Gravitations-Veranschaulichungen und ein bisschen Mathematik

ralfkannenberg

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Hallo zusammen,

im Thread Gravitations-Veranschaulichungen laufen derzeit mehrere Diskussionen nebeneinander. Ich möchte das ein bisschen entflechten und lagere deswegen mal den ganz elemantaren mathematischen Teil aus.

Ausgangspunkt dieses Threads ist dieser Beitrag von mir.


Freundliche Grüsse, Ralf
 
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ralfkannenberg

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Hallo zusammen,

in diesem Zusammenhang habe ich bereits folgende Fragen aufgeworfen, zunächst einmal diese hier und dann etwas genauer diese:


Also, wir haben 3 Formeln für die Geschwindigkeit (s=Weglänge, t=Zeitdauer, a=Beschleunigung)

(1) v ≡ 0
(2) v = s/t
(3) v = a*t

Was ist der Unterschied ? Wann ist welche Formel anzuwenden ? Ad (1): vielleicht erinnerst Du Dich, dass ich in der Vergangenheit auch fast immer die Nullfunktion betrachtet habe: diese ist einfach, aber keineswegs abwegig.


Und daraus folgend habe ich dann eine kleine Übungsaufgabe gestellt:

Ok, und nun die nächsten beiden Aufgaben:

1. leite Formel (2) aus Formel (3) her
2. leite Formel (1) aus Formel (2) her

Und zwar ohne so kraftprotzende Ausdrücke wie "Integral" oder "Ableitung" o.ä.
Dazu kamen auch schon einige gute Antworten, nämlich hier, hier und hier, ich möchte aber einen etwas anderen Weg einschlagen.

Deswegen nochmals eine vorgängige Frage:

Wir wissen, dass ein Auto zwischenzeitlich 40 km/h fuhr und zwischenzeitlich 100 km/h. Mehr wissen wir nicht.

Können wir aus dieser Information irgendetwas über die Gesamtgeschwindigkeit oder über den zurückgelegten Weg oder die Dauer, die das Auto unterwegs war, gewinnen, ausser dass diese grösser als 0 und - da wir nicht-relativistisch rechnen - kleiner als "unendlich" war ?


Freundliche Grüsse, Ralf
 

Dgoe

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Hallo Ralf,

nun, wenn ein Auto 100 km/h fuhr, dann auch alle anderen Geschwindigkeiten <100 zuvor, darunter auch 40 km/h. Es sei denn, es ist mit einem Hubschrauber in voller Fahrt abgesetzt worden, mit laufenden Motor (und Allradantrieb vorzugsweise). Ebenso hätte es für gewöhnlich auch wieder abgebremst, es sei denn die Fahrt endete an einer Klippe oder vor einer Mauer, etc.

Dann hätte der Hubschrauber es aber auch kurz absetzen können, so dass es kurz 40 km/h fährt, wieder anheben und bei 100 km/h nochmal kurz ablassen. So könnte der zurückgelegte Weg auf dem Boden ziemlich minimal gehalten worden sein. Das war wohl aber nicht worauf Du hinaus wolltest, nehme ich an.

Die Durchschnittsgeschwindigkeit wäre (100+40)/2. Im Normalfall allerdings, könnte man die nicht ermitteln. Eine minimale Dauer kann man schon veranschlagen...

Gruß,
Dgoe
 

ralfkannenberg

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Die Durchschnittsgeschwindigkeit wäre (100+40)/2. Im Normalfall allerdings, könnte man die nicht ermitteln. Eine minimale Dauer kann man schon veranschlagen...
Hallo Dgoe,

bist Du Dir sicher ? Ist es dasselbe, ob ich z.B.

- 1 Stunde lang 100 km/h fahre und dann 10 Minuten lang 40 km/h oder
- 1 Stunde lang 40 km/h fahre und dann 10 Minuten lang 100 km/h ?

Ergibt das beide Male eine Durchschnittsgeschwindigkeit von (100+40)/2 ?


