Rotierende Ebene

Dgoe

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Hallo,

ich würde gerne interessenhalber erfahren, wie man es in einer mathematischen Formel ausdrückt, wenn eine Ebene rotiert.

Z. B. die Ebene (1,y,z), also eine "Scheibe", die um die x-Achse rotiert an der Stelle x=1, also um den Punkt (1,0,0) mit einer Geschwindigkeit von 10 m/s bei dem Radius von 10 (die Koordinateneinheiten mögen km sein).

Zudem sollte noch irgendetwas passieren, also in zeitlicher Abfolge und in dem Zusammenhang. Ich weiß nur noch nicht was? sollte etwas möglichst simples sein erst mal.

Oder wie beschreibt man einen Vektor, der da mitrotiert...

Würde das gerne einmal sehen, auch wenn es kompliziert ist, vielleicht auch nur Links zu etwas dergleichem.
Kann jemand helfen?

Gruß,
Dgoe
 

Dgoe

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Jaaa,

genau das meinte ich, danke Bernhard.
Dort kommen, wie vermutet, einige mir schon halbwegs geläufige Begriffe drin vor.

Und wie ebenfalls vermutet, hängt der Hammer doch noch relativ hoch .... *seufz*

Gruß,
Dgoe
 

Bernhard

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Und wie ebenfalls vermutet, hängt der Hammer doch noch relativ hoch .... *seufz*
Das wird schon. Ich vermute Dich interessiert am meisten die volle Matrix R_n(alpha)? Die dreht per Matrizenmultiplikation (s. Wikipedia) einen dreidimensionalen Ursprungsvektor (also einen beliebigen Punkt im |R^3) um eine frei vorgebbare Gerade durch den Ursprung. Der zu drehende Vektor wird dabei als Spaltenvektor rechts neben die Drehmatrix geschrieben. Zwischen den beiden befindet sich dann noch ein Punkt für die Matrizenmultiplikation.
 

Dgoe

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Ja? Muss nur erst mal wachsen, um an den Hammer dran zu kommen - dauert! (Oder einen Hocker finden)

Ich vermute Dich interessiert am meisten die volle Matrix R_n(alpha)? Die dreht per Matrizenmultiplikation (s. Wikipedia) einen dreidimensionalen Ursprungsvektor (also einen beliebigen Punkt im |R^3) um eine frei vorgebbare Gerade durch den Ursprung. Der zu drehende Vektor wird dabei als Spaltenvektor rechts neben die Drehmatrix geschrieben. Zwischen den beiden befindet sich dann noch ein Punkt für die Matrizenmultiplikation.
Da ist ja schon einer, mal sehen ob der passt. :)

Edit
Der Hocker ist auch nicht gerade winzig, erst mal raufkommen...

Gruß,
Dgoe
 
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ralfkannenberg

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Z. B. die Ebene (1,y,z), also eine "Scheibe", die um die x-Achse rotiert an der Stelle x=1, also um den Punkt (1,0,0)
Hallo Dgoe,

muss das sein ? Du könntest doch die Scheibe um 1 nach links verschieben, dann drehen und dann wieder um 1 nach rechts verschieben. Das hätte auch den Vorteil, dass alle Vektoren durch den Nullpunkt gehen und man die Lineare Algebra nutzen kann.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

Ich

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Die Drehachse geht doch durch den Ursprung, da macht die 1 gar nichts aus. Für den Einstieg würde ich aber mit 2x2 Matrizen in x,y anfangen, dann muss man weniger schreiben.
 

Dgoe

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Hallo Ich,

ja, weniger ist mehr, zum Lernen & Üben sicher sinnvoll. Aber in 2D dreht sich dann gleich alles, war meine Überlegung. Na ja, das Koordinatensystem kann ja stehenbleiben.

Sicher, man könnte auch eine Gerade drehen, von mir aus durch den Ursprung, wie ein Zeiger einer Uhr. Ich wollte es mir aber richtig räumlich vorstellen, bzw. so etwas sehen, nicht immer nur runter stilisiert. Sozusagen ein Blick hinter die Kulissen.

Interessanterweise habe ich vorhin davon gelesen, dass man auch das Koordinatensystem drehen lassen kann. So ganz klar ist mir das allerdings nicht, woher weiß das KS, dass es sich dreht? Das geht doch nur per Referenzsystem, also mit 2 KS. Wenn alles inhaltliche stehen bleibt, dann auch das ursprüngliche KS, auch wenn man es nicht einzeichnet...

Klar ist mir schon, dass man Koordinatensysteme frei wählen kann, nur dennoch kann sich nichts drehen, ohne Referenz.

