzeigersinn bei negativem m).

Verbindet man nun die beiden Punkt durch eine Strecke (Kreissehne), so stellen wir fest: Die rote Teilsehne ist |m| mal so lang, wie die blaue Teilsehne. Dasselbe Längenverhältnis gilt auch für die beiden Teilstrecken innerhalb des Kreises.

Wenn wir nun sämtliche Kreissehnen, die wir bei einem Umlauf des blauen Punktes erzeugt haben, aufzeichnen, so erhalten wir das Fadenmuster, welches wir durch Klick auf "Fäden" erhalten.

Kurve, Fäden und Hebel lassen sich durch Klick auf die entsprechenden Schaltflächen beliebig sichtbar und unsichtbar machen.

Will man die Animation automatisch ablaufen lassen, dann betätige man die Kassettenrekordertaste links unten.

Stellen wir nun mal n=25 ein und stellen uns vor, in Ecke 0 befinde sich eine punktförmige Lichtquelle. Ein Strahl, welcher sich von dort zu Ecke 25 (blauer Punkt) bewegt, wird nach Ecke 50 (roter Punkt) umgeleitet.

Stellen wir n=40 bis 60 ein, so läuft der reflektierte Lichtstrahl durch die Kaustik (wo die Fadendichte am höchste ist).

Und nun untersuchen wir m=3(Nephroide). Jetzt sollen parallele Lichtstrahlen direkt von unten kommen. Die obere Kaustik wird vom reflektierten Lichtstrahl ungefähr bei n=20 bis 30 durchquert.

Passend dazu ist auf Seite56 eine fast volle Tasse Kaffee abgebildet, welche von der untergehenden (oder aufgehenden) Sonne beleuchtet wird.

Die übrigen Einstellungen von m haben dann keine besondere Bedeutung mehr für die Optik. Aber die Kurven schauen dafür ganz interessant aus.

Vielleicht will der Ein oder Andere es selber nachlesen. Deshalb werde ich das Dossier morgen oder übermorgen wieder abgeben. In Nürnberg ist es dann unter der Regalnummer 53.00 Tre zu finden.

Ich denke aber mal, dass es auch in anderen Büchereien zu verfügbar ist.
 

julian apostata

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Das Dossier hab ich grad erst abgegeben. Es dürfte also spätestens morgen wieder ausleihbar sein.

Kann mir übrigens mal jemand erklären. was Leute dazu bewegt, bis zu 20 Bücher mit nach Hause zu nehmen und das obwohl die Lesezeit gerade mal 4 Wochen beträt? Also ich bin froh, wenn ich in der Zeit gerade mal ein Buch schaffe.

Interessante Kurven kann auch auf dem Volksfest sehen (und vor allem spüren!).

https://www.youtube.com/watch?v=1_6nigEDEXU
https://de.wikipedia.org/wiki/Breakdance_(Fahrgeschäft)
https://www.geogebra.org/m/XgKRXufE

Starten und stoppen lässt sich die automatische Animation durch Klick auf "Ani". Deren Geschwindigkeit lässt sich über v_t regeln. Manuelle Animation geht über den t-Schieber.

Schaltet nun mal die Stangen ein und ihr seht, wie die Bewegung des Punktes zustande kommt. Der besondere Kick für den Fahrgast liegt nun in den engen Schleifen. Denn obwohl der Fahrersitz sich nur langsam bewegt, hat man das Gefühl, dass eine unheimliche Macht einen packt und mit aller Gewalt in die Mitte ziehen will. Zumindest empfand ich das so.

Warum das so ist, erfahrt ihr, wenn ihr den Geschwindigkeitsvektor einschaltet (oben die Schaltfläche "v"). Zwischen den Schleifen ist er zwar recht groß, aber er ändert sich nicht so schnell. In den Schleifen ist er aber recht klein, dafür aber ändert er ziemlich schnell sowohl seinen Betrag, als auch seine Richtung. Auch sein Krümmungskreis (siehe entsprechende Schaltfläche) ist zusammengeschrumpft.

