Was ist eine Aufleitung/Ingeration (Integrale) ?

Astrophysiker Danial

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Hallo Forenuser,
oft lese ich, dass die heutige moderne Physik hauptsaechlich Integral- und Differentialgleichungen benutzt. Ich bin dabei, Integrale zu verstehen. Die Ableitung fand ich ja einfach (den Unterschied 2er hoehen in einem Graphen, also ,/' f(x) = f'(x) dx). Jedoch faellt mir das Aufleiten/Integrieren schwirieger. Ich habe dazu nichts anderes gelesen als ,,Gegenteil der Ableitung" oder ,,man integriert f(x) in einen anderen Graphen" (wozu??). Was ist also nun das Aufleiten?
Netten Gruss
Danial
 

Chrischan

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Hallo Danial,

ich hoffe hier schreibt noch einer unserer Mathematiker was dazu aber mal ganz grob (wenn mich meine grauen Zellen nicht ganz verlassen haben):

Die Stammfunktion ist das Gegenteil der Ableitung. Oder: Erstellst Du von einer Funktion die Ableitung, dann ist die Stammfunktion der Ableitung wieder (fast) die ursprügliche Funktion.

Also:
Funktion: f(x)=4x² + 3 [tex] f(x)=4x^2 + 3 [/tex]
Ableitung davon f'(x)=8x [tex] f'(x)=8x [/tex]

Funktion: f(x)=8x [tex] f(x)=8x [/tex]
Stammfunktion davon F(x)=4x² + Const [tex] F(x)=4x^2 + Const [/tex]

Zur Bedeutung: Gibt die Funktion f(t) z.B. die Geschwindigkeitsfunktion zur Zeit t an, dann gibt f'(t) die Beschleunigung und F(t) den Ort zur Zeit t an...

Ich hoffe auf die Gnade unserer Mathematiker... :)

Gruß,
Christian
 
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Chrischan

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Hallo Danial,
aber wie sollen wir die urspruengliche funktion integrieren
jetzt wäre wohl ein Mathematiker gefragt. Ich versuche es trotzdem mal...

Für das Ableiten gibt es gewisse Regeln. Genau die gleichen Regeln (nur umgekehrt) gelten auch für die Bildung der Stammfunktion.
Zum Beispiel:
Regel 1) f(x)=x[SUP]n[/SUP] --> f'(x)=n*x[SUP](n-1)[/SUP]
Regel 2) f(x)=a*x --> f'(x)=a
Regel 3) f(x)=b --> f'(x)=0

Mit Hilfe dieser Regeln kann man z.B. die Funktion f(x)= 4x² + 3 ableiten zu f'(x)=4*(2x[SUP]1[/SUP])+0 = 8x

Umgekehrt kann man aber auch für die Funktion f(x)=8x die Stammfunktion F(x) damit bilden:
Aus Regel 1 folgt für x: 1/2*x[SUP]2[/SUP] (die Ableitung von 1/2x[SUP]2[/SUP] wäre x)
Aus Regel 2 folgt für 8(x): 8*(x')
Zusammen ergibt das 8*(1/2x[SUP]2[/SUP]) = 4x[SUP]2[/SUP]
Wegen Regel 3 bekommt die Stammfunktion noch eine (unbekannte) Konstante zugeordnet.

Das komplette Ergebnis für die Stammfunktion von f(x)=8x lautet also F(x)=4x[SUP]2[/SUP]+Const

Gruß,
Christian
 

Astrophysiker Danial

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Nun haetten wir aber nur die Ableitungsfunktion in die urspruengliche Funktion integriert, aber wo integrieren wir die urspruengliche Funktion ?
f(x) wird durch das ableiten und danach wieder aufleiten zur einer Stammfunktion ...
Also f(x)= der normale Graph
f'(x)= ableitungsfunktio
F(x)= Stammfunktion (da wo rein integriert wird)
Wenn wir also von f(x) , f'(x) ableiten und f'(x) dann in f(x) integrieren ist f(x) = F(x), aber wo integrieren wir f(x) , wenn es keinen Graphen gibt wo man die reinintegrieren soll ?
Netten Gruss
Danial
 

Chrischan

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Hallo Danial,

ok, dann nochmal etwas anders:

Funktion f(x)= 4x² + 3
Ableitung f'(x)=8x
Stammfunktion F(x)=0,75x[SUP]3[/SUP] + 3x + Const

Bildung von F(x):
Wir zerlegen zuerst f(x) in einzelne Teile:
1) 4*(g(x))
2) x²
3) +3

Wir benutzen wieder die Regeln von oben, stellen diese aber etwas um:
Regel 1') F(x)=x[SUP]n[/SUP] --> f(x)=n*x[SUP](n-1)[/SUP]
Regel 2') F(x)=a*x --> f(x)=a
Regel 3') F(x)=Const --> f(x)=0

Für 1) benutzen wir Regel 2' und kommen zu 4*(g(x)) --> 4*(G(x))
Für 2) benutzen wir Regel 1' und kommen zu x² --> 1/3*x[SUP]3[/SUP]
Für 3) benutzen wir wieder Regel 2' und kommen zu +3 --> +3x

Zusammen und mit Regel 3' ergibt das: 4*(1/3*x[SUP]3[/SUP]) + 3x + Const

Gruß,
Christian
 
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