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Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Allgemeine Relativitätstheorie: Periheldrehung der Merkurbahn



09c
24.08.2013, 15:00
Hallo zusammen,

bekanntlich wird die Periheldrehung von Planetenbahnen von der modifizierten Binet - Differentialgleichung abgeleitet.
Ich habe nun beide Formen dieser Gleichung parallel numerisch integriert und für jeden Schritt die Differenz der Bahnradien berechnet.
Zusätzlich habe ich die ursprüngliche Differentialgleichung so modifiziert, dass sie eine Apsidendrehung beschreibt. Auch davon habe ich die Differenz der Bahnradien im Bezug auf die
unmodifizierte Form berechnet.
Ergebnis: Die Periheldrehung wie sie die ART beschreibt ist OK.
Aber die ART beschreibt keine Apsidendrehung! Die Bahnkurve der ART weicht periodisch bis zu 14 km von der der Apsidendrehung ab.
Kann bitte jemand mein Resultat überprüfen?

Grüße,

09c

Bernhard
25.08.2013, 08:30
Kann bitte jemand mein Resultat überprüfen?
Hallo 09c,

welches Integrationsverfahren hast Du denn benutzt? Sollte es das ganz einfache Euler-Verfahren sein, würde ich erst mal ein exakteres Verfahren empfehlen, wie z.B. http://de.wikipedia.org/wiki/Klassisches_Runge-Kutta-Verfahren .

Hast Du einmal Deine Ergebnisse grafisch dargestellt? Deine Integration sollte als Ergebnis den Radius der Bahn in Abhängigkeit des Winkels ergeben. Man kann bei der grafischen Darstellung also Zylinderkoordinaten verwenden und sollte dann die bekannte Rosettenkurve sehen können. Es wäre hilfreich, wenn Du mal Bilder davon zeigen könntest. Das Forum erlaubt zwar nicht das Hochladen von Bildern, aber es gibt im www etliche kostenlose Seiten, die das anbieten.
MfG

TomS
25.08.2013, 10:11
Ich habe nun beide Formen dieser Gleichung parallel numerisch integriert und für jeden Schritt die Differenz der Bahnradien berechnet.
Welche beiden Formen? Die Newtonsche und die mit relativistischer Korrektur?


Zusätzlich habe ich die ursprüngliche Differentialgleichung so modifiziert, dass sie eine Apsidendrehung beschreibt.
Meinst du damit die relativistische Korrektur?

Verwendest du gekoppelte DGLs in r(t) und t sowie phi(t) und t, oder eine in r(phi)? Im ersten Fall musst du für einen Vergleich natürlich berücksichtigen, dass identische Zitschritte sowohl zu unterschiedlichem r als auch phi führen.


Ergebnis: Die Periheldrehung wie sie die ART beschreibt ist OK.
Aber die ART beschreibt keine Apsidendrehung!
Was ist für dich der Unterschied zwischen Periheldrehung und Apsidendrehung?

Hier sind die relevanten Gleichungen aufgeführt: http://en.wikipedia.org/wiki/Kepler_problem_in_general_relativity
Welche benutzt du?

09c
25.08.2013, 16:25
Hallo Tom,

die modifizierte Differentialgleichung (ART) ist: u'' + u = A + 3/2*rs * u² ; u =1/r ; u'' ist die zweite Ableitung nach dem Winkel phi; A= G*M/r²/v² ; r = 0.307*1.496e11 m; v=59100 m/s
rs ist der Schwarzschild-Radius der Sonne 2*G*M/c².
Die Differentialgleichung der Apsidendrehung ist (1+d/2pi)² * u'' + u = A; A wie oben. d ist der Drehwinkel der Apside in Radian. Für d=0 folgt die ursprüngliche Form.
Die Lösung der letzten Differentialgleichung ist: u = A*(1+eps*cos(phi/(1+d/2pi))). eps ist die numerische Exzentrizität.
Die Zeit taucht nicht auf. --> r(phi)
Die Werte u für die drei Differentialgleichungen wurden parallel, voneinander unabhängig mit der Rechteck-Methode berechnet

