bissle mathe blabla

Dgoe

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Behauptung:

Zerlegt man eine natürliche Zahl p in ihre Primfaktoren, dann ist dessen Quadratwurzel √p rational, wenn alle Exponenten der Primzahlen (jeweilige Summe gleicher Primzahlen) jeweils durch 2 teilbar sind (gerade), andernfalls ist die Quadratwurzel √p irrational.


Oder anders formuliert:

Ist die Summe aller Primzahlen (nach Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl p) nicht ohne Rest durch 2 teilbar (ungerade), dann ist die Quadratwurzel √p irrational.


ferner:
(= Abkürzung für diesen Fall, Folgerung 1)

Falls jedoch die (Gesamt-)Summe doch durch 2 teilbar ist (gerade), dann ist √p nur rational, wenn alle Exponenten (jeweilige Summe gleicher Primzahlen) durch 2 teilbar ist (gerade), andernfalls ist √p ebenfalls irrational.


Beispiele:

2³*3² sind insgesamt 5 Primzahlen (ungerade, Folgerung 1), und/oder da die Exponenten nicht alle gerade sind, ist die Quadratwurzel irrational.
2²3²5³ sind 3 verschiedene Primzahlen (ungerade Anzahl), min. 1 Exponenten ungerade = irrationale sqrt
2²3²5² sind 3 verschiedene Primzahlen (ungerade Anzahl), alle Exponenten gerade = rationale sqrt

2²*3² sind 2 verschiedene Primzahlen (gerade Anzahl), alle Exponenten gerade = rationale sqrt
2²*3³ sind 2 verschiedene Primzahlen (gerade Anzahl), min. ein Exponenten ungerade = irrationale sqrt



Randbemerkung:
es gibt ja soviel was gerade/ungerade sein kann,
- die Zahl selber (unwichtig)
- die Primzahl, nur 2 ist gerade (unwichtig)
- die Anzahl unterschiedlicher Primzahlen (nicht relevant)
- die Gesamtanzahl an Primzahlen (relevant)
- die Anzahl gleicher Primzahlen, bzw. der Exponent der jeweiligen Primzahl (entscheidend)

Gruß,
Dgoe
(ursprünglich verfasst: Donnerstag 27. Februar 2014, 06:13 )
 
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Dgoe

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So,

dass ist aus meinem Mist gewachsen. Nicht von einem der historischen Personen.

Und dass es nicht GdM ist, entnahm ich hieraus:


[Dgoe hat geschrieben:
Behauptung:
Zerlegt man eine natürliche Zahl p in ihre Primfaktoren, dann ist dessen Quadratwurzel √p rational, wenn alle Exponenten der Primzahlen (jeweilige Summe gleicher Primzahlen) jeweils durch 2 teilbar sind (gerade), andernfalls ist die Quadratwurzel √p irrational.]

Hallo Dgoe,

das ist richtig, denn wenn alle durch zwei teilbar sind, dann kann man das auch tun, also die durch 2 teilen - dann hat man zwei Sets von Primfaktoren, die gleich sind. Folglich ist so ein Set die Quadratwurzel ihres Produktes.

[Dgoe hat geschrieben:
Oder anders formuliert:
Ist die Summe aller Primzahlen (nach Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl p) nicht ohne Rest durch 2 teilbar (ungerade), dann ist die Quadratwurzel √p irrational.]

Jetzt muss man aufpassen: die Summe aller Primzahlen sei ungerade. Dann gibt es also mindestens einen Primfaktor, der keinen "Partner" hat, also bei der Wurzelbildung alleine bleibt. Dann ist die Quadratwurzel nicht-rational.

Wenn man mehrere Junggesellen-Primfaktoren findet, so können die trotzdem nicht heiraten -> die Quadratwurzel ist auch in diesem Falle nich trational. Denn würden sie einen Partner finden, so würden diese beiden durch zwei teilbar.

Ok, auch das ist korrekt.

[Dgoe hat geschrieben:
ferner:
(= Abkürzung für diesen Fall, Folgerung 1)

Falls jedoch die (Gesamt-)Summe doch durch 2 teilbar ist (gerade), dann ist √p nur rational, wenn alle Exponenten (jeweilige Summe gleicher Primzahlen) durch 2 teilbar ist (gerade), andernfalls ist √p ebenfalls irrational.]

Auch das ist richtig.

Wenn ich mich nicht geirrt habe sind Deine 3 Aussagen also allesamt korrekt.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

Dgoe

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Höchstens eingeschränkt hierdurch:
Hallo Dgoe,

Deine neue Fassung ist völlig ok, auch vom Umfang her. Allerdings verwendest Du stillschweigend ein Resultat aus der Zahlentheorie, nämlich die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung.


Freundliche Grüsse, Ralf

Dort im Thread allerdings nur Nebenthema, quasi offtopic, geht gleich anders weiter.
 