Freundliche Grüsse, Ralf
 

Dgoe

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Hallo Ralf,

ich hatte eher an beispielsweise 10 Min. jeweils gedacht, also gleich lange.
Dein erstes Beispiel würde ich wie folgt rechnen:

((100*60)+(40*10))/70 = 91,4 km/h

und Dein Zweites so:

((100*10)+(40*60))/70 = 48,6 km/h

Gruß,
Dgoe

EDIT: das km/h müsste links der Gleichungen natürlich auch noch hin.
 
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ralfkannenberg

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ich hatte eher an beispielsweise 10 Min. jeweils gedacht, also gleich lange.
Dein erstes Beispiel würde ich wie folgt rechnen:

((100*60)+(40*10))/70 = 91,4 km/h

und Dein Zweites so:

((100*10)+(40*60))/70) = 48,6 km/h
Hallo Dgoe,

das ist alles richtig, was Du da schreibst, aber Du siehst, dass Du Zusatzinformationen benötigst, nämlich die jeweiligen Zeitdauern, und dann trotzdem noch recht umständlich herumrechnen musst.

Was ich sagen will: wir suchen ja eine Herleitung und wie Du siehst eignen sich die Geschwindigkeiten nicht besonders gut, um sie zu addieren etc. . Kannst Du Dir in diesem Zusammenhang eine andere Grösse vorstellen, die sich besser zum Herumrechnen, also Addieren etc., eignet ?

Nachdem die Geschwindigkeit wegfällt verbleiben als "Kandidaten" noch der Weg, die Zeit und die Beschleunigung. Mit der ganz grossen Keule der Energie und des Impulses, für die man auch noch Massen und Kräfte benötigt, wollen wir nun nicht anrühren.


Freundliche Grüsse, Ralf
 
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ralfkannenberg

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Hm, also v=0 würde die Rechenoperationen signifikant vereinfachen. :D
Hallo Dgoe,

nicht umsonst nimmt die Nullfunktion so einen hohen Stellenwert ein, obgleich sie eigentlich eher trivial ist.

Betrachten wir deswegen also auch allgemeinere Fälle als die Nullfunktion.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

ralfkannenberg

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Was ich sagen will: wir suchen ja eine Herleitung und wie Du siehst eignen sich die Geschwindigkeiten nicht besonders gut, um sie zu addieren etc. . Kannst Du Dir in diesem Zusammenhang eine andere Grösse vorstellen, die sich besser zum Herumrechnen, also Addieren etc., eignet ?

Nachdem die Geschwindigkeit wegfällt verbleiben als "Kandidaten" noch der Weg, die Zeit und die Beschleunigung. Mit der ganz grossen Keule der Energie und des Impulses, für die man auch noch Massen und Kräfte benötigt, wollen wir nun nicht anrühren.
Hallo Dgoe,

ok, hier findest Du die Antwort ;)

2 neue "Aufgaben": löse obige Frage

- intuitiv/argumentativ
- nur mit Hilfe der Nullfunktion


Freundliche Grüsse, Ralf
 

Dgoe

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Hallo Ralf,

sehr gerne. Den Zusatz
Nachdem die Geschwindigkeit wegfällt verbleiben als "Kandidaten" noch der Weg, die Zeit und die Beschleunigung. Mit der ganz grossen Keule der Energie und des Impulses, für die man auch noch Massen und Kräfte benötigt, wollen wir nun nicht anrühren.
gerade erst entdeckt...

Ich komme aber erst später dazu, bin ein paar Stunden offline.

Gruß,
Dgoe
 

ralfkannenberg

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sehr gerne. Den Zusatz gerade erst entdeckt...

Ich komme aber erst später dazu, bin ein paar Stunden offline.
Hallo Dgoe,

da ich heute abend offline bin, will ich nochmal kurz rekapitulieren.

Der Ausgangspunkt war der, dass man "manchmal" die Geschwindigkeit als v=s/t schreiben kann, "manchmal" als v=a*t und - eher der Vollständigkeit halber als eigenen Fall beschrieben, manchmal als v≡0.

Das sind zunächst einmal 3 verschiedene Formeln und da alle drei Formeln ja "irgendwie" richtig sind, beschreiben sie also verschiedene Anwendungsfälle.

