Bilinearformen und Skalarprodukte für Dummies

ralfkannenberg

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Hallo zusammen,

man findet ja immer wieder Bücherserien "für Dummies", was synoinym verstanden werden soll, dass es sich an Anfänger richtet. Ich versuche mal einen solchen Ansatz für die ganze Thematik "Metrik", "Norm", "Abstand", in verallgemeinerter Form auch "Halbmetrik" bzw. "Pseudo-Metrik", Minkowski-Metrik", "Abstandsfunktion" und so weiter.

Der grundlegende Begriff hierfür ist der Begriff der "Bilinearform" und des "Skalarproduktes", ich schreibe das für die Leserinnen und Leser, die das schon einmal gehört haben.

Ich will in diesem Thread aber ganz am Anfang anfangen und nur voraussetzen, dass man weiss, dass es Vektoren gibt; ich wede mich überdies weitgehend auf den zweidimensionalen Raum beschänken.

Wer auch den Vektorbegriff noch nie gehört hat, kann sich so einen Vektor als "Doppelzahl" vorstellen, wobei diese Zahlen nichts miteinander zu tun haben dürfen. Etwas hochgestochener nennt man letzteres auch "lineare Unabhängigkeit".


1. Einleitung:

Seien nun also mal 2 solcher zweidimensionaler Vektoren gegeben:

(a,b) und (c,d).

Gewiss, ein Naurwissenschaftler würde jetzt (x1,y1) und (x2,y2) schreiben und ein jeder weiss, dass man da manchmal vor lauter Indizes den sogenannten Indexsalat - in der Schweiz mitunter weniger vornehm als "Indexpuff" bezeichnet, erhält.

Ich will aber keinen Indexsalat und wir sind auch nur im 2-Dimensionalen, also heissen unsere beiden Vektoren der Einfachheit halber (a,b) und (c,d).

Und ich brauche auch noch zwei reelle Zahlen (rational würde an sich genügen, aber wir wollen jetzt nicht minimalistisch sein); diese nenne ich r und s.

a,b,c und d sind übrigens auch reelle Zahlen; sie sind die Komponenten der beiden Vektoren:

a die erste Komponente von (a,b)
b die zweite Komponente von (a,b)
c die erste Komponente von (c,d)
d die zweite Komponente von (c,d)


2. Die Funktion B:

Und nun definiere ich zum Spass einmal eine Funktion und wir wollen diese im Folgenden näher betrachten. Es wird sich zeigen, dass diese Funktion äusserst nützliche Eigenschaften aufweist.

Diese Funktion nenne ich "B"; sie hat als Argumente zwei Vektoren (z.B. gerade unsere beiden Vektoren) und zwei reellen Zahlen und sie wird auf eine Zahl abgebildet.

Diese Funktion bildet somit unsere beiden Vektoren auf eine Zahl ab, und ich will, dass sie das wie folgt macht:

B ----> r*a*c + s*b*d

Das sieht auf den ersten Blick etwas komisch aus, hat aber folgende Idee:

1. wir multiplizieren die beiden ersten Komponenten unserer beiden Vektoren und geben dem Produkt noch ein Vielfaches
2. wir multiplizieren die beiden zweiten Komponenten unserer beiden Vektoren und geben dem Produkt noch ein (i.a. anderes) Vielfaches
3. wir addieren (1) und (2)

Ein Mathematiker würde das nun so schreiben:

B{r,s} [ (a,b) , (c,d) ] = r*(a*c) + s*(b*d)

Das sieht nun alles sehr willkürlich aus, aber das soll uns nicht weiter stören.

Also nochmal:
- wir multiplizieren die beiden ersten Komponenten unserer beiden Vektoren und vervielfältigen ihr Produkt um r
- wir multiplizieren die beiden zweiten Komponenten unserer beiden Vektoren und vervielfältigen ihr Produkt um s
- wir addieren die beiden Produkte

In einem höher-dimensionalen Raum würde man das übrigens genau gleich machen, nur dass man da eben mehr Komponenten hat; dort würde man also die ersten Kompoenten multiplizieren und vervielfältigen, dann die zweiten und die auch mit der gleichen oder einer anderen Zahl vervielfältigen, dann die dritten Komponenten multiplizieren und mit irgendeiner anderen oder gleichen Zahl vervielfältigen, dasselbe mit den vierten, fünften usw. Komponenten, und dann am Ende alle diese Produkte aufaddieren.