Grüße,

09c

09c
25.08.2013, 17:49
Hallo zusammen,

was ist der Unterschied zwischen Perihel- und Apsidendrehung? Eigentlich glaubte ich, da sei keiner. Aber was ist, wenn sich das Aphel nicht entsprechend mitdreht?
Aufgrund der Kleinheit des Drehungswinkels ist es nicht sinnvoll die Ellipsenbahnen selbst darzustellen. Deshalb wurde die Differenz der ART-Bahn zur Kepler -Ellipse berechnet.
Die Differenzkurve DeltaR(phi) besitzt Nullstellen ganz nahe bei phi=2pi;4pi;6pi ... (Perihel). Das heißt die Kepler- Ellipse wird dort geschnitten. Die Nullstellen (Schnittpunkte)
dazwischen liegen aber weit weg von phi=pi;3pi;5pi ... (Aphel). Im Gegenteil: Die Differenzen im Aphel liegen in der Größenordnung von 14 km. Der zweite Schnitt erfolgt erst weit weg vom Aphel.
Die ART-Bahn ist also in charakteristischer Weise deformiert.
Eine Apsidendrehung ohne physikalische Herleitung ist leicht zu formulieren. Dazu muß man nur das Winkelargument mit einer entsprechenden Zahl dividieren. Das Ergebnis r(phi) kann man mit
einer Tabellenkalkulation leicht überprüfen, wenn man die Apsidendrehung hinreichend groß wählt.
Ich berechnete die Differenzradien einer Apsidendrehung von 43,2 Bogensekunden pro Jahrhundert zur Kepler - Ellipse und verglich diese Kurve mit der Abweichung der ART-Bahn.
Ergebnis: An den Perihelpunkten stimmen die Kurven deckungsgleich überein. Die Differenzradien der Apsidendrehung sind an den Aphelpunkten gleich Null.

Grüße,

09c

Bernhard
25.08.2013, 21:51
Sollte es das ganz einfache Euler-Verfahren sein, würde ich erst mal ein exakteres Verfahren empfehlen, wie z.B. http://de.wikipedia.org/wiki/Klassisches_Runge-Kutta-Verfahren .

Hallo 09c,

da habe ich leider Unsinn "verklickert". Man kann bei der Herleitung der Periheldrehung so viel analytisch ausrechnen, dass eine numerische Integration nicht wirklich lohnt. Verwende diese Zeit lieber auf eine ausgiebige Literaturrecherche um die Rechnungen nachvollziehen zu können.

Siehe z.B. auch: http://physik1.bersch.net/pdf/keplerproblem.pdf für das modifizierte Keplerproblem.

Aphel und Perihel der Ellipse sollten bei der exakten relativistischen Rechnung (siehe z.B. http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/relativity/node72.html) in der gleichen Zeit einen Umlauf um den Brennpunkt der Ellipse machen, da ja sonst die elliptische Bahn zerstört werden würde.
MfG

TomS
26.08.2013, 10:59
Hallo 09c,

Deine Darstellung ist ungewöhnlich; warum verwendest du u = 1/r?

Und deine DGL zweiter Ordnung ist sowohl kompliziert als auch numerisch weniger gut geeignet. Wie du der DGL erster Ordnung (Quadratwurzel der DGL, Trennung der Variablen, direkte Integration - siehe Wikipedia) ansiehst, enthält sie Konstanten der Bewegung. Diese sind im Falle der DGL erster Ordnung automatisch und explizit konstant, in deinem Fall wird das numerische Verfahren für die DGL zweiter Ordnung die Kostanz nicht automatisch garantieren.

Wenn du nicht an der Bahnkurve selbst sondern nur an der Perihel- bzw. Aphel-Drehung interessiert bist, ist eine vollständige Integration evtl. gar nicht notwendig. Die Betrachtung der Lösungsmenge von r'(phi) = 0 ist ausreichend; darin sind sowohl Perihel als auch Aphel enthalten.