Deswegen habe ich die Frage aufgeworfen, ob man diese ineinander umwandeln kann, und zwar ganz konkret:

v=a*t => v=s/t und v=s/t => v≡0

Es ist natürlich klar, dass sich dabei die Voraussetzungen ändern werden, z.B. "Beschleunigung muss konstant sein" oder "Geschwindigkeit muss konstant sein" oder ähnliches.

Du hast nun versucht, bei Deinen Herleitungen irgendwie v = ..... in v = .... umzuformen und ich habe hierzu angefügt, dass die Geschwindigleit für solche Herleitungen nicht sehr geeignet ist, weil ein Ausdruck der Form "40 km/h + 100 km/h" nicht sinnvoll ist.

Man sollte also mit Vorteil eine andere Grösse betrachten. In Frage kommen nach Wegfall der Geschwindigkeit v letztlich noch der Weg s, die Zeit t sowie die Beschleunigung a.

Welche dieser 3 Grössen nun also die sinnvollste ist, kann man intuitiv/argumentativ begründen; man könnte allerdings auch das Argument mit Hilfe der Nullfunktion tätigen - das klappt auch, ist aber aufgrund seiner Einfachheit eher verwirrend.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

Dgoe

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Hallo Ralf,

ich würde intuitiv die Beschleunigung wählen, ich weiß aber noch nicht genau worauf Du argumentativ hinaus willst.

Gruß,
Dgoe
 

ralfkannenberg

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ich würde intuitiv die Beschleunigung wählen, ich weiß aber noch nicht genau worauf Du argumentativ hinaus willst.
Hallo Dgoe,

könntest Du diese Wahl begründen ?

Vielleicht noch eine Ergänzung: es gibt kein "richtig" oder "falsch", es geht darum, eine Grösse zu finden, die die Herleitung verständlich macht.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

Dgoe

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könntest Du diese Wahl begründen ?
Hallo Ralf,

natürlich. Rein nach dem Ausschlußverfahren, in Weg oder Zeit sehe ich zu wenig Potential für solche Anforderungen. Mir ist natürlich auch klar, dass Du mich auf etwas anstupsen willst, wie schon manchmal, nur manchmal habe ich es gesehen, manchmal nicht - wenn nicht, bleibe ich wenigstens authentisch. Ich bin da gerade überfordert, bin ja auch noch beruflich aktiv. Vielleicht sollte ich 1-2 mal drüber schlafen, geht dann vielleicht wie von selbst...

....es geht darum, eine Grösse zu finden, die die Herleitung verständlich macht.
ja, mir schon klar, durch das Guckloch des Brettes vor'm Kopf.

Gruß,
Dgoe
 

ralfkannenberg

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natürlich. Rein nach dem Ausschlußverfahren, in Weg oder Zeit sehe ich zu wenig Potential für solche Anforderungen.
Hallo Dgoe,

die Beschleunigung bringt meines Erachtens eher wenig, da bei der Formel v=s/t gar nicht beschleunigt wird.

Und die Zeit im Nenner ist irgendwie auch lästig, bequemer sind Grössen im Zähler. Also hätte ich den Weg s bevorzugt. Das ist übrigens (vermutlich) letztlich der Grund, warum Bernhard im Nachbarthread Dir das ganze mit dem Weg s vorgerechnet hat.

Auch der Fall der Nullfunktion, also v=0 legt nahe, den Weg s zu nutzen, weil dieser dann einen konkreten Wert hat (nämlich 0), während die Zeit völlig unbestimmt ist.


Freundliche Grüsse, Ralf


P.S. was Bernhards o.g. Beitrag anbelangt, so empfehle ich folgende 2 Beiträge zur Repetition:

Einführung in das Integral
einfache Beispiele von Integralen
 
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ralfkannenberg

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Hallo zusammen,

wie hier geschrieben betrachten wir in diesem und den folgenden drei Beiträgen mal das Verhalten der Geschwindigkeit in Abhängigkeit der Zeit. Das macht man mit den wohlbekannten x-y-Diagrammen, bei denen auf der x-Achse der Verlauf der Zeit dargestellt wird und in der y-Achse der Wert der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t.