Wenn ihr den Beschleunigungsvektor (a) einschaltet (und v dabei ausschaltet), seht ihr, wie der sich aus Tangentialbeschleunigung und Zentripetalbeschleunigung zusammen setzt. Der eigene Körper wird dabei in die entgegen gesetzte Richtung des roten Pfeils gepresst.

Zoomen könnt ihr übrigens auch, wenn ihr die "+" "-" und "Z" Tasten benutzt. "Normzoom" macht das wieder rückgängig.

Wenn ihr die Kurven bei Creomas Fadenspiele erzeugen wollt, dann müsst ihr darauf achten, dass gilt:

r_1/r_2=|m| und |r_1*w_1|=||r_2*w_2|

Bei m=2 also zum Beispiel
r_1=6, w_1=2, r_2=3, w_2=4 oder -4
 

julian apostata

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Erst neulich hab ich einen interessanten Zusammenhang zwischen Halbkreis, Ellipse und Nephroide entdeckt.

https://www.geogebra.org/m/vemstpbz

Die Ellipsengleichung lautet hier: y=sqrt(1 - x²) / 2 und die der Nephroide:
Kurve[0.75cos(t) + 0.25cos(3t), 0.75sin(t) + 0.25sin(3t), t, 0, π]

Der Punkt A (wird über den Schieber a gesteuert) auf der strahlenden Ellipse hat dann die Koordinaten A=(a, sqrt(1 - a²) / 2).

Der Reflexionspunkt auf dem halbkreisförmigen Spiegel R=(a, sqrt(1 - a²)). Und nun wird der Punkt A an der Strecke (0,0) R gespiegelt.

Dieser hat die Koordinaten B=(a³, (a² + 0.5) sqrt(1 - a²)). Und ganz egal, wie man den Schieber a auch bewegt. B bleibt fest an die Nephroide gebunden!

Der blaue reflektierte Strahl endet dann beim gedachten Vollkreis am Punkt C=(4a³ - 3a, (4a² - 1) sqrt(1 - a²)).

Wer das resultierende Gesamtkunstwerk bewundern möchte, der klicke auf "Fäden" und blende die übrigen Objekte aus.

Und auch wer "Geogebra" nicht auf seinem Rechner installiert haben möchte und trotzdem wissen möchte, wie einfach es ist, diese 201 Fäden auf den Schirm zu zaubern, der kopieren folgenden Befehl...

Folge[Strecke[(a, sqrt(1 - a²)), (4a³ - 3a, (4a² - 1) sqrt(1 - a²))], a, -1, 1, 0.01]

in die Eingabeleiste (eventuell Fadenstärke und Anzahl der Fäden reduzieren).

https://www.geogebra.org/classic

So, dann wünsch ich euch noch frohe Festtage und viel Spaß beim Spielen.
 

julian apostata

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Es ist schon erstaunlich, wie manche Leute früher ohne Computer auf solche Ideen kamen.
https://de.wikipedia.org/wiki/Helge_von_Koch
https://de.wikipedia.org/wiki/Koch-Kurve

Ihr seht hier zunächst mal nur ein gleichseitiges Dreieck.
https://www.geogebra.org/m/yyf4tvg7

Nach Klick auf "+" wird von jeder Seite das mittlere Drittel weg genommen und darauf eine gleichschenklige "Haube" aufgesetzt. Der Umfang des Gebildes erhöht sich dabei um den Faktor 4/3 (also von 3s auf 4s). Und nach jedem Klick, ähnelt es immer mehr einer Eisblume.

Es gilt also: Umfang=3s*(4/3)^i. Doch wie schaut es mit dem Flächeninhalt aus? Dazu definiere ich die Fläche des Ausgangsdreiecks als A=1.

$$\\A=1+\frac{3}{9}+\frac{12}{81}+\frac{48}{729}+...\\\\\\A=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\cdot\sum_{i=0}^{\infty}\left(\frac{4}{9}\right)^{i}=1.6$$

In den Nennern der Brüche seht ihr in der ersten Zeile die Zahlen 9,81,729. Der Grund hierfür ist, dass jedes "Pseudodreieck" eine um ein Neuntel verringerte Fläche nach jeder Iteration hat. Die Zahlen im Zähler 3,12,48,192... stehen für die Anzahl der neu entstandenen "Pseudodreiecke".