Eine Idee wäre, die DGL aus einer geeigneten Lagrangefunktion abzuleiten und direkt die Zeitableitung des Laplace-Lenz-Runge-Vektors zu untersuchen (Achtung: nur eine Idee, algebraisch sicher aufwändig)

Bernhard
26.08.2013, 11:26
Deine Darstellung ist ungewöhnlich; warum verwendest du u = 1/r?
Hallo Tom,

das findet man durchaus in den Standard-Lehrbüchern als Vereinfachung, siehe den Link zum GSI/Van Hees. Ich vermute, dass 09c eine veraltete Literaturquelle verwendet. Es wäre aber nett, wenn er diese mal angeben würde. Mir kommen die angegebenen Formeln vertraut vor, kenne diese aber eher aus mittlerweile nur noch antiquarisch erhältlicher Literatur. Manche Bibliotheken "bunkern" derartige Literatur auch über längere Zeiträume.
MfG

TomS
26.08.2013, 11:45
das findet man durchaus in den Standard-Lehrbüchern als Vereinfachung ...
Allerdings bleiben meine Einwände bzgl. der Ordnung der DGL sowie der Tatsache, dass eine vollständige Integration eigtl. nicht notwendig ist, bestehen.

Bernhard
26.08.2013, 12:20
Allerdings bleiben meine Einwände bzgl. der Ordnung der DGL sowie der Tatsache, dass eine vollständige Integration eigtl. nicht notwendig ist, bestehen.
Man sollte sich also auf eine korrekte DGL für die Bahnkurve r(phi) (s. z.B. VanHees-Link) einigen und kann sich dann die Lösung derselben genauer ansehen. 09c sollte dazu mal seine Quellen angeben. Bisher weiß man noch gar nicht, ob er selber etwas ausgerechnet hat und dabei Fehler gemacht hat :confused: .

TomS
26.08.2013, 12:58
Man sollte sich also auf eine korrekte DGL für die Bahnkurve r(phi) (s. z.B. VanHees-Link) einigen und kann sich dann die Lösung derselben genauer ansehen. 09c sollte dazu mal seine Quellen angeben. Bisher weiß man noch gar nicht, ob er selber etwas ausgerechnet hat und dabei Fehler gemacht hat :confused: .
ja, da hast du völlig Recht

09c
26.08.2013, 20:57
Hallo zusammen,

meine Quelle ist; U.E Schröder; Gravitation, Einführung in die allgemeine Relativitätstheorie ISBN 978-3-8171-1874-8 ; 5.Auflage 2011; Seite 112-116.
Die Differentialgleichung 1.Ordnung (9.17) ist mir bekannt. Sie bringt meiner Meinung keinen entscheidenden Vorteil (Wurzel, mehrere arithmetische Operationen).
Vollständige Integration halte ich für notwendig, um die Stabilität der Lösung bei verschieden großen Integrationsintervallen zu untersuchen. Sie ist sehr stabil.
Außerdem habe ich die Konsistenz mit bis zu 6 vollen Perioden geprüft.

Grüße,

09c

Bernhard
26.08.2013, 23:32
1.) Hier (Link) (http://books.google.de/books?id=qTC6IpDIUtIC&lpg=PP1&dq=Schr%C3%B6der%20Gravitation&hl=de&pg=PA115#v=onepage&q=Schr%C3%B6der%20Gravitation&f=false) wäre mal der Link auf eine öffentliche Seite des Buches von Schröder. Gleichung (9.18) passt meiner Meinung nach und stimmt auch mit der Gleichung von der GSI-Seite überein.

2.) Gehe ich davon aus, dass diese Gleichung direkt nicht analytisch lösbar ist, denn die zugehörige Lösung würde man sonst vermutlich in der Literatur finden. Aber das ist momentan nur eine Vermutung von mir.

3.) Die Bedingung r' = 0 ist wegen r <> 0 (r ungleich Null) gleichbedeutend mit u' = 0 und führt lediglich auf eine Beziehung zwischen den Konstanten der Bewegung und der Perihel- und Apheldistanz.

TomS
27.08.2013, 09:32
Sie [die DGL 1. Ord.] bringt meiner Meinung keinen entscheidenden Vorteil (Wurzel, mehrere arithmetische Operationen).
Ich bin kein Numerik-Experte, aber ich würde im Zweifelsfall immer die DGL 1. Ord. verwenden. Der algebraische Aufwand sollte vernachlässigbar sein ggü. der 2. Ord., der potentiellen numerischen Instabilität und der Problematik, dass damit Erhaltungsgrößen nicht respektiert werden (das muss das Verfahren leisten). Im Falle der 1. Ord. muss man lediglich (numerisch) integrieren, das ist trivial ggü. einer nicht-linearen DGL. 2. Ord.

