Energieerhaltung in der Allgemeinen Relativitätstheorie

ralfkannenberg

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Ich habe diesen Beitrag aus einem anderen Thread herausgelöst, weil ich ihn "unpolitisch" diskutieren und vor allem besser verstehen möchte:

Dilaton schrieb:
Urknall und Energieerhaltung:

Als erstes sei angemerkt, dass Erhaltungsätze keine Postulate darstellen sondern aus einer Theorie abgeleitet werden können.

Dazu dient das so genannte Emmy Noether Theorem, das besagt:

Zu jeder Erzeugenden einer Symmetrie des Wirkungsfunktionals existiert genau ein Viererstrom j dessen kovariante Viererdivergenz verschwindet.

Das räumliche Integral über die Nullkomponente dieser Viererdivergenz stellt eine Erhaltrungsgröße dar. Genau hier liegt das Problem der ART:
Über welche 3D Hyperfläche muss ich integrieren?
Nun man muss das Integral so ansetzen, dass man letztlich eine Größe hat die Teil eines Tensors ist, dessen Stufe gegeüber j um eins erniedrigt ist.

Welche Symmetrie liegt der Energie - Impuls - Erhaltung zu Grunde:

Translationsinvarianz

-> Verschiebungen bezüglich vier Koordinaten - > vier Erzeugende
-> ein Energiestrom und drei Impulsströme = Energie Impulstensor
-> vier Erhaltungsgrößen (Energie und drei Impulse)


Die kosmologischen Friedmann Modelle sind aus den Einsteinschen Gleichungen abgeleitet wurden.
Aus jeder Feldtheorie auf dem Hintergrund einer Friedmann Raumzeit lassen sich vier Erhaltungsströme und vier Erhaltungsgrößen, auf der Basis der Translationsinvarianz ableiten*. Ob man diese Erhaltungsgrößen nun Energie und Impuls oder Meier und Schulze nennt ist Geschmackssache.
Interssant sind die Hyperflächen über die man letzlich integriert hat.
Diese können in hochrelativistischen Raumzeiten schon recht seltsame Formen annehmen.

* Aufgrund dessen, dass in allgemein kovarianten Feldtheorie die Metrik als dynamische Größe enthalten ist variiert man einfach die Wirkung nach der Metrik, um die allgemeinrelativistischen Noetherströme zu erhalten.

Ich weiss , dass ist harter Tobak. Aber wir sind hier so tief in die ART eingedrungen, das man kaum noch allgmeinverständliche Modifikationen von dem Dargestellten finden kann.
Ich muss es leider immer wieder sagen, man kann solche Theorie auf der Basis von Alltags - oder Schulvorstellungen über physikalische Sachverhalte nicht ernsthaft diskutieren.
Viele, die nicht vom Fach sind, wissen gar nicht auf welcher abstrakten Ebene man in der theorietischen Physik schon angekommen ist (und Gott ist noch viel weiter weg).
 

ralfkannenberg

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Dilaton schrieb:
Erhaltungssätze in der ART ist nichts für Mathemuffel. ;)
Heute nacht hatte ich eine Vision: Da sassen ein alter Mann mit einem grossen weissen Bart, ein anderer Mann mit einem Schlüssel in der Hand und der vor einem Jahr verstorbene Papst Johannes Paul II im Himmel in einem Zimmer und sie haben versucht, irgendwelche Berechnungen durchzuführen .......
 

M_Hammer_Kruse

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Hallo Ralf,

war da vielleicht noch einer mit etwas wirr-schütterem weißen Haarschopf dabei, der ihnen die Zunge heraustreckte? Oder bist Du aufgewacht, ehe jener erklären konnte, wie die Berechnungen gemacht werden?