3. Beispiele:

Beispiel 1:
Vektor 1 = (2,3), Vektor 2 = (4,5); r=10, s=20:

B{r,s} [ (a,b) , (c,d) ] = r*(a*c) + s*(b*d)

Setzen wir das ein:

B{10,20} [ (2,3) , (4,5) ] = 10*(2*4) + 20*(3*5) = 10*8 + 20*15 = 80+300 = 380


Beispiel 2:
Vektor 1 = (1,0), Vektor 2 = (0,1); r=1, s=1:

B{r,s} [ (a,b) , (c,d) ] = r*(a*c) + s*(b*d)

Setzen wir das ein:

B{1,1} [ (1,0) , (0,1) ] = 1*(1*0) + 1*(0*1) = 1*0 + 1*0 = 0

Wer sich ein bisschen mit Vektoren auskennt, der sieht, dass die beiden Vektoren (1,0) und (0,1) senkrecht stehen und man kann bewiesen, dass B{1,1} dann 0 wird, wenn die beiden Vektoren senkrecht stehen.

Beispiel 3:
Vektor 1 = (2,0), Vektor 2 = (2,0); r=1, s=1:

B{r,s} [ (a,b) , (c,d) ] = r*(a*c) + s*(b*d)

Setzen wir das ein:

B{1,1} [ (2,0) , (2,0) ] = 1*(2*2) + 1*(0*0) = 1*4 + 1*0 = 4

Nun habe ich zweimal denselben Vektor eingesetzt und wer sich schon ein bisschen mit Vektoren auskennt, sieht, dass die Quadratwurzel von B{1,1} bei zweimal demselben Vektor seine Länge ergibt.


Die beiden Beispiele 2 und 3 dürften Motivation genug sein, um zu sehen, dass es sich lohnt, diese Funktion B{r,s} näher anzuschauen.


OK, ich denke, das ist schon schwer verdaulich genug, deswegen beende ich diesen Beitrag mal an dieser Stelle.
 
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sanchez

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Hallo Ralf,
danke für den Thread, gute Idee.

Zum Beispiel 2.)
B{1,1} [ (1,0) , (0,1) ] = 1*(1*0) + 1*(0*1) = 1*0 + 1*0 = 0
Wenn man die drei Vektoren {1,1},(1,0),(0,1) addiert kommt 0 raus.=>Die drei Vektoren sind linear unabhängig. Sie würden gezeichnet ein Dreieck ergeben.

Die Funktion B ist doch die Formel für die Linearkombination von Vektoren, oder?

Unter linearen Unabhängigkeit verstehe ich:
-Man hat eine Anzahl von Vektoren.
-man darf jeden Vektor verlängern oder verkürzen
-wenn man dann alle Vektoren miteinander addiert (in der richtigen Länge) startet jeder Vektor am Ende eines Vektors und endet am Startpunkt des nächsten Vektor („so ein geschlossenes Vektorsystem“, wie in 2.) ein Dreieck)

Warum ist lineare Unabhängigkeit wichtig?:confused:
Wie geht’s weiter?

Viele Grüsse
sanchez
 

Dgoe

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:D Das fand ich persönlich jetzt sehr gut nachvollziehbar und verständlich. Vielleicht 1-2 Fragen dennoch.

- Warum werden hier Klammern gesetzt:
r*(a*c) + s*(b*d)
Du schreibst, zwar, dass man sich nicht daran stören soll, ok, aber die Klammern sind doch nur Dekoration für die Veranschaulichung der Reihenfolge, könnte man auch weglassen, oder?

- Bei Beispiel 3
Nun habe ich zweimal denselben Vektor eingesetzt und wer sich schon ein bisschen mit Vektoren auskennt, sieht, dass die Quadratwurzel von B{1,1} bei zweimal demselben Vektor seine Länge ergibt.

Gilt das immer? auch wenn eine Seite nicht Null ist?

Mir fällt bei dieser Schreibweise auf,
B{1,1} [ (1,0) , (0,1) ]
dass man die Inhalte schnell mit Bruchzahlen verwechseln kann.


Gruß,
Dgoe
 

Dgoe

Gesperrt
Hallo sanchez,

...
Wenn man die drei Vektoren {1,1},(1,0),(0,1)

Ich denke es gibt nur 2 Vektoren, in den ersten geschweiften Klammern stehen die Werte der beiden Vielfachen um die vervielfacht werden soll.

