masse von sonne, mond und erde

ich sag nix

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ich habe die aufgabe, die masse von der sonne usw zu berechnen. wer kann mir bitte die formel dafür sagen und den weg wie ich dahin komme?
vielen dank
 

Bynaus

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Über die Kepler-Gesetze! ;)

Jede Umlaufbahn muss folgender Gesetzmässigkeit gehorchen:

Gravitationskraft des umkreisten Objekts ("anziehen") = Fliehkraft des umkreisenden Objekts durch die Drehbewegung ("nach aussen schleudern")

Die erste berechnet sich so: F = M * m * G / r^2

Die zweite so: F = m * v^2 / r

Jetzt musst du gleich setzen und kürzen (bzw., nach M auflösen) - v (Geschwindigkeit) bekommst du über die Umlaufzeit und die Umlaufstrecke.

Für Erde und Sonne sollte das also kein Problem sein. Für den Mond, hm... wird schon schwieriger. Aber schau mal, was du mit diesen Tipps anfangen kannst, dann können wir weiter machen. Viel Spass beim Rechnen!

Zur Überprüfung deines Ergebnisses: Die Masse der Erde beträgt ca. 6 * 10^24 kg, die der Sonne etwa 2 * 10^30 kg.
 

ralfkannenberg

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Soviel ich mich erinnere darf man bei der Summe der Massen, die man beim Auflösen der Gleichungen erhält, eine Näherung durchführen:

Masse des Zentralkörpers + Masse des Trabanten = Masse des Zentralkörpers

Das klappt natürlich nur, wenn die Masse des Trabanten sehr viel kleiner ist als die des Zentralkörpers, was aber in diesen Beispielen der Fall ist.

Vorsicht: Natürlich nur bei der Summe !!! Die Masse des Trabanten darf man natürlich nicht einfach grosszügig zu 0 setzen !

Wohl aber die Summe der beiden: Selbst wenn der Trabant nur ein Drittel so gross wie der Zentralkörper ist, und beide die gleiche Dichte haben, so wäre die Masse (proportional zum Volumen, also zur 3.Potenz !!) des Trabanten 1/27. der Masse des Zentralkörpers, d.h. die Gesamtsumme wäre 28/27 des Zentralkörpers, d.h. der Fehler wäre kleiner als 4 % !
Und wenn der Trabant bei gleicher Dichte nur 1/10. so gross ist, so wäre der Fehler gar nur 1 Promille ! Und selbst bei unterschiedlichen Dichten kommt ein Faktor 3 bis 4 dazu, d.h. der Fehler läge dann bei 3 bis 4 Promille; das ist also völlig vernachlässigbar bei genügend kleinen Trabanten !
 
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Klaus

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Bynaus schrieb:
Die erste berechnet sich so: F = M * m * G / r^2
Die zweite so: F = m * v^2 / r

Wenn sich die Massen M und m eine ähnliche Größenordnung haben, dann muß man berücksichtigen, daß r in der ersten und in der zweiten Gleichung unterschiedliche Strecken bezeichnet, denn Bahnradius und Abstand sind nur bei stark unterschiedlichen Massen annähernd identisch. Jupiter z.B. würde mehr als 8 Stunden länger für eine Runde auf der Erdbahn um die Sonne brauchen, als wir.
 

Bynaus

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@Ralf: Das ist in diesem Fall aber nicht nötig, weil sich die Masse des Trabanten mathematisch rauskürzt...

@Klaus: Interessant, das hätte ich mir zwar denken können, hab ich aber nicht... Wie berechnet man denn die Umlaufzeit von zwei Körpern, die annähernd gleich schwer sind (z.B. Doppelsternsysteme)? Legt man ihre Masse zusammen und berechnet die Umlaufzeit um die "zentrale" Punktmasse?
 

Klaus

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Bynaus schrieb:
@Klaus: Interessant, das hätte ich mir zwar denken können, hab ich aber nicht... Wie berechnet man denn die Umlaufzeit von zwei Körpern, die annähernd gleich schwer sind (z.B. Doppelsternsysteme)? Legt man ihre Masse zusammen und berechnet die Umlaufzeit um die "zentrale" Punktmasse?

Nein, es geht schon über das Kräftegleichgewicht bzw. bei elliptischen Bahnen über die Konstanz der Summen aus kinetischer und potentieller Energie. Ich selbst hatte vor paar Jahren nur mal die Gleichungen für Kreisbahnen hergeleitet. Beide Massen umkreisen ja in unterschiedlichem Abstand das selbe Zentrum, wobei das Verhältnis der Bahnradien sich aus der Gleichheit der Fliehkräfte ergibt, da die Fliehkraft ja für beide Körper jeweils genau der gegenseitigen Anziehungskraft entsprechen muß und die Umlaufzeit um das gemeinsame Zentrum für beide Körper die selbe ist. Für Bahngeschwindigkeit v und Umlaufzeit T erhielt ich so in Abhängigkeit vom gegenseitigen Abstand a bzw. dem Bahnradius r:

v² = G M²/(a (M + m))
T² = 4 Pi² a³ / (G (M + m))

v² = G M³ / (r (M + m)²)
T² = 4 Pi² r³ (M + m)² / (G M³)

Vielleicht kennt ja Ralf die Lösung für elliptische Bahnen?
 

ralfkannenberg

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Klaus schrieb:
Vielleicht kennt ja Ralf die Lösung für elliptische Bahnen?
Oh nein, bitte erspart mir das - ich bin eher Algebraiker; da kann es auch mal passieren, dass sich die Erde falsch herum dreht. :eek: - Aber vielleicht möchte Euch ja prim_ass weiterhelfen ;)
 
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Klaus

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ralfkannenberg schrieb:
Oh nein, bitte erspart mir das - ich bin eher Algebraiker; da kann es auch mal passieren, dass sich die Erde falsch herum dreht. :eek:
Und ich dachte, Mathematiker lieben kleine mathematische Herausforderungen. :D
Hätte ja sein können, daß Du die Lösungen zum Zweikörperproblem irgendwo verfügbar hast, ich wollte Dir nicht den Sonntag rauben.
 

ralfkannenberg

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Klaus schrieb:
Und ich dachte, Mathematiker lieben kleine mathematische Herausforderungen. :D
Hätte ja sein können, daß Du die Lösungen zum Zweikörperproblem irgendwo verfügbar hast, ich wollte Dir nicht den Sonntag rauben.
Manchmal schon, aber ansonsten sind das auch nur Menschen ;)
 
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