Unendlich große Zahlen als Vektoren und zeitabhängig

Infinity

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Ob es diese Überlegung, die ich hier kurz vorstellen und bei der ich euch um eure Meinung bitten möchte, bereits von anderen gegeben hat oder auch im Moment gibt, weiß ich nicht. Dennoch halte ich es euch nicht vor und würde gern erfahren, wie gut dieser Gedanke standhalten kann und wo Probleme auftauchen.

Grundlegend geht es dabei um unendlich große Zahlen. Sie lassen es uns nicht zu, uns ein Bild von ihnen zu machen. Zwar erhalten wir nur die Information, dass es sich um eine Zahl handelt, die aus grenzenlosen Ziffernfolgen besteht, von denen sich das Komma stets nach hinten verschiebt, aber wir sind nicht in der Lage, uns diese Zahl als Ganzes vorzustellen. Und so eine aufzuschreiben wäre mehr als nur aufwendig, daher auch das Symbol ∞.

Eine periodische Zahl, die bekanntlich auch aus unendlich vielen Ziffern besteht, kann man (muss nicht) als Bruch aus vorstellbaren ganzen Zahlen angeben: Beispielsweise sind 0,111... = 1/9. Diese Art Umwandlung in einen Bruch aus vorstellbaren ganzen Zahlen ist bei der unendlich großen Zahl trotzdem nicht möglich. Es hieße nämlich mindestens: ∞/1, ∞/2 oder ∞/3 und so weiter.

Eine unendlich große Zahl ist nun aber nicht unbedingt eine Zahl aus den Ziffern mit dem höchsten Wert. Das heißt, sie muss nicht unbedingt aus eine Unzahl aus Neunen bestehen, bei denen sich das Komma nach hinten schiebt, sondern darf auch auch niedrigeren Ziffern bestehen, wie eben auch alle zwischen 1 und 8. Sie darf ebenso aus eine Mischung aus den zehn Ziffern 0 bis 9 bestehen. 9999999999... oder 5555555555... oder 1231231231... oder auch 0011223344... sind allesamt unendlich große Zahlen, wenn man davon ausgeht, dass hinter den Punkten die Zahl vor dem Komma stets fortgesetzt wird (eine Ausnahme wäre dabei, wenn von Anfang an unendlich viele Nullen stehen würden).

Wir wissen nun, dass man vorstellbare ganze Zahlen von ihrer Größe und ihrem Wert her ordnen kann, das heißt, dass eine bestimmte Zahl größer, gleich oder kleiner als die andere ist. 500 ist ja größer als 100, 500 ist gleich groß wie 500 und 100 ist kleiner als 500.

Für mich stellt sich jetzt folgende Frage: Kann man auch unendlich große Zahlen, welche jener Art, die ich vorhin präsentierte, nach ihrem Wert messen und entsprechend ordnen? Kann man beispielsweise sagen: Eine Zahl aus unendlich vielen Neunen ist wohl größer als eine Zahl aus unendlich vielen Einsen. Oder aber auch: Eine Zahl aus unendlich vielen Vieren, jedoch mit eine Million Nullen vor der ersten Vier, ist größer, als eine Zahl aus unendlich vielen Achten.

Letzte Woche diskutierte ich mit einem Kameraden, ob die beiden Zahlen ∞ und ∞+1 ein bestimmtes Verhältnis aufweisen würden (zum Beispiel ∞+1 ist größer als ∞) oder man kein Verhältnis bestimmen könnte. Während er die Meinung vertrat, ∞+1 sei größer als ∞, dachte ich mir hingegen, dass man das nicht so ohne Weiteres bestimmen könnte. Ohne Weiteres wären beide Zahlen höchstens gleich groß. Würde man beide Zahlen als bloße Skalare wie alle anderen ganzen Zahlen betrachten, wären beides im Endeffekt dasselbe, nämlich jeweils unendlich große Zahlen. Was meine ich mit ohne Weiteres? Zwei Dinge:

1) Einmal, wenn man die unendlich große Zahl als Vektor statt Skalar betrachtet und...

2) ...einmal, wenn man die Zeit zu sich als Bedingung heranzieht.



Um deutlich zu machen, was ich mit 1) sagen will, hier ein Beispiel: Nehmen wir wieder die zweite Aussage ins Visier, nämlich Eine Zahl aus unendlich vielen Vieren, jedoch mit eine Million Nullen vor der ersten Vier, ist größer, als eine Zahl aus unendlich vielen Achten. Das heißt also, wir sollen bestimmen, welche Zahl größer ist: die, bei der zuerst eine Million Nullen folgen und dann unaufhörlich viele Vieren, oder die, bei der stets Achten folgen. Ist es die mit den Vieren, ist es die mit den Achten? Es kommt darauf an. Manchmal kann es letztere, manchmal aber sogar auch erstere sein. Was ein Vektor ist, sollte klar sein: Größen, die abhängig von der Richtung im Raum sind. Das wären beispielsweise die Kraft oder auch die Geschwindigkeit. Für die unendlich große Zahl betrachten wir aber nun nicht direkt einen dreidimensionalen Raum, worin in allen möglichen Richtungen angegeben werden kann, sondern nur entweder von links nach rechts (das heißt, zuerst alle Nullen, dann die Vieren) oder von rechts nach links (das heißt, stets alle Vieren zuerst. Die Nullen kämen zwar danach, werden aber nie vorkommen, da das Auftreten der Vieren unendlich lange dauern würde).