Dgoe

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Hallo Ralf,

hört sich jetzt nicht so an, als ob Du bis heute nicht verstanden hättest, was ich meinte.

Gruß,
Dgoe
 

Bernhard

Registriertes Mitglied
Hallo Dgoe,

Zerlegt man eine natürliche Zahl p in ihre Primfaktoren, dann ist dessen Quadratwurzel √p rational, wenn alle Exponenten der Primzahlen (jeweilige Summe gleicher Primzahlen) jeweils durch 2 teilbar sind (gerade),
diese Zahlen sogar ganzzahlig.

andernfalls ist die Quadratwurzel √p irrational.
Um diesen Satz zu beweisen, kann man beweisen, dass das Produkt beliebig vieler Primzahlen kein Produkt aus zwei natürlichen Zahlen sein kann. Ich würde letztere Aussage mit dem Fundamentalsatz der Arithmetik beweisen.
MfG
 
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ralfkannenberg

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kann man beweisen, dass das Produkt beliebig vieler Primzahlen kein Produkt aus zwei natürlichen Zahlen sein kann.
Hallo Bernhard,

das verstehe ich nicht:

p[sub]1[/sub]*p[sub]2[/sub]*...*p[sub]n[/sub] = p[sub]1[/sub]*(p[sub]2[/sub]*...*p[sub]n[/sub]) = A*B und A und B sind beide natürliche Zahlen ...

Du meinst also sicherlich etwas anderes.

Ich würde letztere Aussage mit dem Fundamentalsatz der Arithmetik beweisen.
Moment: wir beweisen etwas, wofür wir den Satz der eindeutigen Primfaktorzerlegung verwenden, und nun willst Du das mit dem Fundamentalsatz der Arithmetik beweisen. Haben wir da nicht irgendwo einen Zirkelschluss oder habe ich einfach die Aufgabe nicht richtig verstanden ?


Freundliche Grüsse, Ralf
 

Bernhard

Registriertes Mitglied
Hallo Ralf,

p[sub]1[/sub]*p[sub]2[/sub]*...*p[sub]n[/sub] = p[sub]1[/sub]*(p[sub]2[/sub]*...*p[sub]n[/sub]) = A*B
ich nehme an, dass gilt: p[sub]1[/sub]*p[sub]2[/sub]*...*p[sub]n[/sub] = p[sub]1[/sub]*(p[sub]2[/sub]*...*p[sub]n[/sub]) = A*A, mit A eine ganze Zahl. Die Wurzel aus dem Produkt der unterschiedlichen Primzahlen > 1 wäre dann rational, weil ganzzahlig.

Frage: Kann das sein?
Anwort: Nein, weil:

die Primzahlzerlegung, gemäß Fundamentalsatz eindeutig ist. Ferner enthielte A*A Primzahlen mit dem Exponenten 2, was aber wegen der Eindeutigkeit der Primzahlzerlegung im Widerspruch zur Annahme steht.

Wenn der Fundamentalsatz gilt, ist also die Wurzel aus jedem Produkt von verschiedenen Primzahlen > 1 irrational.

OK?
 

Dgoe

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Hallo zusammen,

ich habe irgendwie die Einleitung bei #1 vergessen, worum es überhaupt geht:
Herauszufinden, ob die Quadratwurzel einer x-beliebigen natürlichen Zahl entweder rational oder irrational ist.

Dazu gibt es ja eine ganze Reihe an Methoden und Beweisen.

Meine Methode/Behauptung oben setzt vorraus, dass man die Primfaktorzerlegung schon vorliegen hat und natürlich dem vorangestellt, dass diese immer eindeutig ist.

Wenn jetzt nun Euklid & Gauss das schon bewiesen haben, dann ist ja gut.

Nur muss man die Zahl auch immer noch erst einmal zerlegen, wie gesagt. Das ist wiederum nicht immer so einfach, selbst wenn man weiß, dass es geht. Tja.

Ich weiß meine Behauptung nur empirisch zu belegen, nicht wie man sie beweist. Ob die sich irgendwie aus der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung, bzw. dem Fundamentalsatz der Arithmetik ableitet oder so, keine Ahnung...

Ich kann da nicht so mitreden, bin das Ganze ja auch noch am Lernen, was auf diese Art jedoch echt Spaß macht, hochinteressant. Bischen viele Baustellen allerdings...

Von daher bin ich eher stiller Mitleser, melde mich erst wieder, wenn mir etwas dazu einfällt oder wenn ich konkrete Fragen habe, die ich mir nicht selber beantworten kann, oder bei Problemen dabei.

Gruß,
Dgoe
 
Zuletzt bearbeitet:

Dgoe

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...ist also die Wurzel aus jedem Produkt von verschiedenen Primzahlen > 1 irrational.

OK?
Hallo Bernhard,

das hier zitierte fällt mir jedoch einfach, es mit einem Gegenbeispiel zu widerlegen:
2²*3² hat eine rationale Quadratwurzel, obwohl es ein Produkt aus 2 verschiedenen Primzahlen ist.