Das mit der linearen Abhängigkeit habe ich mich auch gefragt, wollte erst mal den Artikel Vektor in Wikipedia dazu lesen.

Auf die Fortsetzung freue ich mich schon.

Gruß,
Dgoe
 
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Dgoe

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- Bei Beispiel 3
Gilt das immer? auch wenn eine Seite nicht Null ist?
Habe mal angefangen zu probieren. Also ich habe beispielsweise 2 gleiche Vektoren hier:

B{1,1} [ (2,3) , (2,3) ] = 1*(2*2) + 1*(3*3) = 1*4 + 1*9 = 13

Die Länge des Vektors ist hier doch 1 oder? also die Differenz der beiden Zahlenwerte des Vektors. Die Quadratwurzel von 13 ist aber anders (3,6...). Also hat die Null doch seine Wichtigkeit, nehme ich nun schwer an. Oder falsch verstanden...

Gruß
Dgoe
 

ralfkannenberg

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Bemerkung: ich habe bei der Zitierung alle Farben-Codes entfernt, da sonst "komische Effekte" auftraten


- Warum werden hier Klammern gesetzt:
Hallo Dgoe,

nur der besseren Übersichtlichkeit halber.


Du schreibst, zwar, dass man sich nicht daran stören soll, ok, aber die Klammern sind doch nur Dekoration für die Veranschaulichung der Reihenfolge, könnte man auch weglassen, oder?
Da das Assoziativgesetz bei den reellen Zahlen gültig ist kann man die Klammern auch weglassen; ich wollte andeuten, dass das ganze auch mit Vielfachen r und s funktioniert, die von 1 verschieden sind.


Gilt das immer? auch wenn eine Seite nicht Null ist?
Diese Frage verstehe ich nicht; könntest Du sie bitte präzisieren oder - noch besser - ein konkretes Beispiel nennen, bei dem eine Seite nicht Null ist ?

Mir fällt bei dieser Schreibweise auf, dass man die Inhalte schnell mit Bruchzahlen verwechseln kann.
Ja, deswegen empfiehlt es sich sehr, auf Papier die Komponenten übereinander zu schreiben.


Freundliche Grüsse, Ralf
 
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ralfkannenberg

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Zum Beispiel 2.)
B{1,1} [ (1,0) , (0,1) ] = 1*(1*0) + 1*(0*1) = 1*0 + 1*0 = 0
Wenn man die drei Vektoren {1,1},(1,0),(0,1) addiert kommt 0 raus.
Hallo sanchez,

das ist ja schön und gut, aber ich im Zusammenhang mit der Funktion B nicht von 3 Vektoren gesprochen.

EDIT 16:52 Uhr: Wie Dgoe bemerkt hat war meine Notation im Eingangsbeitrag missverständlich - sorry for inconvenience ! (End EDIT)

Diese Funktion B - Du ahnst es sicherlich, das "B" steht für Bilinearform - bildet nur 2 Vektoren auf eine Zahl ab; anschaulich gesprochen ist diese Zahl der Winkel zwischen den beiden Vektoren. Jedenfalls dann, wenn man die beiden Vielfachen r=s=1 wählt. Man muss das noch ein bisschen umrechnen, dann hat man den Cosinus.

=>Die drei Vektoren sind linear unabhängig. Sie würden gezeichnet ein Dreieck ergeben.
Vorsicht - es ist umgekehrt: diese 3 Vektoren sind linear abhängig. Eben genau weil sie ein Dreieck ergeben würden. Wenn man diese 3 Vektoren addiert, so erhält man den Nullvektor und das geht nur, wenn sie linear abhängig sind.

Die Funktion B ist doch die Formel für die Linearkombination von Vektoren, oder?
Nein: die Linearkombination von Vektoren ist einfach nur eine beliebige Vielfachenbildung und Summierung dieser Vektoren.

Die Physiker lieben ja Dimensionsgleichungen, das kann man hier auch machen:

Die Funktion B liefert eine Zahl, während die Linearkombination einen Vektor liefert.