Wenn ihr euch überzeugen wollt, dass die zweite Zeile mit der ersten identisch ist, dann packt einfach die Summenformel wieder aus.

Wie man diesen Wert ermittelt, seht ihr hier.
https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe
(3/4)/(1-4/9)=1,35
Dazu noch 1/4 hinzu gerechnet, ergibt 1,6. Obwohl also der Umfang ins Unendliche steigt, kommen nur maximal 60% der Ausgangsfläche hinzu.

Wikipedia kommt übrigens auf den Wert 1,8 und der ist falsch! Und obwohl das schon vor 2 Jahren auf der Diskussionsseite erwähnt wurde...
https://de.wikipedia.org/wiki/Diskussion:Koch-Kurve#Fläche_der_kochschen_Schneeflocke?

...scheint das niemand zu interessieren.

Wer übrigens beispielsweise die ersten 10 Iterationen ermitteln will, der braucht in "Geogebra" nur die folgende Zeile eingeben.
0.25+0.75*Summe[Folge[(4/9)^i, i, 0, 10]]
 
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ralfkannenberg

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Wikipedia kommt übrigens auf den Wert 1,8 und der ist falsch! Und obwohl das schon vor 2 Jahren auf der Diskussionsseite erwähnt wurde...
https://de.wikipedia.org/wiki/Diskussion:Koch-Kurve#Fläche_der_kochschen_Schneeflocke?

...scheint das niemand zu interessieren.
Hallo Julian,

auf der Wikipedia gibt es viele Trolle, die zum Teil in mehreren Gestalten auftreten, und nicht jeder hat Lust, sich dort jeden Tag "an Bein pinkeln" zu lassen.

Es steht Dir aber frei, einen Account zu eröffnen und das dort zu korrigieren. - Ich kann Dir anbieten, das dann zu sichten, sprich freizuschalten (PN an mich genügt, dann schaue ich mir das an). Ich habe zweimal mit so etwas sehr viel Zeit verloren und schliesslich meinen Artikel wieder löschen lassen, weil mir das zu anstrengend und zeitraubend war; ein neuer zu diesem Thema wurde bis heute nicht erstellt.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

ralfkannenberg

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War das mit Y....z?
Hallo pauli,

die Sache mit Yukterez konnten wir wieder in Ordnung bringen. Hierbei ist auch zu ergänzen, dass er letztlich aktuellere Referenzen beigebracht hat als ich und einige von denen waren auch gut. Ich denke, man sollte nicht in den 1950'iger Jahren stehen bleiben, sondern wenn sich Konventionen modernisieren, dann ruhig mitgehen, auch wenn ich es an der Uni in den 1980'iger Jahren noch anders gelernt habe. Das ist ja auch schon fast 40 Jahre her.

Die Sache, bei der ich meinen Artikel über Kuipergürtel-Planetoiden mit hohen Perihelen habe löschen lassen, hat aber nichts mit ihm zu tun. Leider interessiert er sich nicht so sehr für dieses Thema, sonst könnte ich da mit ihm zusammen etwas machen.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

pauli

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ah ok, glaube alles unter der Dichte eines Neutronensterns liegt interessiert ihn nicht besonders :)
 

julian apostata

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Hallo Ralf

Die Sache ist eigentlich ganz einfach. Am Anfang haben wir 3 Strecken eines gleichseitigen Dreiecks. Nach jeder Iteration vervierfacht sich die Anzahl der Strecken. (3,12,48,192,768,3072....).

Merkwürdigerweise geht der Wikipediaartikel von 4 Strecken am Anfang aus. Wenn ich also als ein Quadrat als Ausgangsfigur wähle, dann stimmt die Wikiformel. Die alternative Koch-Kurve hätte dann tatsächlich die 1,8-fache Fläche (nach unendlich viel Iterationen) des Ausgangsquadrates.

Aber warum viel Worte verlieren? Ich werde die nächsten Tage mal die Alternativkurve simulieren. Und ich bin selber schon gespannt, wie die wohl aussehen wird.