Gruß,
Dgoe
 

ralfkannenberg

Registriertes Mitglied
das hier zitierte fällt mir jedoch einfach, es mit einem Gegenbeispiel zu widerlegen:
2²*3² hat eine rationale Quadratwurzel, obwohl es ein Produkt aus 2 verschiedenen Primzahlen ist.
Bravo, exakt dasselbe wollte ich gerade auch schreiben (hatte den ganzen Nachmittag Sitzung und bin erst jetzt wieder am Platz).

Man muss also noch ergänzen, dass mindestens eine von ihnen einen ungeraden Exponenten haben muss.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

Bernhard

Registriertes Mitglied
2²*3² hat eine rationale Quadratwurzel, obwohl es ein Produkt aus 2 verschiedenen Primzahlen ist.
Hallo Dgoe,

den trivialen Fall gerader Exponenten, habe ich nicht erwähnt, weil ich dachte, dass das klar sei. Bei meinem Beweis werden die Primzahlen also immer mit Exponent 1 vorausgesetzt. Beim Beweis der Irrationalität klammert man zuerst die ganzen Zahlen aus, bis nur noch der Exponent 1 überbleibt und nutzt dann, dass ein Produkt einer irrationalen Zahl mit einer ganzen Zahl wieder irrational ist, wie man sich relativ leicht klar machen kann.
MfG
 

Bernhard

Registriertes Mitglied
Ich habe mich bei dem obigen Beweis übrigens auch an dieser Aussage aus der Wikipedia orientiert:

Wikipedia schrieb:
Die nichtganzzahligen Nullstellen eines normierten Polynomes \(x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_0\) mit ganzzahligen Koeffizienten sind irrational. Insbesondere sind die Quadratwurzeln aus Nichtquadratzahlen \(\sqrt2,\sqrt3,\sqrt5,\sqrt6,\ldots\) irrational.
 

ralfkannenberg

Registriertes Mitglied
Ich habe mich bei dem obigen Beweis übrigens auch an dieser Aussage aus der Wikipedia orientiert:
Hallo Bernhard,

wenn ich das beweisen müsste, würde ich versuchen, das über die elementarsymmetrischen Funktionen anzusetzen.

Möglicherweise genügt es, dass das konstante Glied eines normierten Polynoms das Produkt aller seiner Nullstellen ist - bei quadratischen Polynomen ist das ja der Satz von Vieta, zu betrachten.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

Bernhard

Registriertes Mitglied
Hallo Ralf,

aber die Summe der Exponenten beträgt 2
da habe ich Dgoes Behauptung anders verstanden. Die Beispiele verdeutlichen es auch. Dgoe bertrachtet nicht die Summe aller Exponenten, sondern alle Exponenten jeweils einer Primzahl. Wenn alle durch zwei teilbar sind, ergibt die Wurzel klarerweise eine ganze Zahl = rationale Zahl. Wenn eine Primzahl einen ungeraden Exponenten hat, bleibt eine Wurzel über und die Zahl wird irrational.
MfG

@Dgoe: Wo stammt die Behauptung denn eigentlich her?
 

Dgoe

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2[sup]1[/sup] * 3[sup]1[/sup] = 6 ist keine Quadratzahl, aber die Summe der Exponenten beträgt 2, ist also gerade.
In dem Fall kommt das hier zum Zuge:
Falls jedoch die (Gesamt-)Summe doch durch 2 teilbar ist (gerade), dann ist √p nur rational, wenn alle Exponenten (jeweilige Summe gleicher Primzahlen) durch 2 teilbar ist (gerade), andernfalls ist √p ebenfalls irrational.
Die Summe ist in dem Fall 1 pro Primzahl und da 1 nicht durch 2 teilbar ist (bei natürlichen Zahlen) kommt irrational dabei raus.

Warum ich das aber Folgerung und nicht Zusatzbedingung genannt habe, weiß ich gerade nicht mehr.

Summe habe ich es deswegen genannt, weil bei längeren Schreibweisen ein und die selbe Primzahl auch mehrmals notiert werden könnte, wie 2²*....und irgendwann nochmal ...*2³ usw., die Exponenten der gleichen Primzahl muss man natürlich zusammenzählen.

Ich unterscheide also zwei Summen: die der Exponenten aller Primzahlen zusammen (nach der Zerlegung), oben (Gesamt-)Summe genannt
und
den Exponenten einer Primzahl, bei letzterem eben auch Summe, wenn man die gleiche Primzahl mehrmals vorliegen/notiert hat.

@Bernhard: das habe ich mir während eines Threads mit Ralf mal ausgedacht, was aber für Verwirrung gesorgt hatte und zig Ansätze nicht funktionierten. Ralf hat dabei auch echt Geduld bewiesen. Suche den Link gleich nochmal raus, war bei alltopic... (langer Thread).

Gruß,
Dgoe
 
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