Unter linearen Unabhängigkeit verstehe ich:
-Man hat eine Anzahl von Vektoren.
-man darf jeden Vektor verlängern oder verkürzen
-wenn man dann alle Vektoren miteinander addiert (in der richtigen Länge) startet jeder Vektor am Ende eines Vektors und endet am Startpunkt des nächsten Vektor („so ein geschlossenes Vektorsystem“, wie in 2.) ein Dreieck)
Deswegen ist es gut, wenn Du nicht das nimmst, was Du darunter "verstehst", sondern das, wie es definiert ist ;)

Auch wenn Du mit Deiner Ansicht "ganz in der Nähe bist", so ist sie trotzdem komplett falsch. Bitte nicht böse sein, dieses "komplett falsch" lässt sich ganz einfach korrigieren, denn wie gesagt: Deine Ansicht ist ganz nahe an der richtigen Form dran !

Warum ist lineare Unabhängigkeit wichtig?:confused:
Das wäre Thema eines eigenen Threads. Kurz gesagt: Wie Du korrekt geschrieben hast kann man Linearkombinationen von Vektoren bilden und deren Ergebnis ist wieder ein Vektor.

Nun kann man die Menge aller Vektoren betrachten, die sich durch Linearkombination ausgewählter Vektoren ergibt. Immer wenn Du aus dieser Menge einen Vektor entfernen kannst und die Menge der Ergebnisvektoren dennoch gleich bleibt war der entfernte Vektor linear abhängig.

Oder anders formuliert: linear abhängige Vektoren können sich gegenseitig erzeugen, linear unabhängige Vektoren indes nicht - sie sind wie eine "Basis", deren Mitglieder man nicht durch kluges Kombinieren der anderen erzeugen kann. Die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren, die man braucht, um alle diese Ergebnisvektoren zu erhalten, heisst übrigens "Dimension".

@Spezialisten: das ist natürlich in dieser Form ungenau, aber es wäre vermutlich irreführend, wenn ich an dieser Stelle von einem Unterraum sprechen würde, der von den betrachteten linear unabhängigen Vektoren aufgespannt wird, und dass sich die Dimension natürlich auf einen solchen Unterraum bezieht und nicht auf "irgendetwas".


Freundliche Grüsse, Ralf
 
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ralfkannenberg

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Ich denke es gibt nur 2 Vektoren, in den ersten geschweiften Klammern stehen die Werte der beiden Vielfachen um die vervielfacht werden soll.
Danke Dgoe,

ich war gar nicht auf die Idee gekommen, dass man dies so verstehen kann. Tatsächlich verwende ich hier der Einfachheit halber eine "Privatnotation", doch wie sich gezeigt ist ist sie missverständlich.

Es ist also ganz genau wie Du es geschrieben hast: die Zahlen in den {}-Klammern sollen die Vielfachen angeben und die Zahlen in den ()-Klammern genem die Funktionsargumente an.

Ich hätte das im Eingansgbeitrag deutlicher hervorheben sollen.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

ralfkannenberg

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Die Länge des Vektors ist hier doch 1 oder? also die Differenz der beiden Zahlenwerte des Vektors. Die Quadratwurzel von 13 ist aber anders (3,6...). Also hat die Null doch seine Wichtigkeit, nehme ich nun schwer an. Oder falsch verstanden...
Hallo Dgoe,

hübsche Übungsaufgabe: wie lang ist der Vektor (2,3) ?

Tipp: (2,3) steht ja für 2*(1,0) + 3*(0,1); dies kannst Du in ein Koordinatensystem eintragen mit (1,0)-Richtung gleich der x-Richtung und (0,1)-Richtung gleich der y-Richtung, d.h. der Vektor (2,3) geht 2 Einheiten nach rechts und 3 Einheiten nach oben.

Nun kannst Du den Pythagoras anwenden, da im Nullpunkt ja ein rechter Winkel vorliegt.

Sei also L die Länge des Vektors. Dann gilt nach dem Satz des Pythagoras: L^2 = 2^2 + 3^2 = 4+9 = 13.

Das ist übrigens auch der Wert der B-Funktion, da kam ja auch 13 heraus. Nun die Quadratwurzel und Du hast die Länge des Vektors, also Quadratwurzel aus 13.

Das klappt natürlich nur deswegen so schön, weil r=s=1.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

ralfkannenberg

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Wie geht’s weiter?
Hallo zusammen,

da morgen Feiertag ist will ich die nächste Frage schon mal aufwerfen, aber wir sollten trotzdem erst alle unklaren Punkte beseitigen und diese Frage nur als nächstes "Zwischenziel" ansehen:

Was passiert denn, wenn man B{r,s} [ (a1,b1)+(a2,b2) , (c,d) ] betrachtet ?


