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Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : algebraische Grundlagen zu Quaternionen und Grassmann-Zahlen



ralfkannenberg
09.01.2006, 13:42
Ich möchte diese Zahlendiskussion aus der Dunkle Materie-Diskussion herauslösen und habe deswegen einen neuen Thread eröffnet.

Grundsätzlich sehe ich ein Problem, dass sich bei den bisherigen Überlegungen und Herleitungen einige Ungenauigkeiten eingeschlichen haben, so dass es mir sinnvoll erscheint, erst einmal kurz die Grundlagen zu skizzieren, ehe man allzu sehr in Detail geht. Nicht dass diese Ungenauigkeiten unbedingt "falsch" wären, aber sie geben eher Anlass zu Missverständnissen.

Einige Begriffe aus der Algebra:
1.) Eine Gruppe ist eine Struktur, in der man "vernünftig" addieren und subtrahieren kann.

2.) Ein Körper ist eine Struktur, in der man zusätzlich "vernünftig" multiplizieren und dividieren (mit Ausnahme durch 0) kann. Die Quaternionen sind kein Körper und die Superzahlen schon gar nicht ! - Der grösst-mögliche Körper sind die komplexen Zahlen.

3.) Eine Einheit ist ein Element, welches ein multiplikatives Inverses hat.

Eigentlich sind Begriffe wie imaginäre "Einheit" irreführend, denn in einem Körper ist ja jedes von 0 verschiedene Element eine Einheit. Oftmals aber studiert man Teilbarkeitsfragen. Sowas macht aber nur Sinn, wenn man nicht durch jede Zahl teilen kann; eine Fermat'sche Vermutung beispielsweise wird in einem Körper trivial lösbar. Statt Körpern, in denen man sowieso alle Gesetze auf dem Silbertablett serviert bekommt, betrachtet man oftmals allgemeinere Ringe, z.B. den Ring der ganzen Zahlen. Ein "Ring" ist eine Struktur, in der man "vernünftig" addieren, subtrahieren und multiplizieren kann. Dabei müssen solche Ringe nicht unbedingt ein multiplikatives Neutralelement haben (z.B. der Ring der geraden Zahlen enthält keine 1), oder sie können "Nullteiler" haben: Im Ring der Restklassen modulo 4 ergibt 2*2=0(mod 4), obgleich 2 von 0 verschieden ist. Und hier ist der Begriff der Einheit natürlich sinnvoll; das sind also Elemente, die ein multiplikativ-inverses haben. So hat der Ring der ganzen Zahlen {1, -1} als Einheiten und der Ring {r + si mit r,s ganze Zahlen} hat die Einheiten {1, i, -1, -i}. Bevor man sich mit Körpern beschäftigt, kann es durchaus Sinn machen, zuerst einmal Ringe wie {r + s*Wurzel(2) mit r,s ganze Zahlen} zu studieren, oder {r + s*Wurzel(3) mit r,s ganze Zahlen}. Und bevor man sich mit dem Körper der komplexen Zahlen beschäftigt, kann es auch lohnend sein, die Körper {p + q*Wurzel(2) mit p,q rationale Zahlen} oder {p + q*Wurzel(3) mit p,q rationale Zahlen} zu studieren.
Der Einheiten-Begriff kommt also aus dem Studium solcher Ringe und wurde dann bei den Körpern beibehalten; in Körpern werden letztlich Elemente mit Absolut-Betrag = 1 als "Einheiten" bezeichnet. Aber das kommt von den Analytikern; ein Algebraiker würde das vermutlich nicht tun ;).

4.) Ein nilpotentes Element der Stufe n ist ein Element, das bei n-maligem mit sich selber Multiplizieren 0 ergibt, wobei n minimal ist. Grassmannzahlen sind also nilpotente Zahlen der Stufe 2.

Es gilt: nilpotente Zahlen können kein multiplikativ-inverses haben.
Beweisidee: Sei a nilpotent der Stufe n.
Dann gilt: a*(a^(n-1)) = 0

Man kann beide Seiten von links mit inv(a,*) multiplizieren:

inv(a,*)*a*(a^(n-1)) = inv(a,*) * 0; wegen des Assoziativgesetzes:
(inv(a,*) * a) * (a^(n-1)) = 0, also
(a^(n-1)) = 0 im Widerspruch zur Voraussetzung, dass n minimal sei.

Noch einfacher folgt das für Grassmannzahlen: a*a = 0 => inv(a,*) * a * a = inv(a,*) * 0 => (inv(a,*) * a) * a = 0 => a=0

Zusammenfassung:
1.) Gruppe => vernünftige Addition+Subtraktion
2.) Körper => vernünftige Addition+Subtraktion+Multiplikation+Division (ungleich 0)
3.) Einheit = Ringelement mit multiplikativem Inversen
4.) nilpotent => es gibt eine Potenz, bei der das Element 0 wird
Resultat: Nilpotente Elemente haben keine multiplikativ Inversen.