Um zu bestimmen, welche der beiden Zahlen größer ist, muss man als Kriterium zuerst bestimmen, wie schnell sich die Ziffern ausbreiten (wobei die Ausbreitung danach strebt, eine ganze Zahl zu werden, es aber nie erreichen wird). Würden wir also für die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Einfachheit halber eine Ziffer pro Sekunde wählen und als Ausbreitungsrichtung von links nach rechts wählen (das heißt, wir lesen beide Zahlen zum Vergleich wie gewöhnlich von links nach rechts), kämen wir auf folgendes Ergebnis:
Die erste Zahl würde für eine Million Sekunden kleiner als die zweite Zahl, da ihr Wert zunächst gleich null ist. Bis dahin wäre die zweite Zahl nämlich eine Zahl aus eine Million Achten, daher natürlich größer als null.
Gehen wir eine Sekunde weiter, ist die erste Zahl eine Vier, nächste Sekunde eine 44, noch ein Sekunde später eine 444 und so weiter.
Ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit in beiden Fällen also dieselbe, ist die erste Zahl immer kleiner als die zweite.

(Die Nullen vor den Vieren mussten natürlich nicht sein. Das diente nur der besseren Verdeutlichung, auf was ich hinauswill)

Nähmen wir aber nun unterschiedliche Geschwindigkeiten, zum Beispiel für die erste Zahl zwei Ziffern pro Sekunde und für die zweite Zahl eine Ziffer pro Sekunde, ergibt sich folgendes:
Die erste Zahl ist für die ersten 500.000 Sekunden kleiner als die zweite Zahl, denn bis zu dem Zeitpunkt bestünde die erste aus 500.000 Nullen (also gleich null) und die zweite aus 500.000 Achten (also natürlich dann größer als null). Dann aber wird es interessant: Die Null wird zur 44, dann zur 4444, dann zur 444444 und so weiter. Das heißt, die erste Zahl würde ab einem bestimmten Zeitpunkt größer als die zweite werden.

Zudem können wir noch die Ausbreitungsrichtung zu uns heranziehen: lesen wir von rechts nach links, wenn die Geschwindigkeiten für die erste Zahl zwei Ziffern pro Sekunde und die für die zweite eine Ziffer pro Sekunde bleiben, entstünde dieses Ergebnis:
Die erste Zahl ist bereits nach einer Sekunde größer als die zweite, denn ab da ist erstere gleich 44, letztere nur gleich 8.



Soviel zur Betrachtung als Vektor. Das Integrieren der Zeit hängt eng mit dem bereits Aufgeführten zusammen. Hier nämlich berücksichtigen wir zusätzlich, wie lange sich die unendlich großen Zahlen ausbreiten können. Nähmen wir also dieselbe Geschwindigkeit wie zuvor, lesen wieder von links nach rechts, sodass sie sich aber nur für eine Stunde (also 3.600 Sekunden) ausbreiten dürfen (zum Beispiel aus dem Grund, dass das Universum in eine Stunde untergeht und somit keine Zahlen mehr irgendwie vorhanden sein könnten), entstünde nun jenes Ergebnis:
Die erste besteht nach einer Stunde aus 7.200 Nullen (gleich null) und die zweite aus 3.600 Achten, daher größer.

Ob eine unendlich große Zahl also größer, gleich groß wie oder kleiner als eine andere unendlich große Zahl ist, hängt demnach davon ab, von welcher Stelle aus wir lesen (1), in welche Richtung wir lesen (2), wie schnell wir lesen (3) und wie lange wir lesen (4).







Warum das alles überhaupt? Aus diesen Gründen:
  • Wir streben danach, Zahlen entsprechende Werte zuzuordnen und Werte in eine entsprechende Wertehierarchie zuzuordnen, um zu bestimmen, welche größer, welche kleiner und welche gleich groß sind.
  • Um damit zu belegen, dass man unendlich große Zahlen nicht in dieselbe Schublade wie in die der ganzen Zahlen verschieben kann - insofern, dass ganze Zahlen Skalare und unendlich große nämlich Vektoren sind.
  • Weil ich zu viele meiner wilden Gedanken für mich behalte und euch mal in mein Zahlenkarussel einladen wollte.;)
Infinity


PS: Durch das Integrieren der Zeit kann ∞+1 sogar größer sein als 1+∞ - nämlich unter der Bedingung, dass wir von links nach rechts lesen und beide Geschwindigkeiten gleich groß sind: Würde ∞ aus unendlich vielen Neunen bestehen, wäre ∞+1 nach einer Sekunde gleich 9, 1+∞ aber gleich 1. Nach zwei Sekunden wäre ∞+1 gleich 99, 1+∞ hingegen 19 und so weiter. Bestünde ∞ aus unendlich vielen Einsen, wären beide Ergebnisse immer gleich groß.

Wenn ihr etwas nicht versteht, bitte fragen.
 
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