Bernhard
27.08.2013, 10:14
Ich bin kein Numerik-Experte, aber ich würde im Zweifelsfall immer die DGL 1. Ord. verwenden. Der algebraische Aufwand sollte vernachlässigbar sein ggü. der 2. Ord.,
Das ist weitgehend egal in der Implementierung. Bei einer DGL 2. Ordnung muss man mit zweikomponentigen Größen arbeiten (Wert und erste Ableitung), bei der DGL 1. Ordnung dagegen nur mit dem Wert selbst. Das Verfahren ist aber für beide Fälle das gleiche.


der potentiellen numerischen Instabilität und der Problematik, dass damit Erhaltungsgrößen nicht respektiert werden (das muss das Verfahren leisten).
Diesen Punkt sollte man bei der Umsetzung bedenken.

Wichtig erscheint mir noch der Punkt, dass bei der DGL 2. Ordnung bereits ein u' im Nenner des ersten Terms auf der rechten Seite durch einen konstanten Wert ersetzt wurde. Hier hat man also bereits eine Näherung verwendet, um den Formalismus aus der newtonschen Theorie verwenden zu können.
MfG

09c
27.08.2013, 19:36
Hallo Bernhard,

der erste Term rechts von Dgl 9.18 --> (k²-c²)/h² ist konstant und fällt beim Differenzieren weg.
Ein paar wichtige Sachen habe ich gestern vergessen:
Dgls des Typs dr/dw=f(r) liefern einen Kreisbogen sobald f(r)=0 --> r ist konstant. Das gilt auch für 9.18! Vom Perihel weg schlägt es einen Kreis ein. Startet man von einem anderen Punkt aus, gibt
es beim Aphel wieder einen Kreisbogen!
Bei Wurzeln muss man sich selbst um den Vorzeichenwechsel beim Nulldurchgang kümmern.
Die Fehlerfortpflanzung ist ein wichtiges Kriterium für die Stabilität der Lösung. Setzt man in eine Funktion y=f(x) ein x mit einem kleinen Fehler dx ein, so ist die Auswirkung dy auf y umso größer der Betrag
der Ableitung der Funktion ist: dy=f'(x)*dx. Wurzeln besitzen bei kleinen Beträgen sehr große Ableitungen. Die Sache wird ungenau gerade wenns spannend wird.

Grüße,
09c

Bernhard
27.08.2013, 20:57
der erste Term rechts von Dgl 9.18 --> (k²-c²)/h² ist konstant und fällt beim Differenzieren weg.
Hallo 09c,

ich meinte eigentlich Gleichung 9.19, aber ich habe gerade bemerkt, dass sich hier das u' wegkürzt. Gleichung 9.19 ist damit doch keine Näherung. Danke für den Hinweis.

Bernhard
28.08.2013, 06:31
Hallo 09c,


Die Sache wird ungenau gerade wenns spannend wird.
ein Ausweg besteht ja vielleicht darin, die Zeitabhängigkeiten anzusehen. Man müsste dazu aber erst mal die zugehörige DGL neu aufstellen. Wenn man dann sieht, dass bei der Funktion r(t) das Minimum und Maximum zu periodisch wiederkehrenden Zeiten angenommen wird, wäre man doch auch wieder etwas weiter.

Falls Du daran interessiert bist, schlage ich eine zeitweise Auslagerung des Themas nach relativ-kritisch.net oder in's quantenforum.de vor, denn da gibt es LaTeX.
MfG

TomS
28.08.2013, 10:09
Die Fehlerfortpflanzung ist ein wichtiges Kriterium für die Stabilität der Lösung. Setzt man in eine Funktion y=f(x) ein x mit einem kleinen Fehler dx ein, so ist die Auswirkung dy auf y umso größer der Betrag
der Ableitung der Funktion ist: dy=f'(x)*dx. Wurzeln besitzen bei kleinen Beträgen sehr große Ableitungen. Die Sache wird ungenau gerade wenns spannend wird.
Das ist irrelevant.

Wenn man die DGL erster Ordnung benutzt, muss man lediglich integrieren. Und da kann man eine Wurzel durch geeignete Variablentransformation loswerden.