Gruß,
Dgoe
 
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Dgoe

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Hallo Ralf,

nein, muss nicht sein, war aber Absicht, um genau solche Unterschiede zu erfahren. ;)

Gruß,
Dgoe
 

ralfkannenberg

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Die Drehachse geht doch durch den Ursprung, da macht die 1 gar nichts aus. Für den Einstieg würde ich aber mit 2x2 Matrizen in x,y anfangen, dann muss man weniger schreiben.
Hallo Ich,

und warum betrachtet Dgoe nicht eine Ebene, die auch durch den Nullpunkt geht ? Durch die 1 schleppt man da noch laufend Translationen (nicht-linear !!) und am Ende deren Inverses (ebenfalls nicht-linear) mit sich herum.


Freundliche Grüsse, Ralf
 
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Dgoe

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+
@Ralf:
Mit dem links und rechts, der Orientierung habe ich auch Probleme. Denn ich habe bemerkt, dass öfters die x-Achse verdreht ist nach vorne und hinten. Dafür die Draufsicht auf yz. Wieso? Und wie meintest Du es, wie ist Standard?
Ich persönlich hatte xy so belassen und die z-Achse - als neue zusätzliche Achse - von vorne nach hinten gewählt, bzw. besser von hinten nach vorne, hmm. Wenn man sie schräg (diagonal) einzeichnet, liegt die der Ursprung dann hinter dem betrachteten Raum, die Objekte sind vorne.

Gruß,
Dgoe
 

Ich

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und warum betrachtet Dgoe nicht eine Ebene, die auch durch den Nullpunkt geht ? Durch die 1 schleppt man da noch laufend Translationen (nicht-linear !!) und am Ende deren Inverses (ebenfalls nicht-linear) mit sich herum.f
Wieso denn? Er rotiert in der y-z-Ebene, und die x-Komponenten von allem bleiben unverändert, hin wie zurück. Ob da jetzt 1, 0 oder 42 steht hat bestenfalls psychologische Auswirkungen. Deswegen meine ich ja, er könnte die x-Komponente auch gleich weglassen und nur in yz arbeiten (die man dann standardmäßig xy nennen würde).
 

Kibo

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Soweit ich dich verstanden habe, ist deine Ebene begrenzt ja? Eine unbegrenzte Ebene kannst du durch ihren Normalenvektor darstellen, rotierst du diese um den Normalenvektor herum ändert sich natürlich nichts. (Die Menge aller enthaltenen Punkte bleibt gleich)

mfg
 
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Dgoe

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Soweit ich dich verstanden habe, ist deine Ebene begrenzt ja?
Nö, wieso auch. 'Scheibe' war nur eine Versinnbildlichung, daher auch in Gänsefüßchen verpackt gewesen. Allerdings dürfte man ab einer gewissen Entfernung Rücksicht auf c nehmen müssen. Dabei dürfte sich das zu dieser Stelle hin abbremsen, progressiv ins unendliche verzogen werden, sich verschmieren, denke ich. Weiter innen dreht sich alles wie gewohnt, danach ist Schluss oder so.

Ja, gute Frage, nächste Frage.

Eine unbegrenzte Ebene kannst du durch ihren Normalenvektor darstellen, rotierst du diese um den Normalenvektor herum ändert sich natürlich nichts. (Die Menge aller enthaltenen Punkte bleibt gleich)
Soweit bin ich noch nicht. Könntest mir genausogut ein chinesisches Lied vorsingen.

Gruß,
Dgoe
 

Dgoe

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Warum zum Geier ist 3D-mäßig yz plötzlich xy, das ist total counterintuitiv.

Ich werde mich in Zukunft dafür einsetzen, dass didaktisch hier keine Hürde entsteht. xy bleibt PUNKT und z kommt hinzu. Nicht etwa zy und drehen..

Gruß,
Dgoe
 

ralfkannenberg

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Wieso denn? Er rotiert in der y-z-Ebene, und die x-Komponenten von allem bleiben unverändert, hin wie zurück. Ob da jetzt 1, 0 oder 42 steht hat bestenfalls psychologische Auswirkungen. Deswegen meine ich ja, er könnte die x-Komponente auch gleich weglassen und nur in yz arbeiten (die man dann standardmäßig xy nennen würde).
Hallo Ich,

na ja, irgendwie stört es mich halt, dass der Nullvektor bei dieser Abbildung kein Bild hat, weil er nicht in einer Ebene mit x=1 liegt.

Mit der Projektion auf den Unterraum bin ich ja einverstanden, aber auch der ist irgendwie nur dann ein Unterraum, wenn er von (0,1,0) und (0,0,1) aufgespannt wird und nicht von (1,1,0) und (1,0,1). Weil bei letzterem die Summe der beiden Basisvektoren in der x-Komponente eben keine 1 mehr stehen hat.

Geometrisch sind die beiden Ebenen natürlich isomorph und deswegen darf man das ganze auch gleichwertig auf die (y,z)-Ebene projizieren, aber eben - mit "Gebilden", die nicht durch den Nullpunkt gehen, muss man da schon ein bisschen aufpassen.


Freundliche Grüsse, Ralf
 
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