Gruß, mike
 

ralfkannenberg

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Ich habe im Alpha Centauri vom User "submarine" einen interessanten Beitrag entdeckt:
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Annette Winkler hatte nach der Ableitung der Energieerhaltung aus der zeitlichen Homogenität gefragt:

Anmerkung:
- "partial/partial x" bezeichne die partielle ableitung nach x
- "d/dx" die ableitung nach x

- aus gründen der übersichtlichkeit verzichte ich auf summen - mathematisch korrekt muss bei den meisten termen noch über die einzelnen generalisierten koordinaten summiert werden, an der grundsätzlichen vorgehensweise ändert sich jedoch nichts (und ohne latex wäre dies kaum übersichtlich darzustellen gewesen)

Sei L Lagrangefunktion mit L := T - V

wobei T kinetische Energie und V Potential

q seien generalisierte orte (kann man sich ähnlich wie "anschuliche" orte vorstellen)

q_punkt sei die generalisierte geschwindigkeit (ableitung des generalisierten ortes nach der zeit)

V hänge dabei NUR von den generalisierten Orten ab V = V (q)

T sei homogen in den generalisierten geschwidigkeiten vom grad 2
-> partial / partial q_punkt T * q_punkt = 2 T

veranschaulichung: im anschauungsraum können wir q_punkt durch die geschwindigkiet r_punkt = v ersetzen:

(d/dr_punkt T) * r_punkt = ( d/dr_punkt 1/2 m (r_punkt)^2) * r_punkt = m r_punkt * r_punkt = 2 T



es gilt lagrange gleichung zweiter art:

d/dt partial L / partial q_punkt - partial L / partial q = 0

(argh ich will tex)

Nun kommt die zeitliche homogenität ins Spiel:

L(q, q_punkt, t + delta_t) = L(q, q_punkt, t)

-> L hängt nicht explizit von t ab (die partielle ableitung von L nach t ist null)


betrachten wir nun die ableitung (nicht partielle ableitung) von L nach der Zeit:

d/dt L = einige Umformungen = d/dt ( partial L/ partial q_punkt * q_punkt)

-> d/dt L- d/dt ( partial L/ partial q_punkt * q_punkt) = 0

-> d/dt (L - partial L/ partial q_punkt * q_punkt) = 0

man bezeichnet "partial L/ partial q_punkt" auch als generalisierten impuls p
-> d/dt (L - p * q_punkt) = 0 wobei H := L - p * q_punkt als Hamiltonfunktion bezeichnet wird


aber weiter mit d/dt (L - partial L/ partial q_punkt * q_punkt) = 0:
da L = T - U aber U nicht von q_punkt abhängt (partial U /partial q_punkt = 0) ergibt sich

d/dt (L - partial T/ partial q_punkt * q_punkt) = 0

Ersetze L durch T - U und beachte, dass T homogen vom grad 2 in den gen. geschwindigkeiten

-> d/dt ( T - U - 2 T ) = - d/dt(T+U) = 0

-> T+U = E = const


habe einige matehmatische formalitäten nicht mitgeschrieben, dürfte auch so schon schwierig genug sein. aber als nicht-physiker beachte man vor allem zwei vorraussetzungen die wir ausgenutzt haben:

das potential U ist geschwindigkeitsunabhängig und die kinetsiche energie homogen vom grad 2 in den geschwindigkeiten

nur wenn dies der fall ist UND die lagrange und damit auch die hamilton funktion NICHT explizit zeitabhängig sind, gilt die energieerhaltung
 

ralfkannenberg

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Ich habe im Forum für Wissenschaft und moralische Verantwortung vom User "Conni" einen interessanten Beitrag entdeckt:
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@Annett - zu Nöther-Theorem und Energieerhaltung

Die Aussage des Nöther-Theorems ist übrigens noch weitaus allgemeiner: es besagt, dass aus jeder Gruppe kontinuierlicher Transformationen, unter denen eine Theorie invariant ist, ein entsprechendes Erhaltungsgesetz folgt, Beispiele aus der klassischen Mechanik:

Homogenität der Zeit (Unabhängigkeit von der Zeit) ==> Energieerhaltung

Homogenität des Raums (Unabhängigkeit vom Ort) ==> Impulserhaltung

Isotropie des Raums (Gleichwertigkeit aller Richtungen) ==> Drehimpulserhaltung

Beispiel aus der Quantenmechanik:

Eichtransformation (Unabhängigkeit der Wellenfunktion von einer komplexen Phase) ==> Erhaltung der Ladung
etc.

Das Theorem setzt aber die Gültigkeit eines Variationsprinzips voraus (Prinzip der kleinsten Wirkung oder so).

In der Geschichte der Physik war bei der Entdeckung des Kern-Beta-Zerfalls übrigens tatsächlich für einen Moment die Energieerhaltung in Frage gestellt worden, da die Detektoren damals das entweichende Neutrino nicht nachweisen konnten.

Gruss,
Conni
 
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