Dem Laien wird diese Frage vermutlich etwas unsinnig oder an den Haaren herbeigezogen vorkommen, tatsächlich ist sie aber essentiell. Deswegen lohnt es sich, dass wir uns für die Beantwortung dieser Frage auch ausreichend Zeit nehmen. - Immerhin konnten wir mit Hilfe der Funktion B{1,1} die Länge des Vektors (2,3) bestimmen.


Freundliche Grüsse, Ralf
 
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ralfkannenberg

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Habe mal angefangen zu probieren. Also ich habe beispielsweise 2 gleiche Vektoren hier:

B{1,1} [ (2,3) , (2,3) ] = 1*(2*2) + 1*(3*3) = 1*4 + 1*9 = 13
Hallo zusammen,

noch eine einfachere Aufgabe für den Feiertag, inspiriert von Dgoe's Beispiel:

Was ergibt B{1,1} [ (2,3) , (3,-2) ] ?

Und was ist der Cosinus des Winkels zwischen (2,3) , (3,-2) ? Nicht den Winkel zu berechnen versuchen, sondern einfach die beiden Vektoren auf ein Blatt Papier aufmalen; den Winkel "sieht" man dann sofort. Und dessen Cosinus findet man dann auch einfach heraus.


Und nicht erschrecken, wenn beides Mal dasselbe herauskommt - die Funktion B{1,1} kann das nämlich auch :)


Freundliche Grüsse, Ralf
 

Dgoe

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Tipp: (2,3) steht ja für 2*(1,0) + 3*(0,1); dies kannst Du in ein Koordinatensystem eintragen mit (1,0)-Richtung gleich der x-Richtung und (0,1)-Richtung gleich der y-Richtung, d.h. der Vektor (2,3) geht 2 Einheiten nach rechts und 3 Einheiten nach oben.

Nun kannst Du den Pythagoras anwenden, da im Nullpunkt ja ein rechter Winkel vorliegt.

Sei also L die Länge des Vektors. Dann gilt nach dem Satz des Pythagoras: L^2 = 2^2 + 3^2 = 4+9 = 13.

Das ist übrigens auch der Wert der B-Funktion, da kam ja auch 13 heraus. Nun die Quadratwurzel und Du hast die Länge des Vektors, also Quadratwurzel aus 13.

Das klappt natürlich nur deswegen so schön, weil r=s=1.

Hallo Ralf,

Ich hatte das mit der Vektorlänge völlig falsch und naiv mit 3-2=1 verstanden (nach dem Motto: warum kompliziert, wenn es auch einfach geht? Antwort ist nun klar: weil es dann falsch ist...hehe), peinlich ist mir das. Jetzt habe ich es aber wunderbar verstanden, du kannst es gut erklären, finde ich. Wenn ich mit einem Zirkel die Länge abgreife, dann schneidet der Kreis (Mittelpunkt im Ursprung) auch ziemlich genau die 3,6... auf der Koordinatenachse, also die Quadratwurzel aus 13.

B{1,1} heißt r=s=1, gell?

P.S.: Mit Null meinte ich die Nullen im Beispiel 3, hat sich aber erledigt.

Gruß,
Dgoe
 

ralfkannenberg

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Hallo Dgoe,

Glückwunsch, Du bist viel schneller als geplant. #12 und #13 sind korrekt; und der Cosinus(90°) ist wie Du vermutlich längst vermutet hast gleich 0.


Super ! Freundliche Grüsse, Ralf
 

ralfkannenberg

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B{r,s} [ (a1,b1)+(a2,b2) , (c,d) ] = r*((a1+a2)*c) + s*((b1+b2)*d) = [ohne Etraklammern] r*(a1+a2)*c + s*(b1+b2)*d
Hallo Dgoe,

äh ja gut ... - ist schon richtig, nur ... - ich will auf etwas anderes hinaus.

Ok, eigentlich kein Problem:

Berechne mal B{r,s} [ (a1,b1) , (c,d) ] + B{r,s} [ (a2,b2) , (c,d) ] und vergleiche das mit Deinem Ergebnis.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

ralfkannenberg

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und der Cosinus(90°) ist wie Du vermutlich längst vermutet hast gleich 0.
Hallo zusammen,

hier muss aber noch unbedingt etwas ergänzt werden, sonst kann ich heute Nacht nicht ruhig schlafen:

Wenn ich den Winkel zwischen zwei Vektoren betrachte und mit dem Winkel vergleiche, der sich zwischen zwei Vektoren in je derselben Richtung aber unterschiedlicher Länge befindet, so sind diese Winkel natürlich gleich - der Winkel hängt ja nur von der Richtung der beiden beteiligten Vektoren ab.