Ich kann Dir anbieten, das dann zu sichten, sprich freizuschalten (PN an mich genügt, dann schaue ich mir das an).

Genau, die schaust du dir auch mal an.
 

ralfkannenberg

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ah ok, glaube alles unter der Dichte eines Neutronensterns liegt interessiert ihn nicht besonders :)
Hallo pauli,

das trifft es. Wobei ich es umgekehrt formulieren würde: alles was über der Dichte von Neutronensternen liegt interessiert ihn ganz besonders und da investiert er auch gerne und viel Zeit.

Vor einiger Zeit hatte er mich bei Umlaufbahnen und Entfernungen von Jupitermonden unterstützt, da kannte er sich auch sehr gut aus.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

ralfkannenberg

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Genau, die schaust du dir auch mal an.
Hallo Julian,

da hast Du mich missverstanden - ich interessiere mich nicht für diese Inhalte. Vor Jahrzehnten habe ich nach meinem Studium zu diesem Thema einmal Vorlesungen besucht und hatte auch mit Haussdorf-Dimensionen zu tun, aber ich habe keine Zeit, das alles wieder aufzufrischen. Und auf der Diskussionsseite wurde das ja ganz gut erörtert.

Ich werde mir also wenn Du einen Beitrag auf der Wikipedia einstellst diesen primär auf formale Richtigkeit und nicht auf fachliche Rchtigkeit untersuchen, und wenn er diese Kriterien erfüllt, also beispielsweise keine Beleidigungen und auch keinen offensichtlichen Unsinn enthält, dann sichten.

Der Grund hierfür ist der, dass ungesichtete Beiträge defaultmässig nicht angezeigt werden und das kann sehr mühsam sein, vor allem wenn dann andere am Artikel weiterarbeiten. Transparenz erscheint mir hierbei wichtiger und wenn einem ein Irrtum unterläuft kann man diesen ja zwanglos korrigieren.


Wenn Du auf eine fachliche Überprüfung Wert legst kannst Du ja den User Digamma anpingen; ich kann Dir ebenfalls per PN zeigen, wie man das macht.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

julian apostata

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Wenn Du auf eine fachliche Überprüfung Wert legst kannst Du ja den User Digamma anpingen; ich kann Dir ebenfalls per PN zeigen, wie man das macht.

Genau das hab ich gerade getan. Vielleicht passiert ja mal endlich was. Und wenn nicht, dann kann ich auch damit leben.

Vor Jahrzehnten habe ich nach meinem Studium zu diesem Thema einmal Vorlesungen besucht und hatte auch mit Haussdorf-Dimensionen zu tun, aber ich habe keine Zeit, das alles wieder aufzufrischen.

Wieso auffrischen? Alles was man dazu braucht, ist ein wenig banale Realschulmathematik. Und wie man eine geometrische Reihe ausrechnet, braucht man ja nur nachschlagen.

Die Koch-Kurve mit Quadrat als Grundlage hab ich jetzt auch simuliert, wobei die jetzt auch nicht so besonders anders ausschaut. Ich werd sie jetzt doch nicht hoch laden, es sei denn irgend jemand will sie unbedingt sehen.
 

ralfkannenberg

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Genau das hab ich gerade getan. Vielleicht passiert ja mal endlich was.
Hallo Julian,

er hat Dir bereits geantwortet.


Wieso auffrischen? Alles was man dazu braucht, ist ein wenig banale Realschulmathematik.
Offensichtlich nicht, denn es hat den Anschein, dass es sich um zwei verschiedene Aufgabestellungen handelt.

Ich habe durchaus meine Gründe, wenn ich schreibe, dass es Zeit benötigt, sich da einzulesen, zumal ich mich auf diesem Gebiet nie vertieft habe.


Und wie man eine geometrische Reihe ausrechnet, braucht man ja nur nachschlagen.
So etwas schlägt man nicht nach, so etwas leitet man selber her. Das hat dann auch den Vorteil, dass man es dann richtig anwendet.