Bernhard
30.08.2013, 13:07
Wenn man dann sieht, dass bei der Funktion r(t) das Minimum und Maximum zu periodisch wiederkehrenden Zeiten angenommen wird, wäre man doch auch wieder etwas weiter.
@09c:

Dividiert man Gleichung (9.16) aus dem "Schröder" anstelle von (phi-punkt)² durch (x^0-punkt)^2 kommt man übrigens recht leicht auf die DGL (dr/dt)² = c² * B(r)² * (1-B(r)*((h²/r²)+c²)/k²) mit B(r) := 1-r_S/r . Dies zeigt, dass die Bewegung vom Aphel zum Perihel gerade zeitsymmtrisch zur entgegengesetzten Bewegung verläuft, da sich beide Richtungen lediglich durch ein Vorzechen vor einer Wurzel unterscheiden. Beide Richtungen dauern also genau gleich lang. Unterschiede in den beiden Abläufen der Bewegung von Aphel und Perihel sind also rein numerischer Natur, d.h. aufaddierte Rundungsfehler.
MfG

09c
31.08.2013, 11:23
Hallo zusammen,

ich beschäftige mich seit einigen Tagen mit der Bestimmung der Konstante k (9.14).
Zum Testen habe ich Dgl 9.17 so umgeformt, dass rechts ein Polynom 4.Grades steht. Das Polynom hat die triviale Lösung (Nullstelle) r1=0.
Ich suche nun einen Ausdruck für k, so dass r2=a-e (Perihel) und r3=a+e (Aphel) ebenfalls Nullstellen des Polynoms sind. a ist die große Halbachse und e ist die Exzentrizität.
Wenn ich nun k physikalisch herleiten versuche, komme ich auf zwei konjugiert komplexe Nullstellen des Polynoms. Die einzige reelle Lösung ist immer der Schwarzschild-Radius. Drehe ich aber die
Sache um und berechne k aus den vorgegebenen Nullstellen (einschließlich dem Schwarzschildradius als vierte Nullstelle) so erhalte ich die Beziehung k²=c²+G*M/a. Diese Vorgehensweise
ist streng unwissentschaftlich, weil ich die Lösungen vorgebe! Ich sehe momentan keinen Weg die Größe von k korrekt zu untermauern.

Grüße,
09c

TomS
31.08.2013, 13:38
K ist eine Konstante der Bewegung, so wie (in anderen Beispielen), Energie E, Impuls p, Drehimpuls L, ... Sie parametrisiert physikalische Lösungen, d.h. Trajektorien. Um sie festzulegen musst du Anfangsbedingungen spezifizieren.

09c
31.08.2013, 15:24
Hallo zusammen,

hat man den Vorzeichenfehler noch nicht bemerkt? Ich bitte um Entschuldigung, war keine Absicht. Es gilt natürlich k²=c²-G*M/a ! Das Polynom ist zwischen Perihel und Aphel positiv. Die Wurzel aus dem Wert des Polynoms muss zwischen den Scheitelpunkten reell sein. Für die andere Konstante h habe ich h²=G*M*(a²-e²)/a aus der klassischen Energie- und Drehimpulserhaltung gefunden.
Der Polynomausdruck lautet dann: -1/(a²-e²)*r*(r³-2*a*r²+(a²-e²)*r-(a²-e²)*rs).
Zurück aber zur Kritik an der Vorgehensweise: Natürlich schaut der Ausdruck für k ganz vernünftig aus. Ruheenergie minus Bindungsenergie genau im arithmetischen Mittel zwischen Perihel und Aphel. Doch wie komme ich physikalisch korrekt dazu?
Ich darf ihn doch nicht so aus den erwarteten Werten hervorzaubern (Elfmeter)! Man muss sich dann nicht wundern, dass nach
einer Simulationsrechnung genau das vorgegebene Ergebnis herauskommt.

Grüße,

09c

Bernhard
31.08.2013, 21:31
Ich sehe momentan keinen Weg die Größe von k korrekt zu untermauern.
Hallo 09c,

Du setzt in (9.17) dr/dphi = 0, wie bereits bekannt. Die verbleibende Gleichung wird logischerweise von den zwei Werten r- und r+ gelöst, wobei r- die Distanz vom Brennpunkt bis zum Perihel ist und r+ die Distanz vom Brennpunkt zum Aphel ist. Die beiden Werte r- und r+ kann man hier frei vorgeben, solange die nicht kleiner als Null sind. Wenn beide Werte die Gleichung erfüllen hast Du zwei Gleichungen für die zwei Unbekannten h und k. Damit kannst Du dann h und k mit r- und r+ verknüpfen.
Alles klar ;) .