Die B-Funktion liefert aber einen anderen Wert; man ahnt aber, dass wenn man da irgendwie geeignet durch die Länge dieser Vektoren dividiert, d.h. die Vektoren "normiert", dass dann das Resultat gleich sein wird, und ja - es läuft dann natürlich auf den Cosinus des Winkels dazwischen hinaus. Bei senkrechten Vektoren wie oben im Beispiel spielt diese Normierung keine Rolle, das 0 multipliziert mit irgendeiner Normierung natürlich wieder 0 ergibt.

Aber darauf werden wir noch später kommen; das Schöne an der ganzen Sache ist, dass diese Normierung eben auch mithilfe von B{1,1} bewerkstelligt wird.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

Dgoe

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Hallo Ralf,

sobald Du wieder Zeit hast, kannst Du das bitte nochmal mit anderen Worten erklären,
... und mit dem Winkel vergleiche, der sich zwischen zwei Vektoren in je derselben Richtung aber unterschiedlicher Länge befindet...
denn exakt diesen Ausschnitt habe ich überhaupt nicht verstanden, auch wenn die Winkel gleich sein sollen.

Ich fasse mein hier erlerntes Verständnis dazu einmal grob zusammen:
Die Vektoren hier entspringen dem Koordinaten-Ursprung und enden an den benannten Koordinaten. Bei zwei Vektoren haben wir also 2 Winkel, die auch gleich sein können (bei 180°) und gemeinsam einen Vollkreis (360°) bilden. Ein Winkel kann auch Null sein, dann ist der andere 360 Grad. Aber wie lange die Vektoren/Strecken/Linien/"abgeschnittenen Geraden" sind, oder ob es unendlich lange Strahlen sind, spielt für die Winkel doch keine Rolle? Irgendwie meintest Du etwas anderes, vermute ich mal schwer, nur was? Jedenfalls bilden die Vektoren doch die Schenkel des Winkels, der Winkel.

...Die B-Funktion liefert aber einen anderen Wert; ...
verstehe ich mangels Verständnis des Kontext nun auch nicht. Vielleicht helfen Beispiele oder falls Du online eine Grafik findest und den passenden Link dazu postest, wäre das möglicherweise auch sehr hilfreich.

Dass man mit Hilfe des Cosinus und Mittelung (ähm oder so) später irgendwie weiter kommt, klingt jetzt schon intuitiv nachvollziehbar. Nur hängt es bei mir jetzt schon/noch am Bezug worauf...

Gruß,
Dgoe
 

Dgoe

Gesperrt
Hallo Ralf,
Berechne mal B{r,s} [ (a1,b1) , (c,d) ] + B{r,s} [ (a2,b2) , (c,d) ] und vergleiche das mit Deinem Ergebnis.
ok.

(r*a1*c + s*b1*d) + (r*a2*c + s*b2*d) /Klammern weg

<=> r*a1*c + s*b1*d + r*a2*c + s*b2*d /umgruppiert

<=> r*a1*c + r*a2*c + s*b1*d + s*b2*d

<=> r*(a1+a2)*c + s*(b1+b2)*d

Ich war mir ehrlich gesagt, wegen mangelnder Praxis, zuerst nicht mehr ganz sicher, ob das letzte so erlaubt ist, auch wenn nahe liegend, daher habe ich erst mit Zahlenbeispielen mal nachgerechnet
2*3*4+2*5*4+6*10*8+6*100*8=24+40+480+4800=5344
2*(3+5)*4+6(10+100)8=64+660*8=5280+64=5344

Hier mein Ergebnis zur vorherigen Aufgabe nochmal zum Vergleich
r*(a1+a2)*c + s*(b1+b2)*d

Ja, sehen sich zum Verwechseln ähnlich ;)

Also, das heißt:
B{r,s} [ (a1,b1) , (c,d) ] + B{r,s} [ (a2,b2) , (c,d) ] = B{r,s} [ (a1,b1)+(a2,b2) , (c,d) ]

Ich kann mir das aktuell allerdings geometrisch noch nicht vorstellen.

Gruß,
Dgoe
 
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