Der meines Erachtens eleganteste Ansatz ist der einer Person, der einen endlichen Abstand von einer Wand hat und dann immer die Hälfte des noch verbliebenen Abstandes zur Wand hingeht.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

julian apostata

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Folgende Animation ist dazu gedacht, dem Astronomielaien den Lauf der Sonne zu erklären.

https://www.geogebra.org/m/xapjh4xc

Eingestellt sind zunächst mal 50° Nord (=geographische Breite von Mainz) und Deklination 23.4° (Sommeranfang).

Man denke sich einen Zirkel. Den einen Schenkel halte man in Richtung Himmelspol (im Norden etwa Richtung Polarstern). Dreht man diesen, ohne seine Ausrichtung zu ändern, so zeigt der andere Schenkel in Richtung Sonne.

Die verschiedenen Jahreszeiten kann man durch Änderung des Deklinationswinkel simulieren.

Die Sonne setzt man in Bewegung mit dem t-Schieber oder der Kassettenrekordertaste links unten. Bei dieser Seitenansicht kommt dies aber nicht so gut rüber. Aktiviert deswegen mal die Ansicht Nord. Die beiden schwarzen Punkte markieren dabei Sonnenaufgang und Untergang.

Wie schaut's nun am 20. Juni auf 50° Süd aus? Stellt dies mal am Breitenschieber ein. Da mich diese Ansicht nicht so richtig befriedigt, hab ich noch die Ansicht Süd eingerichtet. Probiert sie mal aus.

Fällt euch was auf? Die Sonne läuft nicht mehr von links nach rechts, sondern von rechts nach links.

https://de.wikipedia.org/wiki/Entdeckungsgeschichte_Afrikas


während die Phönizier später an der Nordküste des Kontinents entlang fuhren – "durch die Säulen des Herkules bis zur Mündung des Draa". Einmal sollen sie, wie Herodot berichtet, sogar ganz Afrika umschifft haben.

Irgendwo hab ich auch mal gelesen, dass Herodot ausgerechnet den "faschen Sonnenlauf" für unglaubwürdig hielt. Hat da jemand eine Quelle hierfür? Ich weiß nämlich nicht mehr, wo ich das aufgeschnappt habe.

Ach ja, die Deklinationswerte erfahrt ihr hier, wenn ihr auf "Sonne" klickt.

https://heavens-above.com/

Unter welchen Bedingungen Mitternachtssonne und Mitternacht zustande kommen, das ermittelt ihr mal selber durch Spielen.

Viel Spaß noch.
 

julian apostata

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Ich hab mir jetzt mal aus der Bücherei die Historien des Herodot besorgt. Und im Buch 4,42 schreibt er.

Sie erzählten---was ich aber nicht glaube, vielleicht erscheint es anderen eher glaublich---daß sie während der Umschiffung die Sonne auf einmal zur Rechten gehabt hätten.

In meiner Animation zeigt dir x-Achse nach Norden und die y-Achse nach Westen. Stellen wir mal 35° Nord und Deklination 0° ein. Wenn ich nach Westen (Sonnenuntergang) mich bewege, dann hab ich die kulminierende Sonne zu meiner Linken(Süden).

Die Phönizier sind aber im roten Meer gestartet, mit dem Auftrag, über das Mittelmeer wieder zurück zu kehren. Und was sahen sie, als sie in der Nähe des Kap's der guten Hoffnung Afrika Richtung Westen umschifften?

Stellt mal 35° Süd ein. Die Sonne kulminierte zu ihrer Rechten (Norden).

Eine andere Aussage von Herodot wurde allerdings lange Zeit nicht geglaubt.

https://de.wikipedia.org/wiki/Spartathlon

Der Vater des Spartathlon ist der griechische Bote Pheidippides, der nach der Überlieferung von Herodot 490 v. Chr. während der Perserkriege von den Athenern nach Sparta geschickt wurde, um bei den Spartanern um Hilfe in der bevorstehenden Schlacht bei Marathon zu bitten. Der Bote begab sich morgens auf die 246 km lange Strecke und kam am Abend des nächsten Tages an.

246 km in 36 Sunden? Seit 1982 weiß man's. Es geht!
 
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