09c
02.09.2013, 19:14
Hallo zusammen,

habe heute alle drei Differentialgleichungen 2.Ordnung (Binet, mathematische Apsidendrehung und ART modifizierte Binet Glg)
mit dem Solver 'ode45' von Matlab überprüft. Jetzt bin ich mir sicher, dass die ART eine periodisch wiederkehrende Delle von 14,3 km in Merkurs Aphel beschreibt. Auf der Perihel-Seite hingegen laufen mathematische Apsidendrehung und ART-Bahn mit großer Genauigkeit deckungsgleich.
Die Delle in Merkurs Aphel ist etwa halb so groß wie die Shapiro-Verzögerung in Weg umgerechnet. Um den Fernpunkt zu vermessen
braucht man nicht an der Sonne vorbeimessen. Die Bedingungen sind viel bequemer.

Grüße,
09c

Bernhard
03.09.2013, 10:55
Jetzt bin ich mir sicher, dass die ART eine periodisch wiederkehrende Delle von 14,3 km in Merkurs Aphel beschreibt.
Interessant. Eventuell verschwindet diese Delle ja gerade mit den verwendeten Näherungen bei der analytischen Berechnung der Periheldrehung?

09c
05.09.2013, 19:36
Hallo zusammen,

gerade habe ich die Kurven mit den Abweichungen von mathematischer Apsidendrehung und Art hochgeladen.
http://www.bilder-hochladen.net/files/l2v8-1-c4ca-png.html
Differentialgleichungen 2.Ordnung integriert mit Rechteckverfahren 10 Millionen Schritte. Abweichung nach einer Umdrehung
8,4 Millimeter. Der Solver bringt es 'nur' auf 29 Zentimeter.

Grüße 09c

09c
05.09.2013, 19:54
Hallo Bernhard,

zu Deinem Vorschlag bin ich noch nicht gekommen. Da ist das Kreisbogenproblem beim Start, das ich für die Dgl 1.Ordnung schon angesprochen habe. Die Parameter für den 'Elfmeter' habe ich bereits ausgerechnet. Aber ich glaube damit löscht man Information die in der Dgl 2.Ordnung steckt. Das Bild der Kurven habe ich gerade hochgeladen:
http://www.bilder-hochladen.net/files/l2v8-1-c4ca-png.html
Die Berechnungen der gezeigten Kurven beruhen auf der Integration der Differentialgleichungen 2.Ordnung mit dem Rechteck-Verfahren mit 10 Millionen Schritten. Nach einem Umlauf von 87,97 Tagen nähern sich die Bahnkurven von mathematischer Apsidendrehung und ART bis auf 8,4 Millimeter!!! Das schafft kein Elfmeter-Schütze. Schon gar nicht in der regulären Spielzeit.

Grüße,
09c

Bernhard
05.09.2013, 22:02
Hi 09c,

mir ist noch nicht ganz klar, was Du bei dem hochgeladenen Diagramm genau ausgerechnet hast. Ich meine, wir haben zum einen die Kurve gemäß ART, die Du numerisch mit ausreichender Genauigkeit ausrechnen kannst. Dann hat man die zugehörige Keplerellipse mit und ohne Drehung des Aphels. Hast Du dem Aphel bei der Keplerellipse jetzt genau so viel Drehung mitgegeben, dass nach einem Umlauf die ART-Kurve genau mit der Keplerellipse übereinstimmt?

Zum anderen könnte man sich eigentlich auf einen halben Umlauf von Merkur beschränken, da der Rest lediglich eine Wiederholung dieser Bahn darstellt. Du könntest also der Keplerellipse so viel zusätzliche Drehung der Ellipse hinzufügen, dass nach einem halben Umlauf (= Integration der ART-Kurve von r_min bis r_max) die modifizierte Keplerbahn genau mit der ART-Kurve übereinstimmt. Bei den Zwischenwerten (also alle Werte von r zwischen r_min und r_max) kann es dann natürlich Abweichungen geben.
Grüße

09c
07.09.2013, 14:51
Hallo Bernhard,

der Winkel der Apsidendrehung ist wie vorher 43,2 Bogensekunden pro Jahrhundert:

w(Bogenmaß)=43,2/100/365,24*87,97/3600/180*pi

87,97 ist die Umlaufzeit Merkurs um die Sonne in Tagen.
Auf den halben Umlauf sollte man sich nicht beschränken, weil die blaue Kurve (ART) nicht symmetrisch zur X-Achse verläuft. Und eigentlich war meine Motivation die Überprüfung der Aussage der ART hinsichtlich der Drehung des Perihels. Diese Aussage fand ich voll bestätigt. Die beiden Kurven treffen sich tangierend genau im Perihel. Sie 'marschieren' im Aphel aber deutlich getrennt.

