Eine Uhr läuft doch auch prima wie gewohnt weiter, während sie in ein schwarzes Loch stürzt, bis kurz bevor sie kaputt geht.
Ja, das ist das Uhrenpostulat.
Erst der Vergleich zeigt Unterschiede, also wenn man sie vorher noch wieder dazu hervorholen könnte.
Richtig. Allerdings ist der Gangunterschied nur vom Gravitationspotential (und der Geschwindigkeit natürlich) abhängig und an jedem Ort unabhängig von der Beschleunigung, die der Körper erfährt.
Sind die bei Beschleunigung wirkenden Kräfte (entgegen der Trägheit) nun identisch der Gravitation oder nicht?
Nein, das ist eine echte Kraft, genauso wie die, die der Fußboden auf deine Sohlen ausübt. Die Gravitationskraft hingegen ist die Scheinkraft, die in einem beschleunigten Bezugssystem auftaucht.
Der Unterschied ist essentiell:
- Betrachtest du die Dinge in einem Inertialsystem, dann gibt es da nur die echte Kraft und die daraus resultierende Beschleunigung a=F/m. Es gibt keine Scheinkraft und deswegen keinerlei "gravitatives" Potential oder gravitative Zeitdilatation.
- Gehst du hingegen in ein beschleunigtes Bezugssystem, in dem du ruhst, dann gibt es da (weil du eben darin ruhst) keine Beschleunigung, sondern eine der echten Kraft entgegenwirkende, gleich große "Schwerkraft". Diese ist eine Scheinkraft, und in deren Potential erfahren Uhren eine Zeitdilatation relativ zu dir, wenn sie sich nicht am selben Ort aufhalten.
Beide Betrachtungsweisen liefern dasselbe Ergebnis, es ist nur die erste in vielen Fällen sehr viel einfacher und anschaulicher.
Wirkt mehr Gravitation nun zeitverlangsamend oder nicht, bei geeigneten Vergleichsmöglichkeiten?
Wie hoffentlich aus dem oben gesagten hervorgegangen ist: Es ist das Potential, das zeitverlangsamend oder -beschleunigend wirkt, und in einem um dich herum gebauten beschleunigten Bezugssystem wärst du der Vergleichspunkt, also mit Potential 0. Alle anderen Dinge würden relativ zu dir solche Effekte erfahren, je nach Potential. Aber nicht du.
Die Geschwindigkeit entsteht doch erst durch eine Beschleunigung/beschleunigtes Bezugssystem.
Wie gesagt, hier musst du unterscheiden: Die Geschwindigkeit entsteht durch Beschleunigung. Das kannst du hervorragend in einem Inertialsystem beschreiben; dort gibt es keine Scheinkräfte, und alle Zeitdilatation rührt von Geschwindigkeit her.
In einem beschleunigten Bezugssystem hingegen entsteht eben keine Geschwindigkeit bei dir, du bleibst im Koordinatenursprung. Die anderen bewegen sich stattdessen. Dafür gibt es Scheinkräfte, deren Dilatation alles wieder zurechtrückt, so dass man in Summe auf dasselbe Ergebnis kommt.
Ja, aber, wenn der Eine immerzu beschleunigt, insgesamt passend, um sich am Ende wieder in Ruhe neben dem Anderen wiederzufinden, dann sind die Weltlinien des Einen auch länger. Warum?
Geschwindigkeit=Neigung der Weltlinie. Beschleunigung=Krümmung der Weltlinie. Antwort: eine Weltlinie ist gerade, die andere krumm, deswegen sind sie unterschiedlich lang, obwohl sie die selben Ereignisse miteinander verbinden. Das ist wirklich genauso wie mit Bleistiftlinien auf Papier, nur dass hier die krumme Linie die kürzere ist.
Weil er bei den Beschleunigungen Gravitation erfährt und diese mit Potentialtöpfen beschrieben seine Weltlinie Umwege machen lässt. Analog zu einer Draufsicht von oben als gerade Linie, aus der Ebene betrachtet allerdings eine Achterbahnfahrt.
Nein, nein, da wird die Raumzeit nicht krumm, bloß weil du deinen Raketenantrieb anwirfst. Die Weltlinien sind unterschiedlich lang, weil eine krumm ist und die andere nicht, fertig aus. Ob du das jetzt auf "gravitative" oder kinematische Zeitdilatation zurückführst ist egal, das hängt von deinem gewählten Koordinatensystem ab, das hat nichts mit Raumzeitkrümmung zu tun. *
Man könnte, so gesehen, die Geschwindigkeit(en) auch völlig ignorieren und sich nur auf die Beschleunigungsphasen konzentrieren, um das Paradox zu lösen.
Du kannst in ein beschleunigtes Bezugssystem gehen. Dort hängt der Effekt dann nicht nur von der Relativgeschwindigkeit ab, sondern auch noch von der Beschleunigung
und vom Abstand. Das Potential der Scheinkraft ist ja ausschlaggebend, nicht die Beschleunigung selbst! Das macht es nicht einfacher, da der Abstand ja wieder von der Geschwindigkeit abhängt (und der Gleichzeitigkeitsdefinition). Mit "Geschwindigkeit ignorieren" wird das also nichts.
*Natürlich kannst du, wenn du krumme Koordinaten verwendest, krumme Linien gerade wirken lassen und gerade krumm. Die Länge der Kurven ist aber unabhängig vom Koordinatensystem. Im krummen Koordinatensystem hast du einfach eine andere Metrik, da kannst du die Krümmung nicht einfach ablesen. Das geht nur in "geraden" Koordinaten, in Inertialsystemen.
Die Krümmung einer Weltlinie (im lokalen IS) ist die Eigenbeschleunigung. Diese ist invariant, genauso wie die Länge. Geodäten sind gerade, echt beschleunigte Kurven nicht, egal in welchem Koordinatensystem. Das gilt auch in gekrümmter Raumzeit. Richtig anschaulich und eindeutig ist das natürlich nur in flacher Raumzeit, die wir hier vorliegen haben.