TomS
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Hallo zusammen,
im Artikel Venus is not Earth’s closest neighbor wird behauptet, dass wenn man die mittleren Abstände der Planeten berechnet, Merkur der ernäheste Planet sei.
Ich versuche, die erste Formel in dem Artikel verstehen und sehe zwei Probleme:
Skizze: ich setze zwei kreisförmige Bahnen an und berechne den momentanen Abstand zweier Planeten zu
$$ d_{12}(t) = \sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \, \cos(\omega_1 - \omega_2)t} $$
Für den mittleren Abstand folgt nach Substitution
$$ \bar{d}_{12} = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} d\phi \sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \, \cos\phi} $$
Wegen Symmetrie integriere ich nur über das halbe Intervall und führe außerdem eine Substitution durch, so dass ich den Sinus zum Quadrat erhalte:
$$\cos\phi = \cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta $$
Einsetzen liefert
$$ \sqrt{(r_1 - r_2)^2 + 4 r_1 r_2 \, \sin^2\theta} $$
Das liefert zum einen ein relatives Minuszeichen, zum zweiten ein Minuszeichen des Parameters im elliptischen Integral.
Zum dritten stelle ich gerade fest, dass ein zusätzlicher Parameter fehlt! Für identischen Orbit muss der Abstand nicht Null sein, sondern kann bei phasenverschobenen Umlauf auch konstant jedoch größer Null sein. Dieser Fall fehlt in meiner Berechnung - und im Artikel.
Übersehe ich etwas? Oder ist der Artikel wirklich so falsch?
im Artikel Venus is not Earth’s closest neighbor wird behauptet, dass wenn man die mittleren Abstände der Planeten berechnet, Merkur der ernäheste Planet sei.
Ich versuche, die erste Formel in dem Artikel verstehen und sehe zwei Probleme:
- Wenn ich die beiden Radien gleichsetze, müsste der Abstand logischerweise Null sein; ist er nach der Formel aber nicht
- Wenn ich die Rechnung durchführe, erhalte ich eine ähnliche Formel, allerdings mit der Differenz der Radien - was wieder zu 1. passt
Skizze: ich setze zwei kreisförmige Bahnen an und berechne den momentanen Abstand zweier Planeten zu
$$ d_{12}(t) = \sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \, \cos(\omega_1 - \omega_2)t} $$
Für den mittleren Abstand folgt nach Substitution
$$ \bar{d}_{12} = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} d\phi \sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \, \cos\phi} $$
Wegen Symmetrie integriere ich nur über das halbe Intervall und führe außerdem eine Substitution durch, so dass ich den Sinus zum Quadrat erhalte:
$$\cos\phi = \cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta $$
Einsetzen liefert
$$ \sqrt{(r_1 - r_2)^2 + 4 r_1 r_2 \, \sin^2\theta} $$
Das liefert zum einen ein relatives Minuszeichen, zum zweiten ein Minuszeichen des Parameters im elliptischen Integral.
Zum dritten stelle ich gerade fest, dass ein zusätzlicher Parameter fehlt! Für identischen Orbit muss der Abstand nicht Null sein, sondern kann bei phasenverschobenen Umlauf auch konstant jedoch größer Null sein. Dieser Fall fehlt in meiner Berechnung - und im Artikel.
Übersehe ich etwas? Oder ist der Artikel wirklich so falsch?
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