Hallo Infinity,
hätte ich noch eine Frage. Ich möchte herausfinden, wie schnell eine Rakete fliegen würde, wenn sie das Gravitationsfeld der Erde verlassen will,
wenn die Erde allein im Kosmos existieren würde, wäre Deine Rechnung und Deine Vermutung (Stillstand, unendlich weit weg) richtig, wenn Du nicht ‚Rakete‘ geschrieben hättest und das auch so meinst. Richtig wäre für dieses Ergebnis ein ‚Stein‘ der nach dem Start nicht mehr beschleunigt, sondern nur noch (weiter) fällt.
Ein Stein, der z.B. aus der geostationären Umlaufbahn die Erde für immer verlassen will, muß bezogen auf den Erdmittelpunkt ‚nur‘ noch 4,349 km/s schnell sein.
Und da die potenzielle Energie mit wachsendem Abstand abnimmt,
der Zahlenwert der potentielle Energie des Steins nimmt mit zunehmendem Abstand zur Erde zu! Da der Zahlenwert, bezogen auf die kinetische Energie ein negatives Vorzeichen hat, kann es zu diesem Mißverständnis über seine Größe kommen. Wenn er sich exakt mit Fluchtgeschwindigkeit bewegt, nimmt seine kinetische Energie im gleichen Maße ab, wie seine potentielle Energie zu nimmt.
müsste die mindestnotwendige Geschwindigkeit doch mit wachsendem Abstand ebenso abnehmen
das ist richtig, aber das:
- und zwar, nach meiner Vorstellung, exponenziell, da die Gravitationskraft von Erde weg exponenziell abnimmt.
nicht ganz.
Der exakte Zusammenhang ist:
Fluchtgeschwindigkeit im Abstand r = Wurzel(2 * Gravitationskonstante * Masse des Körpers dem man entkommen will / Abstand r zu diesem Körper)
Da ja alles bis auf r gleich bleibt, nimmt die Fluchtgeschwindigkeit proportional zur Wurzel des Abstandes ab. r steht hier also nicht im Exponenten.
Und wo genau gilt denn 11,1776km/s: Auf der Erdoberfläche oder im Erdmittelpunkt? Da ich den Erdradius berücksichtigt habe, müsste das für die Erdoberfläche gelten, aber wenn ich genau vom Mittelpunkt aus starten würde, müsste ich ja für den Erdradius im Nenner null eintragen, was natürlich nicht geht.
Ja, das liegt aber daran, daß man diese Berechnung mit einer Vereinfachung macht.
Solange der Stein außerhalb der Erde, also außerhalb der Masse ist die ihn anzieht, kann man bei einer kugelsymmetrischen Masseverteilung so tun, als wäre alle Masse im Erdmittelpunkt.
Wäre der Stein in der Erde, (also z.B. in dem berühmten Loch daß durch den Erdmittelpunkt hindurch bis zur gegenüber liegenden Oberfläche reicht
) dann muß man anders vorgehen. In diesem Fall kann man die Erde in zwei Teile teilen. Der eine Teil ist die Kugelschale deren Abstand vom Erdmittelpunkt größer ist, als der Abstand des Steines vom Erdmittelpunkt. Der Gravitationseinfluß dieser Masse auf den Stein hebt sich in seiner Summe auf. (das gilt rechnerisch exakt, wenn die Masse dieser Schale kugelsymmetrisch verteilt ist) und die Restmasse der Kugel, die noch ‚unter‘ dem Stein ist, kann weiterhin so behandelt werden, als wäre sie im Erdmittelpunkt konzentriert. Das gilt für jeden Abstand zum Mittelpunkt und im Mittelpunkt ist die Gravitation auf den Stein damit auch 0, weil bei 0 Abstand auch 0 Masse näher am Mittelpunkt ist, als der Stein.
Herzliche Grüße
MAC