Nun ein Wort zu den Quaternionen:
Die imaginären Einheiten i, j und k sind völlig gleichwertig. Es macht keinen Sinn, von "reinen" Quaternionen zu sprechen. Man kann den Körper der komplexen Zahlen mit {x + y*i mit x,y reelle Zahlen} aufbauen, oder {x + y*j mit x,y reelle Zahlen} oder {x + y*k mit x,y reelle Zahlen}; diese Körper sind isomorph, d.h. sie sehen völlig gleich aus bzw. sie sind bis auf Schreibweise gleich.
Es macht erst Sinn, von einer "Quaternione" zu sprechen, sobald eine zweite imaginäre Einheit dazu kommt und dann folgt ziemlich direkt, dass man auch noch eine dritte imaginäre Einheit als Produkt der beiden ersten benötigt. Apropos "Einheit": Es ist nicht zwingend, dass das Quadrat von j und k gleich -1 ergibt, es würde genügen, wenn die negativ sind. Aber da wir ja einen Schiefkörper haben, kann man diese imaginären Grössen j und k "normieren", d.h. durch ihren Absolutbetrag dividieren und dann erhält man eben "Einheiten" mit Absolutbetrag 1. Das ist nicht nötig, vereinfacht aber alles, ohne dass man die Allgemeinheit einschränken müsste.
Achtung: In einem Ring kann man im allgemeinen nicht normieren !!!

Nun ein Wort zu den Superzahlen:
Die Grassmannzahlen sind nilpotent, folglich haben sie kein multipklikativ Inverses und folglich sind sie auch keine "Einheiten" und sinnvollerweise bezeichnet man sie als Generatoren. Somit können die Superzahlen sowieso bestenfalls einen Ring bilden, der nicht nullteilerfrei ist. Wenigstens hat dieser Ring ein Einselement und es ist tatsächlich ein Ring, da das Produkt zweier Superzahlen wieder eine Superzahl ist und die Multiplikation assoziativ ist. Strukturen, die solche Eigenschaften haben, kann man in der linearen Algebra oftmals mit Matrizen beschreiben.

Im Übrigen ist es nicht zwingend erforderlich, einen mehrdimensionalen Grassmann-Raum zu bilden; die könnten auch untereinander anti-kommutativ sein und gleichzeitig Vielfache voneinander:
ab = -ba; sei b=xa mit x ein skalares Vielfaches => ab = -ba => axa = -xaa => x(aa)= x(-aa) => a^2=0.

Es ist also nicht zwingend erforderlich, dass die Grassmannzahlen linear unabhängig sein müssen.
Je nach Anwendung indes wird es wohl Sinn machen, solche Grassmannzahlen in mehreren Dimensionen zu definieren bzw. mit mehreren Generatoren.

Freundliche Grüsse, Ralf

Sky Darmos
09.01.2006, 14:36
Hallo Ralf,

Danke für deinen Ausführlichen Beitrag. Es wäre nicht schlecht wenn du jetzt noch Beispielrechnungen mit Superzahlen aufschreibst. Etwa haben wir im anderen Thread das Quadrat von etwas betrachtet von dem wir ausgingen es wäre eine Superzahl. Das Ding was aber überhaupt nicht antikommutativ.
Welche Form haben diese Superzahlen nun? Und wie rechnet man mit ihnen.

Schöne Grüße,
Sky.

PS: Die Quaternionen brauchen wir ja nicht mehr besprechen.

ralfkannenberg
12.01.2006, 11:55
Leider ich mich weit besser mit Quaternionen denn mit den eher nur in der Physik verwendeten Superzahlen aus, zudem nilpotente Elemente - irgendwie fällt es mir schwer, von "Zahlen" zu reden: die Superzahlen sind eigentlich keine "Zahlen" im mathematischen Sinne - nicht gerade mein Spezialgebiet sind.

Wie auch immer - ich will mir Mühe geben. Zunächst aber eine Frage an alle hier: Es gibt da ja diese "Generatoren" der Superzahlen. Wie multipliziert man die ?

Konkret müsste ich also folgende Frage geklärt haben:
Seien g_1, g_2, ..., g_n linear unabhängige Generatoren, d.h. keiner der g_r lässt sich als Linearkombination der anderen schreiben - bzw. eine Linearkombination der g_r ergibt nur dann 0, wenn alle Koeffizienten identisch verschwinden.

Was ist das Produkt, wenn man zwei Generatoren mit sich selber multipliziert, also g_r * g_r ?
Was ist das Produkt, wenn man zwei verschiedene Generatoren multipliziert, also g_r * g_s mit r ungleich s ?

Mit dieser Info kann man dann mal schauen, wie man mit diesen "Zahlen" rechnen kann bzw. was für eine Struktur mit ihnen aufgebaut werden kann.

Freundliche Grüsse, Ralf