Zunächst einmal stellen wir fest, dass die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t eindeutig ist, d.h. sie ist möglicherweise nicht definiert (weil es uns nicht interessiert) oder sie hat genau einen Wert; sie ist also insbesondere nicht mehrdeutig: ein Auto kann nicht gleichzeitig mit 40 km/h und mit 100 km/h fahren.

Somit ist die Geschwindigkeit eine mathematische Funktion.

Der Wert einer Funktion f zum Punkt x wird in der Mathematik als f(x) geschrieben, d.h. angewendet auf unser Beispiel wird der Wert der Geschwindigkeitsfunktion v zum Zeitpunkt t in der Mathematik und auch in der Physik als v(t) geschrieben.


Wir betrachten nun in den folgenden 3 Beiträgen die Fläche unter der Geschwindigkeitskurve v(t) von 0 bis t für folgende Spezialfälle:

(1) v Nullfunktion, d.h. v ≡ 0
(2) v konstant, d.h. v = s/t
(3) v linear, d.h. v = a*t

Danach werden wir uns überlegen, ob dieser Fläche unter der Geschwindigkeitskurve v(t) eine physikalische Bedeutung zukommt.


Freundliche Grüsse, Ralf


P.S. die Variable t in x-Richtung habe ich nun der Einfachheit halber und auch der Bequemlichkeit halber doppelt belegt; einerseits bezeichnet sie die Variable selber, andererseits bezeichnet sie den Zeitpunkt, bis zu welchem die Fläche berechnet werden soll.
 
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ralfkannenberg

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Wir betrachten nun in den folgenden 3 Beiträgen die Fläche unter der Geschwindigkeitskurve v(t) von 0 bis t für folgende Spezialfälle:

(1) v Nullfunktion, d.h. v ≡ 0
(2) v konstant, d.h. v = s/t
(3) v linear, d.h. v = a*t
Hallo zusammen,

dann fangen wir mal mit der Nullfunktion an.

Wie gross ist die Fläche F(t) der Kurve unter v(t) für die Zeit von 0 bis t ?

Nun: F(t) = 0*t = 0


Das ist nicht gerade weltbewegend und auch wenig überraschend, aber immerhin ...


Freundliche Grüsse, Ralf
 

ralfkannenberg

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Wir betrachten nun in den folgenden 3 Beiträgen die Fläche unter der Geschwindigkeitskurve v(t) von 0 bis t für folgende Spezialfälle:

(1) v Nullfunktion, d.h. v ≡ 0
(2) v konstant, d.h. v = s/t
(3) v linear, d.h. v = a*t
Hallo zusammen,

dann machen wir mit dem konstanten Fall weiter.

Wie gross ist die Fläche F(t) der Kurve unter v(t) für die Zeit von 0 bis t ?

Nun: v(t) ≡ v[sub]0[/sub]

Die Geschwindigkeitsfunktion ist also eine Gerade parallel zur t-Achse und die Fläche ist die Fläche des Rechteckes, das von den 4 Punkten {(0,0), (0,v[sub]0[/sub]), (t,v[sub]0[/sub]), (t,0)} gebildet wird. Da die Fläche ein Rechteck ist, gilt Höhe * Breite, also:


F(t) = v[sub]0[/sub] * t

Setzen wir nun noch den Wert von v[sub]0[/sub] = s/t ein:

F(t) = v[sub]0[/sub] * t = (s/t)*t = s

Im konstanten Fall ist also die Fläche unter der Geschwindigkeitskurve gerade die in der Zeit t zurückgelegte Strecke s.
Das ist übrigens auch im Fall der Nullfunktion so, denn wenn die Geschwindigkeit konstant 0 ist, so ist die zurückgelegte Strecke ebenfalls gleich 0. Und im vorherigen Beitrag haben wir ja gesehen, dass im Falle der Nullfunktion gilt, dass F(t) = 0 ist.

Wir sehen also:
Im Null-Fall und im konstanten Fall ist die Fläche unter der Geschwindigkeitskurve gerade die in der Zeit t zurückgelegte Strecke s.


Freundliche Grüsse, Ralf
 
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