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Thema: Unendlichkeit: Ganz unterschiedliche unendliche Weiten

  1. #1

    Standard Unendlichkeit: Ganz unterschiedliche unendliche Weiten

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    Jeder Weltraumfan - oder zumindest jeder StarTrek-Fan - kennt sie: die unendlichen Weiten. Doch was genau ist eigentlich Unendlichkeit? Mit dieser Frage befassen sich Mathematiker und damit wird die Sache fast unendlich komplex: Manche Unendlichkeiten sind nämlich größer als andere. Es gibt sogar ein Diagramm, das Struktur in die Menge der Unendlichkeiten bringen soll. (13. August 2019)

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  2. #2
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    Standard

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    Wie ist das aber mit der Menge der reellen Zahlen auf dem Zahlenstrahl mit unendlich vielen Nachkommastellen? Es gibt keine Möglichkeit, sie durchzunummerieren.
    Hallo zusammen,

    auch wenn das korrekt ist so ist es irreführend, denn die algebraischen Zahlen haben ebenfalls unendlich vielen Nachkommastellen und sieht wie man mit dem Hauptsatz der Algebra per vollständiger Induktion über den Polynomring vom Grade n mit rationalen Koeffizienten (o.E.d.A. sogar ganzzahligen Koeffizienten, da man zu jedem solchen Polynom n.-ten Grades mit dem Hauptnenner der Koeffizienten erweitern kann) zeigen kann nur abzählbar unendlich. Diese unendlich vielen Nachkommastellen sind also nicht als Kriterium geeignet, um über Abzählbarkeit oder Überabzählbarkeit zu befinden.

    An sich geht das schon viel einfacher, d.h. ohne Polynomring und ohne algebraische Zahlen, da die Quadratwurzel von 2 ("sqrt(2)") ebenfalls unendlich viele Nachkommastellen hat und IQ(sqrt(2)), die Menge aller Ausdrücke der Form {p+q*sqrt(2) mit p und q in IQ} einen Körper bildet, der abzählbar unendlich ist, da 2-Tupel abzählbarer Mengen ganz analog zum Beweis der Abzählbarkeit der rationalen Zahlen ebenfalls abzählbar sind.

    Für den Nachweis der Körpereigenschaften braucht man nur zu nutzen, dass 1 / (p+q*sqrt(2)) mit seinem Konjugierten (p-q*sqrt(2)) erweitert werden kann und für den Nenner (p+q*sqrt(2))*(p-q*sqrt(2)) = p*p-2*q*q gilt, was eine rationale Zahl ist, der Rest ist trivial.


    Wie auch immer: das Kontinuum, also die Menge der reellen Zahlen auf dem Zahlenstrahl mit ihren unendlich vielen Nachkommastellen, kann man nicht durchnummerieren, wie Cantor im Jahre 1874 mit seinem berühmten Cantor'schen Diagonalbeweis gezeigt hat.


    Freundliche Grüsse, Ralf
    Geändert von ralfkannenberg (13.08.2019 um 23:51 Uhr)

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