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Thema: Die Venus ist nicht der ernäheste Planet ! ? !

  1. #11
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    Zitat Zitat von TomS Beitrag anzeigen
    $$ \bar{d}_{12} = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} d\phi \sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \, \cos\phi} $$
    Geht man von Bild 1b aus, müssen sich die Radien bei Phi = 0 addieren, d.h.
    $$ \bar{d}_{12} = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} d\phi \sqrt{r_1^2 + r_2^2 + 2 r_1 r_2 \, \cos\phi} $$
    Geht man damit zu Wolframalpha bekommt man ein Ergebnis, das nur noch etwas in Form gebracht werden muss und bereits den Vorfaktor (r1+r2) aus dem Artikel enthält.
    Freundliche Grüße, B.

    Überhaupt droht ja jedem universelle Geltung heischenden Ansatz die Sphinx der modernen Physik, die Quantentheorie - T. Kaluza, 1921

  2. #12
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    Danke!

    Ausgehend von 1a erhält man mein Vorzeichen. Aber unter dem Integral führt das auf das selbe Ergebnis, die beiden Integranden sind lediglich phasenverschoben.

    Außerdem erfüllt das vollständige elliptische Integral zweiter Art die Beziehung

    $$ (1-x) \; E\left(-\dfrac{4x}{(1-x)^2}\right) = (1+x) \; E\left(\dfrac{4x}{(1+x)^2}\right) $$

    und damit sind beide Herleitungen und Ergebnisse äquivalent.

    Der Fall identischer Radien ist etwas komplizierter; man muss die Phasenverschiebung berücksichtigen. Im Falle unterschiedlicher Radien und damit Frequenzen mittelt sich dieser Effekt jedoch heraus.

    EDIT:

    Die Abstandsfunktion hat ein Minimum für den Bahnradius des inneren Planeten.

    plot
    Geändert von TomS (24.03.2019 um 20:36 Uhr)
    Gruß
    Tom

    «while I subscribe to the "Many Worlds" theory which posits the existence of an infinite number of Toms in an infinite number of universes, I assure you that in none of them am I dancing»

  3. #13
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    Zitat Zitat von TomS Beitrag anzeigen
    und damit sind beide Herleitungen und Ergebnisse äquivalent.
    Das ist einleuchtend.

    man muss die Phasenverschiebung berücksichtigen.
    Welche Phasenverschiebung? Im Artikel ist der äußere Punkt zwar frei wählbar aber fest und der innere Punkt wandert entlang des ganzen Kreises, so dass die Aufgabenstellung eindeutig festgelegt ist.
    Freundliche Grüße, B.

    Überhaupt droht ja jedem universelle Geltung heischenden Ansatz die Sphinx der modernen Physik, die Quantentheorie - T. Kaluza, 1921

  4. #14
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    Zitat Zitat von Bernhard Beitrag anzeigen
    Welche Phasenverschiebung?
    Für zwei Planeten mit identischem Bahnradius, jedoch an unterschiedlichen Orten auf dem Orbit, und daher ggf. mit Abstand größer Null.

    Dieser Fall funktioniert anders:

    Skizze: zwei kreisförmige Bahnen mit Phasenverschiebung gamma zwischen beiden Planeten

    $$ d_{12}(t) = \sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \, \cos[(\omega_1 - \omega_2)t + \gamma]} $$

    Wie oben folgt für den mittleren Abstand

    $$ \bar{d}_{12} = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} d\phi \sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \, \cos(\phi + \gamma)} $$

    Der Effekt der Phasenverschiebung fällt bei Integration weg.


    Wenn jedoch beide Planeten auf dem selben Orbit umlaufen

    $$ r_1 = r_2 $$

    und wenn - wie im Falle des Keplerproblems - auch die Frequenzen übereinstimmen, dann folgt

    $$ \omega_1 = \omega_2 $$

    $$ d_{12}(t) = \sqrt{2r^2 - 2 r^2 \, \cos\gamma} $$

    Dies wurde im Artikel nicht betrachtet.


    Die von mir o.g. Argumente bzgl. dieses Spezialfalls sind nicht stichhaltig, da ich diese Phasenverschiebung übersehen hatte.

    Insbs. hängt die gesamte Berechnung nicht vom dritten Keplerschen Gesetz ab und gilt allgemein für beliebige Frequenzen.
    Geändert von TomS (24.03.2019 um 21:10 Uhr)
    Gruß
    Tom

    «while I subscribe to the "Many Worlds" theory which posits the existence of an infinite number of Toms in an infinite number of universes, I assure you that in none of them am I dancing»

  5. #15
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    Der Artikel will scheinbar die Bedeutung der oberen Konjunktion der inneren Planeten hervorheben. Falls die Venus von der Erde aus gesehen genau hinter der Sonne steht (obere Konjunktion), ist sie natürlich erheblich weiter von der Erde entfernt als Merkur.

    Wie wesentlich diese Einsicht ist, können wohl nur Berufsastronomen beurteilen, weil man dort dann ggf. den allgmeinen Sprachgebrauch anpassen muss.
    Freundliche Grüße, B.

    Überhaupt droht ja jedem universelle Geltung heischenden Ansatz die Sphinx der modernen Physik, die Quantentheorie - T. Kaluza, 1921

  6. #16
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    Zitat Zitat von Bernhard Beitrag anzeigen
    Wie wesentlich diese Einsicht ist, können wohl nur Berufsastronomen beurteilen, weil man dort dann ggf. den allgmeinen Sprachgebrauch anpassen muss.
    Ich halte das für Spielerei; es gibt halt verschiedene Abstandsbegriffe.
    Gruß
    Tom

    «while I subscribe to the "Many Worlds" theory which posits the existence of an infinite number of Toms in an infinite number of universes, I assure you that in none of them am I dancing»

  7. #17
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    Die wesentliche Aussage folgt deutlich einfacher, wenn man das mittlere Abstandsquadrat betrachtet:

    $$ \overline{d^2}_{12} = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} d\phi \, [r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \, \cos(\phi + \gamma)] = r_1^2 + r_2^2 $$

    Bei festgehaltenem Bahnradius eines Planeten erhält man offensichtlich kleinere mittlere Abstandsquadrate für kleinere Bahnradien des anderen Planeten.

    Ich hatte die Rechnung schon zu Beginn dastehen, jedoch den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen - Exzentrizität und elliptische Funktionen sind letztlich irrelevant.
    Geändert von TomS (25.03.2019 um 09:18 Uhr)
    Gruß
    Tom

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