Dgoe
Gesperrt
Behauptung:
Zerlegt man eine natürliche Zahl p in ihre Primfaktoren, dann ist dessen Quadratwurzel √p rational, wenn alle Exponenten der Primzahlen (jeweilige Summe gleicher Primzahlen) jeweils durch 2 teilbar sind (gerade), andernfalls ist die Quadratwurzel √p irrational.
Oder anders formuliert:
Ist die Summe aller Primzahlen (nach Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl p) nicht ohne Rest durch 2 teilbar (ungerade), dann ist die Quadratwurzel √p irrational.
ferner:
(= Abkürzung für diesen Fall, Folgerung 1)
Falls jedoch die (Gesamt-)Summe doch durch 2 teilbar ist (gerade), dann ist √p nur rational, wenn alle Exponenten (jeweilige Summe gleicher Primzahlen) durch 2 teilbar ist (gerade), andernfalls ist √p ebenfalls irrational.
Beispiele:
2³*3² sind insgesamt 5 Primzahlen (ungerade, Folgerung 1), und/oder da die Exponenten nicht alle gerade sind, ist die Quadratwurzel irrational.
2²3²5³ sind 3 verschiedene Primzahlen (ungerade Anzahl), min. 1 Exponenten ungerade = irrationale sqrt
2²3²5² sind 3 verschiedene Primzahlen (ungerade Anzahl), alle Exponenten gerade = rationale sqrt
2²*3² sind 2 verschiedene Primzahlen (gerade Anzahl), alle Exponenten gerade = rationale sqrt
2²*3³ sind 2 verschiedene Primzahlen (gerade Anzahl), min. ein Exponenten ungerade = irrationale sqrt
Randbemerkung:
es gibt ja soviel was gerade/ungerade sein kann,
- die Zahl selber (unwichtig)
- die Primzahl, nur 2 ist gerade (unwichtig)
- die Anzahl unterschiedlicher Primzahlen (nicht relevant)
- die Gesamtanzahl an Primzahlen (relevant)
- die Anzahl gleicher Primzahlen, bzw. der Exponent der jeweiligen Primzahl (entscheidend)
Gruß,
Dgoe
(ursprünglich verfasst: Donnerstag 27. Februar 2014, 06:13 )
Zerlegt man eine natürliche Zahl p in ihre Primfaktoren, dann ist dessen Quadratwurzel √p rational, wenn alle Exponenten der Primzahlen (jeweilige Summe gleicher Primzahlen) jeweils durch 2 teilbar sind (gerade), andernfalls ist die Quadratwurzel √p irrational.
Oder anders formuliert:
Ist die Summe aller Primzahlen (nach Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl p) nicht ohne Rest durch 2 teilbar (ungerade), dann ist die Quadratwurzel √p irrational.
ferner:
(= Abkürzung für diesen Fall, Folgerung 1)
Falls jedoch die (Gesamt-)Summe doch durch 2 teilbar ist (gerade), dann ist √p nur rational, wenn alle Exponenten (jeweilige Summe gleicher Primzahlen) durch 2 teilbar ist (gerade), andernfalls ist √p ebenfalls irrational.
Beispiele:
2³*3² sind insgesamt 5 Primzahlen (ungerade, Folgerung 1), und/oder da die Exponenten nicht alle gerade sind, ist die Quadratwurzel irrational.
2²3²5³ sind 3 verschiedene Primzahlen (ungerade Anzahl), min. 1 Exponenten ungerade = irrationale sqrt
2²3²5² sind 3 verschiedene Primzahlen (ungerade Anzahl), alle Exponenten gerade = rationale sqrt
2²*3² sind 2 verschiedene Primzahlen (gerade Anzahl), alle Exponenten gerade = rationale sqrt
2²*3³ sind 2 verschiedene Primzahlen (gerade Anzahl), min. ein Exponenten ungerade = irrationale sqrt
Randbemerkung:
es gibt ja soviel was gerade/ungerade sein kann,
- die Zahl selber (unwichtig)
- die Primzahl, nur 2 ist gerade (unwichtig)
- die Anzahl unterschiedlicher Primzahlen (nicht relevant)
- die Gesamtanzahl an Primzahlen (relevant)
- die Anzahl gleicher Primzahlen, bzw. der Exponent der jeweiligen Primzahl (entscheidend)
Gruß,
Dgoe
(ursprünglich verfasst: Donnerstag 27. Februar 2014, 06:13 )
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