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Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Längenkontraktiom und Magnetismus



julian apostata
07.01.2017, 12:02
Hallo, ich hab mal wieder ein neues Applet gebastelt. Mit dessen Hilfe versteh ich den Zusammenhang jetzt ein wenig besser.

https://www.geogebra.org/m/F6K9gneb
http://www.physik.uni-wuerzburg.de/einfuehrung/SS06/21%20Elektromagnetismus%20und%20Relativitaet.pdf

Ihr seht erst mal im Eingangsszenario einen Ausschnitt aus einem Stromkreis. (Ihr könnt euch auch ein Stromquadrat vorstellen). Die dicken grünen Punkte sind Ionen und die kleineren roten sind Elektronen.

Die Ionen sind mit v (im Bildschirmsystem) unterwegs und die Elektronen mit i (im Ionensystem). Und ich fall mal gleich mit der Tür ins Haus. Was nämlich jetzt kommt, lässt sämtliche "SRT-Kritiker" im Dreieck hupfen. Wenn euch das stört, dann macht mal bitte einen Extrathread auf, anderenfalls geht das, was ich hier sagen möchte, mal wieder total unter.

Verstellt erst mal nur die Zeit und die Elektronengeschwindigkeit. Findet hier etwa keine Längenkontraktion statt, oder was?

Doch, aber erst mal vergrößern sich die durchschnittlichen Abstände der Elektronen im Elektronensystem um den Faktor 1/sqrt(1-i²/c²). Die Längenkontraktion im Ionensystem kompensiert das wieder.
https://de.wikipedia.org/wiki/Ehrenfestsches_Paradoxon

Jetzt wollen wir aber auch den Stromkreis in Bewegung versetzen. Und die allgemeine Längenkontraktion (wir müssen auch die relativistische Geschwindigkeitsaddition anwenden) bei den Elektronen schaut dann so aus.

$$\frac{1}{\sqrt{1-\frac{i^2}{c^2}}}\cdot\sqrt{1-\left(\frac{v+i}{1+v\cdot i/c^2}\right)^2/c^2}=\frac{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1+v\cdot i/c^2}$$

Ihr könnt jetzt ruhig mal ein wenig mit den Schiebern rum spielen, bevor ihr weiter lest, vielleicht versteht ihr dann den Rest des Textes ein wenig besser.

λ sei nun definiert als der durchschnittliche Abstand zwischen den Ionen in deren Ruhesystem. Dann gilt im Bildschirmsystem.

$$\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-\frac{1+v\cdot i/c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=-\frac{v\cdot i/c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\qquad\lambda'=-\frac{v\cdot i/c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\cdot \lambda$$

Laiengerecht formuliert heißt das: Zählt einfach wie viel grüne und rote Abstände zwischen x=0 und x=1 passen, bildet die Differenz und ihr habt λ' (Ladungsdichte).

Doch jetzt zurück zur Einstellung v=0 i=0.8 Ein einsames Elektron bewegt sich parallel zu seinen Kollegen im Leiter. Es wirkt dann folgende magnetische Kraft. Die Geschwindigkeit nenn ich hier aber nicht i sondern v.

$$B=\frac{\mu_0\cdot I}{2\cdot\pi\cdot r}=\frac{\mu_0\cdot \lambda \cdot v}{2\cdot\pi\cdot r}\rightarrow F=\frac{\mu_0\cdot \lambda \cdot v^2\cdot q}{2\cdot\pi\cdot r}$$

Jetzt wollen wir dasselbe Szenario im Ruhesystem des Elektrons simulieren . Wir stellen ein: v=0.8 i=-0.8. Und nun sehen wir, warum das Elektron angezogen wird! Die grünen Punkte liegen dichter beieinander.

Da schreiben wir erst mal hin, wie die elektrische Feldstärke bei einem langen dünnen geladenen Stab ist und seine Anziehungskraft auf das einsame Elektron.

$$E=\frac{\lambda'}{2\cdot\pi\cdot r\cdot\epsilon _0}\rightarrow F'=\frac{\lambda'\cdot q}{2\cdot\pi\cdot r\cdot\epsilon _0}$$

Es sei noch erwähnt dass gilt: F=F'*sqrt(1-v²/c²) (Begründung siehe Uni Würzburg).
Setzen wir noch i=-v bei der Ermittlung der Ladungsdichte, so haben wir jetzt alles beieinander um die verblüffenden Zusammenhang dieser 3 Naturkonstanten zu ermitteln.

$$\mu_0\cdot\epsilon_0\cdot c^2=1 $$

julian apostata
08.01.2017, 11:55
Warum gilt überhaupt F'=F/sqrt(1-v²/c²)? Nun, in beiden Bezugsystemen muss ja dem Elektron ein und derselbe Transversalimpuls gegeben werden. Und das ist der Fall wenn F*Δt=F'*Δt'. Jetzt stellen wir wieder ein: i=-0.8 und v=0.8, womit wir die Elektronen im Bildschirmsystem zur Ruhe bringen. t stellen wir vor auf 3 und 5 timelines streichen über sämtliche ruhende Elektronen drüber. Alles klar?

Vielleicht will es ja mancher selber auf seinem Rechner haben, fühlt sich aber in der Handhabung von "Geogebra" nicht so fit. Nichts leichter als das.

Schieber für t,i,v einrichten

k_1=sqrt(1 - v²)
k_2=sqrt(1 - v²) / (1 + v i)
v_i=(v + i) / (1 + i v)
Liste1=Folge[(n k_1 + v t, 0.3), n, -10, 10]
Liste2=Folge[(n k_2 + v_i t, 0.5), n, -10, 10]

Was wäre denn, wenn man die Elektronen nicht wieder zurück führen würde? Nun, dann käme das Ehrenfest'sche Paradoxon nicht zur Anwendung und für k_2 müsste man anstatt der ersten Gleichung die zweite nehmen.

$$\frac{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1+v\cdot i/c^2}\qquad\qquad\qquad\frac{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\cdot\sqrt{1-\frac{i^2}{c^2}}}{1+v\cdot i/c^2}$$

Und damit wäre auch ein ruhender stromdurchflossener Leiter negativ aufgeladen. Probiert es ruhig aus.
k_2=sqrt(1 - v²) sqrt(1 - i²) / (1 + v i)