Grüße,
Martin

Bernhard
07.09.2013, 19:11
Sie 'marschieren' im Aphel aber deutlich getrennt.
Hallo Martin,

das ist trotz der schönen Auswertungen falsch. Die Verschiebung im Winkel des Aphels muss ausgehend von den besprochenen Formeln genau die Hälfte der Verschiebung des Perihels nach einem Umlauf sein (s. Gleichung 9.18 aus dem "Schröder"). Die zitierte Aussage ist von der gleichen Qualität, als würdest Du behaupten, dass die Parabel y=x² nicht spiegelsymmetrisch zur y-Achse ist, weil Du das numerisch so berechnet hast.
MfG

09c
08.09.2013, 15:05
Hallo Bernhard,

die Raumzeit (RZ) um die Sonne ist gekrümmt. Aphel und Perihel haben einen unterschiedlichen Abstand zur Sonne
(0,467 und 0,307 AE). Nun ist die Krümmung der RZ abhängig vom Abstand. Aphel und Perihel sind daher einander nicht äquivalent wie in der euklidischen Geometrie! Mir fällt da die Darstellung ein, wie die RZ im Fernsehen bei einschlägigen Sendungen veranschaulicht wird. Hast Du bestimmt schon gesehen.

Grüße,
Martin

Bernhard
08.09.2013, 17:05
Hast Du bestimmt schon gesehen.
Hallo Martin,

es geht mir aktuell um das Lösen der DGL 9.18 aus dem Schröder (http://books.google.de/books?id=qTC6IpDIUtIC&lpg=PP1&dq=Schr%C3%B6der%20Gravitation&hl=de&pg=PA115#v=onepage&q=Schr%C3%B6der%20Gravitation&f=false) und dazu muss man genaugenommen gar nichts von irgendwelchen Krümmungen wissen.

09c
20.09.2013, 19:24
Hallo Bernhard,

deine Idee, ganz auf numerische Integration zu verzichten habe ich jetzt umgesetzt. Es wurde trotzdem kein 'Elfmeter' auf den zweiten Scheitelpunkt.
h² = vp²*(a-e)² ; vp²= G*M/a*(a+e)/(a-e) ; h² = G*M/a*(a²-e²)
Nur zur korrekten Berechnung der Startgeschwindigkeit im Perihel ist der Bahnradius im Aphel notwendig. u'=-1/r²*r' wird in der DGL 9.18 gleich Null gesetzt.
Es ergibt sich für k der Ausdruck: k²- c² = vp² * (1-rs/(a-e))-2*G*M/(a-e)
rs ist der Schwarzschildradius. Setzt man die Konstanten in die DGL 9.18 ein, so ergibt sich ein Polynom 3.Grades von r:
(1-rs/(a-e)-2*a/(a-e))/(a-e)² * r³ + 2*a/(a²-e²) * r² - r + rs = 0
Der Radius des Aphel ist um 14,286 km kürzer als a+e! Es stimmt auf den Meter mit dem Ergebnis der numerischen Integration überein.
a-e (Perihel) weicht weniger als einen zehntel Millimeter von der entsprechenden Lösung ab. An dieser Stelle ist es ja ein '(Null)Elfmeter'. a-e =0,307*1,496e11m und a+e = 0,467*1,496e11m.

Grüße,
Martin

Bernhard
21.09.2013, 02:31
Der Radius des Aphel ist um 14,286 km kürzer als a+e!
Hallo Martin,

so wird klar was gemeint ist. Danke für die präzise Formulierung. Und ja, das kann dann auch stimmen. Die Bahn hat am Aphel scheinbar eine kleine Delle im Vergleich zur Ellipse :) .
MfG